Hausdorff maximal princip

Inom matematiken är Hausdorffs maximala princip en alternativ och tidigare formulering av Zorns lemma som bevisades av Felix Hausdorff 1914 (Moore 1982:168). Det sägs att i varje partiellt ordnad uppsättning är varje helt ordnad delmängd inkluderad i en maximal totalt ordnad delmängd.

Hausdorffs maximala princip är ett av många påståenden som motsvarar valets axiom framför ZF ( Zermelo–Fraenkels mängdteori utan valets axiom). Principen kallas också för Hausdorffs maximalitetsteorem eller Kuratowski-lemmat (Kelley 1955:33).

Påstående

Hausdorff-maximalprincipen säger att i alla partiellt ordnade uppsättningar , är varje helt ordnad delmängd inrymd i en maximal totalt ordnad delmängd (en helt ordnad delmängd som, om den förstoras på något sätt, inte förblir helt ordnad). I allmänhet kan det finnas många maximala totalt ordnade delmängder som innehåller en given helt ordnad delmängd.

En ekvivalent form av Hausdorffs maximala princip är att det i varje partiellt ordnad mängd finns en maximal totalt ordnad delmängd. För att bevisa att detta påstående följer av originalformuläret, låt A vara en delvis ordnad uppsättning. Då $\varnothing$ en totalt ordnad delmängd av A , därför finns det en maximal totalt ordnad delmängd som innehåller ${\displaystyle \varnothing } ,$ därför innehåller särskilt A en maximal totalt ordnad delmängd. För den motsatta riktningen, låt A vara en delvis ordnad mängd och T en helt ordnad delmängd av A . Sedan

$\{S\mid T\subseteq S\subseteq A{\mbox{ och S helt ordnade}}\}$

är delvis ordnad efter inkludering av mängden $\subseteq$ , därför innehåller den en maximal totalt ordnad delmängd P . Då uppfyller uppsättningen $P$ de önskade egenskaperna.

Beviset för att Hausdorff-maximalprincipen är likvärdig med Zorns lemma är mycket likt detta bevis.

Exempel

Om A är en samling av mängder är relationen "är en riktig delmängd av" en strikt partiell ordning på A . Antag att A är samlingen av alla cirkulära områden (cirklarnas inre) i planet. En maximalt totalt ordnad delsamling av A består av alla cirkulära regioner med centra vid origo. En annan maximalt totalt ordnad delsamling består av alla cirkulära områden som begränsas av cirklar som tangerar från höger till y-axeln vid origo.

₀₀₀₀₀₀ Om (x , y ) och (x ₁ , y ₁ ) är två punkter i planet ℝ ² , definiera (x , y ) < (x ₁ , y ₁ ) om y = y ₁ och x < x ₁ . Detta är en delordning på ℝ ² under vilken två punkter är jämförbara endast om de ligger på samma horisontella linje. De maximala totalt beställda seten är horisontella linjer i ℝ ² .

• John Kelley (1955), Allmän topologi , Von Nostrand.
• Gregory Moore (1982), Zermelo's axiom of choice , Springer.
• James Munkres (2000), Topology , Pearson.