Antisymmetrisk relation

Ej att förväxla med asymmetrisk relation .

Transitiva binära relationer
Symmetrisk Antisymmetrisk Ansluten Välgrundad Har anslutit sig Har möter Reflexiv Irreflexiv Asymmetrisk Totalt, Semiconnex Antireflexiv _ Ekvivalensförhållande Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Förbeställning (Quasiorder) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Delordning ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Total förbeställning ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Total beställning ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Förhandsbeställning ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Väl kvasiordning ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Välbeställt ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Gitter ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ Sammanfoga-semilattice ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ Möt-semilattice ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Strikt delordning ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Strikt svag ordning ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Strikt total beställning ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Symmetrisk Antisymmetrisk Ansluten Välgrundad Har anslutit sig Har möter Reflexiv Irreflexiv Asymmetrisk Definitioner, för alla $a,b$ och $S\neq \varnothing :$ ${\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}aRb{\text{ and }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ eller }}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\vee b\\{\text{finns}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ $aRa$ ${\text{not }}aRa$ ${\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{inte }}bRa\end{aligned}}$
Y indikerar att kolumnens egenskap alltid är sann för radens term (längst till vänster), medan ✗ indikerar att egenskapen inte är garanterad i allmänhet (den kanske, eller kanske inte, håller). Till exempel, att varje ekvivalensrelation är symmetrisk, men inte nödvändigtvis antisymmetrisk, indikeras med Y i kolumnen "Symmetrisk" respektive ✗ i kolumnen "Antisymmetrisk". Alla definitioner kräver tyst att den homogena relationen $R$ ska vara transitiv : för alla $a,b,c,$ om $aRb$ och $}$${\displaystyle$$aRc.$ sedan En terms definition kan kräva ytterligare egenskaper som inte är listade i den här tabellen.

I matematik är en binär relation $R$ på en mängd $X$ antisymmetrisk om det inte finns något par av distinkta element i $X$ som var och en är relaterad till $R$ till den andra. Mer formellt $R$ antisymmetrisk just om för alla $a,b\in X,$

$${\text{if }}\,aRb\,{\text{ med }}\,a\neq b\,{\text{ sedan får }}\,bRa\,{\text{ inte hålla}},$$

eller motsvarande,

$${\text{if }}\,aRb\,{\text{ och }}\,bRa\,{\text{ sedan }}\,a=b.$$

Definitionen av antisymmetri säger ingenting om huruvida $aRa$ faktiskt håller eller inte för någon $a$ . En antisymmetrisk relation $R$ på en mängd $X$ kan vara reflexiv (det vill säga $aRa$ för alla $a\in X$ ), irreflexiv ( det vill säga $aRa$ för no $a\in X$ ), eller varken reflexiv eller irreflexiv. En relation är asymmetrisk om och bara om den är både antisymmetrisk och irreflexiv.

Exempel

Delbarhetsrelationen på de naturliga talen är ett viktigt exempel på en antisymmetrisk relation . I detta sammanhang betyder antisymmetri att det enda sättet att vart och ett av två tal kan vara delbart med det andra är om de två i själva verket är samma tal; på motsvarande sätt, om $n$ och $m$ är distinkta och $n$ är en faktor av $, {\displaystyle m,}$ så kan inte $m$ vara en faktor $n.$ Till exempel är 12 delbart med 4, men 4 är inte delbart med 12.

Den vanliga ordningsrelationen $\,\leq \,$ på de reella talen är antisymmetrisk: om för två reella tal $x$ och $y$ båda olikheterna $x\ leq y$ och $y\leq x$ håller, då måste $x$ och $y$ vara lika. På liknande sätt delmängdsordningen $\,\subseteq \,$ på delmängderna av en given uppsättning antisymmetrisk: givet två uppsättningar $A$ och $B,$ om varje element i ${ \displaystyle A}$ finns också i $B$ och varje element i $B$ är också i $, {\displaystyle A,}$ då måste $A$ och $displaystyle B}$ innehålla alla samma element och därför vara lika:

$$A\subseteq B{\text{ och }}B\subseteq A{\text{ innebär }}A=B$$

Ett verkligt exempel på en relation som är typiskt antisymmetrisk är "betald restaurangräkningen för" (förstått som begränsat till ett givet tillfälle). Vanligtvis betalar vissa människor sina egna räkningar, medan andra betalar för sina makar eller vänner. Så länge inte två personer betalar varandras räkningar är förhållandet antisymmetriskt.

Egenskaper

Symmetriska och antisymmetriska relationer

Partiella och totala beställningar är antisymmetriska per definition. En relation kan vara både symmetrisk och antisymmetrisk (i detta fall måste den vara coreflexiv ), och det finns relationer som varken är symmetriska eller antisymmetriska (till exempel "byten på"-relationen på biologiska arter ).

Antisymmetri skiljer sig från asymmetri : en relation är asymmetrisk om och endast om den är antisymmetrisk och irreflexiv .

Se även

• Reflexiv relation – Binär relation som relaterar varje element till sig själv
• Symmetri i matematik

• Weisstein, Eric W. "Antisymmetrisk relation" . MathWorld .
•   Lipschutz, Seymour ; Marc Lars Lipson (1997). Teori och problem för diskret matematik . McGraw-Hill. sid. 33 . ISBN 0-07-038045-7 .
• nLab antisymmetrisk relation