Jämförbarhet

Se även: Jämförelse (matematik)

Hasse diagram över de naturliga talen , delvis ordnade efter " x ≤ y om x dividerar y ". Siffrorna 4 och 6 är ojämförliga, eftersom ingen av dem delar den andra.

Inom matematiken sägs två element x och y i en mängd P vara jämförbara med avseende på en binär relation ≤ om minst en av x ≤ y eller y ≤ x är sann. De kallas ojämförbara om de inte är jämförbara.

Rigorös definition

En binär relation på en mängd $P$ är per definition vilken delmängd som helst $R$ av $P\times P.$ Givet $x,y\in P,$$xRy$ skrivs om och endast om ${ \displaystyle (x,y)\in R,}$ i vilket fall $x$ sägs vara relaterad till $y$ av $R.$ Ett element $x\in P$ sägs vara $R$ -jämförbart , eller jämförbart ( med avseende på $R$ ), med ett element $y\in P$ om $xRy$ eller $yRx.$ Ofta är en symbol som indikerar jämförelse, såsom $\,<\,$ (eller $\,\leq \,,$$\,>,\ ,$$\geq ,$ och många andra) används istället för $R,$ i vilket fall $x<y$ skrivs i stället för ${ \displaystyle xRy,}$ varför termen "jämförbar" används.

Jämförbarhet med avseende på $R$ inducerar en kanonisk binär relation på $P$ ; specifikt, jämförbarhetsrelationen inducerad av $R$ definieras till att vara mängden av alla par $(x,y)\in P\times P$ så att ${ \displaystyle x}$ är jämförbar med $y$ ; det vill säga så att minst en av $xRy$ och $yRx$ är sann. På liknande sätt definieras injämförbarhetsrelationen på $P$ inducerad av ${\displaystyle R} till att vara mängden av alla par$$(x,y)\in P\ gånger P$ så att $x$ är ojämförlig med $y;$ det vill säga så att varken $xRy$ eller $yRx$ är sanna.

Om symbolen $\,<\,$ används i stället för ${\displaystyle \,\leq \,} så$ betecknas ibland jämförbarhet med avseende på ${\displaystyle \,<\,} med symbolen$${\overset {<}{\underset {>}{=}}}$ och ojämförlighet med symbolen ${\cancel {\overset {<}{\underset {> }{=}}}}\!$ . Således, för två valfria element $x$ och $y$ i en delvis ordnad uppsättning, exakt en av $x\ {\overset {<}{\underset {>} {=}}}\ y$ och $x{\cancel {\overset {<}{\underset {>}{=}}}}y$ är sant.

Exempel

Ett helt beställt set är ett delvis beställt set där två valfria element är jämförbara. Szpilrajns förlängningssats säger att varje partiell ordning ingår i en total ordning. Intuitivt säger satsen att varje metod för att jämföra element som gör vissa par ojämförliga kan utökas på ett sådant sätt att varje par blir jämförbara.

Egenskaper

Båda relationerna jämförbarhet och injämförbarhet är symmetriska , det vill säga $x$ är jämförbar med $y$ om och endast om $y$ är jämförbar med $x,$ och likaså för ojämförlighet.

Jämförbarhetsgrafer

Huvudartikel: Jämförbarhetsdiagram

Jämförbarhetsgrafen för en delvis ordnad uppsättning $P$ har som hörn elementen i $P$ och har som kanter exakt de paren $\{x,y\}$ av element för vilka $x\ {\overset {<}{\underset {>}{=}}}\ y$ .

Klassificering

Vid klassificering av matematiska objekt (t.ex. topologiska rum ) sägs två kriterier vara jämförbara när objekten som följer ett kriterium utgör en delmängd av objekten som lyder det andra, det vill säga när de är jämförbara under den partiella ordningen ⊂. Till exempel T _1- och T ₂ -kriterierna jämförbara, medan T _1- och nykterhetskriterierna inte är det.

Se även

• Strikt svag ordning – Matematisk rangordning av en uppsättning Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål, en partiell ordning där oförlikbarhet är en transitiv relation

externa länkar

• "PlanetMath: partiell ordning" . Hämtad 6 april 2010 .