Finansiella modeller med långsvansade distributioner och volatilitetsklustring

Finansiella modeller med långsvansade distributioner och volatilitetsklustring har införts för att övervinna problem med realismen hos klassiska finansiella modeller. Dessa klassiska modeller av finansiella tidsserier antar vanligtvis homoskedasticitet och normalitet kan inte förklara stiliserade fenomen som skevhet , tunga svansar och volatilitetsklustring av den empiriska tillgångsavkastningen inom finans. År 1963 Benoit Mandelbrot först den stabila (eller $\alpha$ -stabila) fördelningen för att modellera de empiriska fördelningarna som har egenskapen skewness och heavy-tail. Eftersom $\alpha$ -stabila distributioner har oändliga $p$ -th moment för alla $p>\alpha$ , har de tempererade stabila processerna föreslagits för att övervinna denna begränsning av stabilen distribution.

Å andra sidan har GARCH- modeller utvecklats för att förklara volatilitetsklustringen . I GARCH-modellen antas innovations- (eller rest)fördelningarna vara en standardnormalfördelning, trots att detta antagande ofta förkastas empiriskt. Av denna anledning har GARCH-modeller med icke-normal innovationsfördelning utvecklats.

Många finansiella modeller med stabila och tempererade stabila distributioner tillsammans med volatilitetsklustring har utvecklats och tillämpats för riskhantering, prissättning av optioner och portföljval.

Oändligt delbara fördelningar

En slumpvariabel $Y$ kallas oändligt delbar om det för varje $n=1,2,\dots$ finns oberoende och identiskt fördelade slumpvariabler

$Y_{n,1},Y_{n,2},\dots ,Y_{n,n}\,$

Så att

$Y{\stackrel {\mathrm {d} }{=}}\summa _{k=1}^{n}Y_{n,k}, \,$

där ${\stackrel {\mathrm {d} }{=}}$ betecknar jämlikhet i fördelningen.

Ett Borelmått $\nu$ på $\mathbb {R}$ kallas ett Lévymått om $\nu ({0})=0$ och

$\int _{\mathbb {R} }(1\kil |x^{2}|)\,\nu (dx)<\infty .$

Om $Y$ är oändligt delbar, då är den karakteristiska funktionen $\phi _{Y}(u)=E[e^{iuY}]$ ges av

$\phi _{Y}(u)=\exp \left(i\gamma u-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}u^{2}+ \int _{-\infty }^{\infty }(e^{iux}-1-iux1_{|x|\leq 1})\,\nu (dx)\right),\sigma \geq 0,~ ~\gamma \in \mathbb {R}$

där $\sigma \geq 0$ , $\gamma \in \mathbb {R}$ och $\nu$ är ett Lévy-mått. Här kallas trippeln $(\sigma ^{2},\nu ,\gamma )$ en Lévy-triplett av $Y$ . Denna triplett är unik. Omvänt, för alla val $(\sigma ^{2},\nu ,\gamma )$ som uppfyller villkoren ovan, finns det en oändligt delbar slumpvariabel $Y$ vars karakteristisk funktion ges som $\phi _{Y}$ .

α -Stabila distributioner

En reellt värderad slumpvariabel $X$ sägs ha en $\alpha$ -stabil fördelning om det för någon $n\geq 2$ finns ett positivt tal ${ \displaystyle C_{n}}$ och ett reellt tal $D_{n}$ så att

$X_{1}+\cdots +X_{n}{\stackrel {\mathrm {d} }{=}}C_{n}X +D_{n},\,$

där $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ är oberoende och har samma fördelning som $X$ . Alla stabila slumpvariabler är oändligt delbara. Det är känt att $C_{n}=n^{1/\alpha }$ för några $0<\alpha \leq 2$ . En stabil slumpvariabel $X$ med index $\alpha$ kallas en $\alpha$ -stabil slumpvariabel .

Låt $X$ vara en $\alpha$ -stabil slumpvariabel. Då ges den karakteristiska funktionen $\phi _{X}$ av ${\displaystyle X} av$

$\phi _{X}(u)={\begin{cases}\exp \left(i\mu u-\sigma ^{\alpha }|u|^{\ alpha }\left(1-i\beta \operatörsnamn {sgn} (u)\tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\right)\right)&{\text{ om }}\alpha \in (0,1)\cup (1,2)\\\exp \left(i\mu u-\sigma |u|\left(1+i\beta \operatörsnamn {sgn} ( u)\left({\frac {2}{\pi }}\right)\ln(|u|)\right)\right)&{\text{if }}\alpha =1\\\exp \left (i\mu u-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}u^{2}\right)&{\text{if }}\alpha =2\end{cases}}$

för vissa $\mu \in \mathbb {R}$ , $\sigma >0$ och $\beta \in [-1,1 ]$ .

Tempererade stabila distributioner

En oändligt delbar fördelning kallas en klassisk tempererad stabil (CTS) fördelning med parametern $(C_{1},C_{2},\lambda _{+ },\lambda _{-},\alpha )$ , om dess Lévy-triplett $(\sigma ^{2},\nu ,\gamma )$ ges av ${ \displaystyle \sigma =0}$ , $\gamma \in \mathbb {R}$ och

$\nu ( dx)=\left({\frac {C_{1}e^{-\lambda _{+}x}}{x^{1+\alpha }}}1_{x>0}+{\frac {C_ {2}e^{-\lambda _{-}|x|}}{|x|^{1+\alpha }}}1_{x<0}\right)\,dx,$

där $C_{1},C_{2},\lambda _{+},\lambda _{-}>0$ och $\ alfa <2$ .

Denna distribution introducerades först av under namnet Truncated Lévy Flights och har kallats det tempererade stallet eller KoBoL -distributionen. I synnerhet om $C_{1}=C_{2}=C>0$ kallas denna fördelning CGMY-fördelningen som har använts för finansiell modellering.

Den karakteristiska funktionen $\phi _{CTS}$ för en tempererad stabil fördelning ges av

$\phi _{CTS}(u)=\exp \left(iu\mu +C_{1}\Gamma (-\alpha )((\lambda _{+ }-iu)^{\alpha }-\lambda _{+}^{\alpha })+C_{2}\Gamma (-\alpha )((\lambda _{-}+iu)^{\alpha } -\lambda _{-}^{\alpha })\right),$

för vissa $\mu \in \mathbb {R}$ . Dessutom $\phi _{CTS}$ utökas till regionen $\{z\in \mathbb {C} :\operatörsnamn {Im} (z)\in (-\lambda _{-},\lambda _{+})\}$ .

Rosiński generaliserade CTS-distributionen under namnet den härdade stabila distributionen . KR-distributionen, som är en underklass av Rosińskis generaliserade tempererade stabila distributioner, används inom finans.

En oändligt delbar fördelning kallas en modifierad tempererad stabil (MTS) fördelning med parametern $(C,\lambda _{+},\lambda _{-},\alpha )$ , om dess Lévy-triplett $(\sigma ^{2},\nu,\gamma )$ ges av $\sigma =0$ , ${ \displaystyle \gamma \in \mathbb {R} }$ och

$\nu (dx)=C\left({\frac {q_{\alpha }(\lambda _{+}|x|)}{x^{\alpha +1}}}1_{x>0}+{ \frac {q_{\alpha }(\lambda _{-}|x|)}{|x|^{\alpha +1}}}1_{x<0}\right)\,dx,$

där $C,\lambda _{+},\lambda _{-}>0,\alpha <2$ och

$q_{\alpha }(x)=x^{\frac {\alpha +1}{2}}K_{\frac {\alpha +1}{2}}(x).$

Här är $K_{p}(x)$ den modifierade Bessel-funktionen av det andra slaget. MTS-distributionen ingår inte i klassen av Rosińskis generaliserade tempererade stabila distributioner.

Volatilitetsklustring med stabil och tempererad stabil innovation

För att beskriva volatilitetsklustringseffekten av avkastningsprocessen för en tillgång kan GARCH- modellen användas. I GARCH-modellen antas innovation ( $~\epsilon _{t}~$ ) att $~\epsilon _{t}=\sigma _{t}z_ {t}~$ , där $z_{t}\sim iid~N(0,1)$ och där serien $\sigma _{ t}^{2}$ modelleras av

$\sigma _{t}^{2 }=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\epsilon _{tq}^{2}=\alpha _{0}+\summa _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{ti}^{2}$

och där $~\alpha _{0}>0~$ och $\alpha _{i}\geq 0,~i>0$ .

förkastas antagandet om ${\displaystyle z_{t}\sim iid~N(0,1)} ofta empiriskt.$ Av den anledningen har nya GARCH-modeller med stabil eller tempererad stabil distribuerad innovation utvecklats. GARCH-modeller med $\alpha$ -stabila innovationer har introducerats. Därefter har GARCH-modeller med tempererade stabila innovationer utvecklats.

Invändningar mot användningen av stabila fördelningar i finansiella modeller ges i

Anteckningar

• BB Mandelbrot (1963) "New Methods in Statistical Economics", Journal of Political Economy , 71, 421-440
• Svetlozar T. Rachev, Stefan Mittnik (2000) Stable Paretian Models in Finance , Wiley
• G. Samorodnitsky och MS Taqqu, Stabila icke-Gaussiska slumpmässiga processer , Chapman & Hall/CRC.
• SI Boyarchenko, SZ Levendorskiǐ (2000) "Optionsprissättning för trunkerade Lévy-processer", International Journal of Theoretical and Applied Finance , 3 (3), 549–552.
• J. Rosiński (2007) "Temperering stabila processer", Stokastiska processer och deras tillämpningar , 117 (6), 677–707.