Kedjekomplett delorder
I matematik , närmare bestämt ordningsteori , är en delvis ordnad uppsättning kedja-fullständig om varje kedja i den har en minsta övre gräns . Det är ω-komplett när varje ökande sekvens av element (en typ av räknebar kedja) har en minsta övre gräns; samma begrepp kan utvidgas till andra kardinaliteter av kedjor.
Exempel
Varje komplett galler är kedja-komplett. Till skillnad från kompletta gitter är kedjekompletta posetter relativt vanliga. Exempel inkluderar:
- Mängden av alla linjärt oberoende delmängder av ett vektorrum V , ordnade efter inkludering .
- Uppsättningen av alla delfunktioner på en uppsättning, sorterad efter begränsning .
- Uppsättningen av alla partiella valfunktioner på en samling icke-tomma uppsättningar, sorterade efter begränsning.
- Uppsättningen av alla främsta ideal för en ring , ordnade efter inkludering.
- Uppsättningen av alla konsekventa teorier om ett första ordningens språk .
Egenskaper
En poset är kedja-komplett om och endast om det är en spetsig dcpo . Denna likvärdighet kräver dock valets axiom .
Zorns lemma säger att om en poset har en övre gräns för varje kedja, så har den ett maximalt element . Det gäller alltså kedjekompletta posetter, men är mer generellt genom att det tillåter kedjor som har övre gränser men inte har minst övre gränser.
Kedjekompletta posetter lyder också Bourbaki–Witt-satsen , en fixpunktsats som säger att om f är en funktion från en komplett kedjeposet till sig själv med egenskapen att f ( x ) ≥ x för alla x , så har f en fixerad punkt . Denna sats kan i sin tur användas för att bevisa att Zorns lemma är en konsekvens av valets axiom.
I analogi med Dedekind-MacNeille-kompletteringen av ett delvis beställt set, kan varje delvis beställt set utökas unikt till en minimal kedja-komplett poset.