Beställningstopologi

Ej att förväxla med ordningstopologi (funktionsanalys) .

I matematik är en ordertopologi en viss topologi som kan definieras på vilken som helst helt ordnad uppsättning . Det är en naturlig generalisering av topologin för de reella talen till godtyckliga totalt ordnade mängder.

Om X är en helt ordnad uppsättning, genereras ordningstopologin på X av subbasen av "öppna strålar"

$\{x\mid a<x\}$

$\{x\mid x<b\}$

för alla a, b i X . Förutsatt att X har minst två element, motsvarar detta att säga att de öppna intervallen

$(a,b)=\{x\mid a<x<b\}$

bildar tillsammans med ovanstående strålar en bas för ordningstopologin. De öppna mängderna i X är de mängder som är en förening av (möjligen oändligt många) sådana öppna intervall och strålar.

Ett topologiskt utrymme X kallas ordningsbart eller linjärt ordningsbart om det finns en total ordning på dess element så att ordningstopologin som induceras av den ordningen och den givna topologin på X sammanfaller. Ordertopologin gör X till ett helt normalt Hausdorff-rum .

Standardtopologierna på R , Q , Z och N är ordningstopologierna.

Inducerad ordningstopologi

Om Y är en delmängd av X , X är en helt ordnad mängd, då ärver Y en total ordning från X . Mängden Y har därför en ordningstopologi, den inducerade ordningstopologin . Som en delmängd av X har Y också en subrymdstopologi . Subrymdstopologin är alltid minst lika fin som topologin för inducerad ordning, men de är i allmänhet inte desamma.

Betrakta till exempel delmängden Y = {–1} ∪ {1/ n } _{n ∈ N} i rationalerna . Under subrymdtopologin är singelmängden {–1} öppen i Y , men under topologin för inducerad ordning måste alla öppna uppsättningar som innehåller –1 innehålla alla utom ändligt många medlemmar av rummet.

Ett exempel på ett delrum till ett linjärt ordnat utrymme vars topologi inte är en ordningstopologi

Även om subrymdstopologin för Y = {–1} ∪ {1/ n } _{n ∈ N} i avsnittet ovan visas inte genereras av den inducerade ordningen på Y , så är det ändå en ordningstopologi på Y ; faktiskt, i subrymdstopologin är varje punkt isolerad (dvs singelton {y} är öppen i Y för varje y i Y ), så subrymdstopologin är den diskreta topologin på Y (topologin där varje delmängd av Y är en öppen set), och den diskreta topologin på vilken uppsättning som helst är en ordningstopologi. För att definiera en total ordning på Y som genererar den diskreta topologin på Y , modifiera helt enkelt den inducerade ordningen på Y genom att definiera -1 som det största elementet av Y och i övrigt behålla samma ordning för de andra punkterna, så att i denna nya ordning (kalla det säg < ₁ ) vi har 1/ n < ₁ –1 för alla n ∈ N . Sedan, i ordningstopologin på Y som genereras av < ₁ , är varje punkt i Y isolerad i Y .

Vi vill här definiera en delmängd Z av ett linjärt ordnat topologiskt rymd X så att ingen total ordning på Z genererar subrymdstopologin på Z , så att subrymdstopologin inte kommer att vara en ordertopologi även om det är subrymdstopologin för ett rum vars topologi är en ordertopologi.

Låt $\displaystyle Z=\{-1\}\cup (0,1)}$ på den reella linjen. Samma argument som tidigare visar att subrymdstopologin på Z inte är lika med den inducerade ordningstopologin på Z, men man kan visa att subrymdstopologin på Z inte kan vara lika med någon ordningstopologi på Z.

Ett argument följer. Antag som motsägelse att det finns någon strikt total ordning < på Z så att ordningstopologin som genereras av < är lika med subrymdstopologin på Z (observera att vi inte antar att < är den inducerade ordningen på Z, utan snarare en godtyckligt given total ordning på Z som genererar subrymdstopologin). I det följande ska intervallnotation tolkas i förhållande till <-relationen. Dessutom, om A och B är mängder, kommer $A<B$ att betyda att $a<b$ för varje a i A och b i B .

Låt M = Z \ {-1}, enhetsintervallet. M är ansluten. Om m , n ∈ M och m < -1 < n , då $(-\infty ,-1)$ och $(-1,\infty) )$ separera M , en motsägelse. Med liknande argument M tät på sig själv och har inga luckor när det gäller <. Således är M < {-1} eller {-1} < M . Antag utan förlust av allmänhet att {-1} < M . Eftersom {-1} är öppen i Z finns det någon punkt p i M så att intervallet (-1, p ) är tomt. Eftersom {-1} < M , vet vi att -1 är det enda elementet i Z som är mindre än p , så p är minimum av M . Då är M \ { p } = A ∪ B , där A och B är icke-tomma öppna och disjunkta delmängder av M , givet av intervallen för den reella linjen (0, p ) respektive ( p ,1). Lägg märke till att gränsen för A och B båda är enhetliga för p . Förutsatt att utan förlust av generalitet a i A och b i B så att a < b , eftersom det inte finns några luckor i M och det är tätt, finns det en gränspunkt mellan A och B i intervallet ( a , b ) (man kan ta den högsta av mängden element x i A så att [ a , x ] är i A ). Detta är en motsägelse, eftersom den enda gränsen är strikt under en .

Topologier i vänster och höger ordning

Flera varianter av ordertopologin kan ges:

• Rätt ordningstopologi på X är topologin som har som bas alla intervall av formen $(a,\infty )=\{x\i X\ mid x>a\}$ , tillsammans med mängden X .
• Den vänstra ordningens topologi på X är topologin som har som bas alla intervall av formen $(-\infty ,a)=\{x\in X\mid x<a\}$ , tillsammans med mängden X .

Topologierna i vänster och höger ordning kan användas för att ge motexempel i allmän topologi. Till exempel ger den vänstra eller högra ordningens topologi på en avgränsad mängd ett exempel på ett kompakt utrymme som inte är Hausdorff.

Den vänstra ordningens topologi är standardtopologin som används för många mängdteoretiska ändamål på en boolesk algebra .

Ordinalutrymme

För vilket ordningstal λ som helst kan man överväga mellanrummen i ordningstal

${\displaystyle [0,\lambda )=\{\alpha \mid \alpha <\lambda \}} [$

$\ displaystyle [0,\lambda ]=\{\alpha \mid \alpha \leq \lambda \}}$

tillsammans med den naturliga ordningens topologi. Dessa utrymmen kallas ordningsutrymmen . (Observera att i den vanliga mängdteoretiska konstruktionen av ordningstal har vi λ = [0, λ ) och λ + 1 = [0, λ ]). Uppenbarligen är dessa mellanslag mestadels av intresse när λ är en oändlig ordningslinje; annars (för ändliga ordningstal) är ordningstopologin helt enkelt den diskreta topologin .

När λ = ω (den första oändliga ordinalen) är mellanrummet [0,ω) bara N med den vanliga (fortfarande diskreta) topologin, medan [0,ω] är enpunktskomprimeringen av N .

Av särskilt intresse är fallet när λ = ω ₁ , mängden av alla räknebara ordinaler och den första oräkneliga ordinalen . Elementet ω ₁ är en gränspunkt för delmängden [0,ω ₁ ) även om ingen sekvens av element i [0,ω ₁ ) har elementet ω ₁ som sin gräns. I synnerhet är [0,ω ₁ ] inte först-räknat . Delrummet [0,ω ₁ ) är emellertid först-räknat, eftersom den enda punkten i [0,ω ₁ ] utan en räknebar lokal bas är ω ₁ . Några ytterligare fastigheter inkluderar

• varken [0,ω ₁ ) eller [0,ω ₁ ] är separerbara eller andra räknas
• [0,ω ₁ ] är kompakt , medan [0, ω ₁ ) är sekventiellt kompakt och räknat kompakt , men inte kompakt eller parakompakt

Topologi och ordtal

Ordinaler som topologiska rum

Vilket ordningstal som helst kan göras till ett topologiskt rum genom att förse det med ordningstopologin (eftersom ett ordningstal är välordnat i synnerhet är totalt ordnat ): i avsaknad av indikation på motsatsen är det alltid den ordningstopologin som menas när en ordinal ses som ett topologiskt rum. (Observera att om vi är villiga att acceptera en riktig klass som ett topologiskt utrymme, så är klassen för alla ordinaler också ett topologiskt utrymme för ordningstopologin.)

Uppsättningen av gränspunkter för en ordinal α är exakt den uppsättning av gränsordningspunkter som är mindre än α . Efterföljande ordningstal (och noll) mindre än α är isolerade punkter i α . Speciellt är de ändliga ordinalerna och ω diskreta topologiska utrymmen, och ingen ordinal utöver det är diskret. Ordinalet α är kompakt som ett topologiskt rum om och endast om α är en efterföljande ordinal .

De slutna uppsättningarna av en limitordinal α är bara de slutna uppsättningarna i den mening som vi redan har definierat , nämligen de som innehåller en limitordinal närhelst de innehåller alla tillräckligt stora ordinaler under den.

Vilken ordningsföljd som helst är naturligtvis en öppen delmängd av vilken ytterligare ordningsföljd som helst. Vi kan också definiera topologin på ordinalerna på följande induktiva sätt: 0 är det tomma topologiska rummet, α +1 erhålls genom att ta enpunktskomprimeringen av α , och för δ en gränsordinal är δ utrustad med den induktiva begränsa topologi. Observera att om α är en efterföljande ordinal, så är α kompakt, i vilket fall dess enpunktskomprimering α +1 är den disjunkta föreningen av α och en punkt.

Som topologiska utrymmen är alla ordinalerna Hausdorff och till och med normala . De är också helt frånkopplade (anslutna komponenter är punkter), spridda (varje icke-tomt delrum har en isolerad punkt; i det här fallet, ta bara det minsta elementet), nolldimensionella (topologin har en clopen - bas : här, skriv en öppet intervall ( β , γ ) som föreningen av clopenintervallen ( β , γ '+1)=[ β +1, γ '] för γ '< γ ). De är dock inte extremt frånkopplade i allmänhet (det finns öppna uppsättningar, till exempel de jämna talen från ω, vars stängning inte är öppen).

De topologiska utrymmena ω ₁ och dess efterföljare ω ₁ +1 används ofta som läroboksexempel på icke-räknebara topologiska utrymmen. Till exempel, i det topologiska rummet ω ₁ +1, är elementet ω ₁ i slutet av delmängden ω ₁ även om ingen sekvens av element i ω ₁ har elementet ω ₁ som sin gräns: ett element i ω ₁ är en räknebart set; för vilken sekvens som helst av sådana mängder är föreningen av dessa mängder föreningen av otaligt många räkningsbara mängder, så fortfarande räknebara; denna förening är en övre gräns för elementen i sekvensen, och därför av gränsen för sekvensen, om den har en sådan.

Utrymmet ω ₁ är första-räknat , men inte andra-räknat , och ω ₁ +1 har ingen av dessa två egenskaper, trots att det är kompakt . Det är också värt att notera att varje kontinuerlig funktion från ω ₁ till R (den reella linjen ) till slut är konstant: så Stone–Čech-komprimeringen av ω ₁ är ω ₁ +1, precis som dess enpunktskomprimering (i skarp kontrast till ω, vars Stone–Čech kompaktering är mycket större än ω).

Ordinalindexerade sekvenser

Om α är en gränsordinal och X är en mängd, betyder en α -indexerad sekvens av element i X bara en funktion från α till X . Detta koncept, en transfinit sekvens eller ordinalindexerad sekvens , är en generalisering av begreppet en sekvens . En vanlig sekvens motsvarar fallet α = ω.

Om X är ett topologiskt utrymme, säger vi att en α -indexerad sekvens av element i X konvergerar till en gräns x när den konvergerar som ett nät , med andra ord, när det ges någon grannskap U av x finns det en ordinal β < α sådan att x _ι är i U för alla ι ≥ β .

Ordinalindexerade sekvenser är mer kraftfulla än vanliga (ω-indexerade) sekvenser för att bestämma gränser i topologi: till exempel är ω ₁ ( omega-one , mängden av alla räknebara ordningstal och det minsta oräkneliga ordningstalet) en gräns punkten ω ₁ +1 (eftersom det är en gränsordinal), och det är faktiskt gränsen för den ω ₁ -indexerade sekvensen som kartlägger vilken som helst ordinal som är mindre än ω ₁ till sig själv: det är dock inte gränsen för någon vanlig (ω-indexerad) sekvens i ω ₁ , eftersom varje sådan gräns är mindre än eller lika med föreningen av dess element, som är en räknebar förening av räknebara mängder, därav sig själv räknebar.

Ordinalindexerade sekvenser är dock inte tillräckligt kraftfulla för att ersätta nät (eller filter ) i allmänhet: till exempel på Tychonoff-plankan (produktutrymmet $(\omega _ {1}+1)\ gånger (\omega +1)$ ), hörnpunkten $(\omega _{1},\omega )$ är en gränspunkt (den är i closure) av den öppna delmängden ${\displaystyle \omega _{1}\times \omega } ,$ men det är inte gränsen för en ordinalindexerad sekvens.

Se även

• Lista över topologier
• Nedre gränstopologi
• Lång linje (topologi)
• Linjärt kontinuum
• Ordertopologi (funktionsanalys)
• Delvis beställt utrymme

Anteckningar

•   Steen, Lynn A. och Seebach, J. Arthur Jr .; Motexempel i Topology , Holt, Rinehart och Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4 .
• Stephen Willard, General Topology , (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.
• Den här artikeln innehåller material från beställningstopologi på PlanetMath , som är licensierad under Creative Commons Attribution/Share-Alike-licensen .