Tät ordning

I matematik sägs en partiell ordning eller total ordning < på en mängd ${\displaystyle X} vara$ tät om, för alla $x$ och $y$ i $X$ för vilken $x<y$ , det finns en $z$ i $X$ så att $x<z<y$ . Det vill säga, för alla två element, det ena mindre än det andra, finns det ett annat element mellan dem. För totala beställningar kan detta förenklas till "för två olika element, det finns ett annat element mellan dem", eftersom alla element i en total beställning är jämförbara .

Exempel

De rationella numren som en linjärt ordnad uppsättning är en tätt ordnad uppsättning i denna mening, liksom de algebraiska talen , de reella talen , de dyadiska rationalerna och decimalbråken . Faktum är att varje arkimediskt ordnad ringförlängning av heltal $\mathbb {Z} [x]$ är en tätt ordnad mängd.

Bevis

För elementet ${\displaystyle x\in \mathbb {Z} [x]} ,$ på grund av den arkimedeiska egenskapen, om $x>0$ , finns det ett största heltal $n<x$ med $n<x<n+1$ och om $x<0$ − $\displaystyle -x>0}$ , och det finns ett största heltal $m=-n-1<-x$ med $-n-1<-x <-n$ . Som ett resultat, $0<xn<1$ . För två valfria element $y,z\in \mathbb {Z} [x]$ med $z<y$ , $0<(xn)(yz)<yz$ och $z<(xn)(yz)+z <y$ . Därför $\mathbb {Z} [x]$ tät.

Å andra sidan är den linjära ordningen på heltalen inte tät.

Unikt för total täta beställningar utan ändpunkter

Huvudartikel: Cantors isomorfismsats

Georg Cantor bevisade att varannan icke-tomma täta totalt ordnade räknebara uppsättningar utan nedre eller övre gränser är ordningsisomorfa . Detta gör teorin om täta linjära ordningar utan gränser till ett exempel på en ω- kategorisk teori där ω är den minsta gränsordinalen . Till exempel finns det en ordningsisomorfism mellan de rationella talen och andra tätt ordnade räknebara mängder inklusive de dyadiska rationalerna och de algebraiska talen . Bevisen av dessa resultat använder fram-och-tillbaka-metoden .

Minkowskis frågeteckenfunktion kan användas för att bestämma ordningens isomorfismer mellan de kvadratiska algebraiska talen och de rationella talen och mellan rationalerna och de dyadiska rationalerna .

Generaliseringar

Varje binär relation R sägs vara tät om det för alla R -relaterade x och y finns ett z så att x och z och även z och y är R -relaterade. Formellt:

$\forall x\ \forall y\ xRy\Rightarrow (\exists z\ xRz\land zRy).$ Alternativt, när det gäller sammansättningen av R med sig själv, kan det täta tillståndet uttryckas som R ⊆ R ; R .

Tillräckliga villkor för att en binär relation R på en mängd X ska vara tät är:

• R är reflexiv ;
• R är kärnflexiv ;
• R är kvasireflexiv ;
• R är vänster eller höger euklidisk ; eller
• R är symmetrisk och semi-connex och X har minst 3 element.

Ingen av dem är nödvändig . Det finns till exempel en relation R som inte är reflexiv utan tät. En icke-tom och tät relation kan inte vara antitransitiv .

En strikt partiell ordning < är en tät ordning om och endast om < är en tät relation. En tät relation som också är transitiv sägs vara idempotent .

Se även

• Tät uppsättning — en delmängd av ett topologiskt utrymme vars stängning är hela utrymmet
• Tät i sig — en delmängd $A$ av ett topologiskt utrymme så att $A$ inte innehåller en isolerad punkt
• Kripke semantik — en tät tillgänglighetsrelation motsvarar axiomet $\Box \Box A\rightarrow \Box A$

Vidare läsning

•   David Harel , Dexter Kozen , Jerzy Tiuryn, Dynamic logic , MIT Press, 2000, ISBN 0-262-08289-6 , sid. 6ff