Meijer G-funktion

Plott av Meiger G-funktionen G(((a 1,...,an),(a n+1,...,ap)),((b 1,...,bm),(b m+ 1,...,bq)),z) ingång ((½),()),((⅓),()) i det komplexa planet från -2-2i till 2+2i

Inom matematiken introducerades G-funktionen av Cornelis Simon Meijer ( 1936 ) som en mycket allmän funktion avsedd att omfatta de flesta av de kända specialfunktionerna som särskilda fall. Detta var inte det enda försöket i sitt slag: den generaliserade hypergeometriska funktionen och MacRobert E-funktionen hade samma syfte, men Meijers G-funktion kunde även inkludera dessa som särskilda fall. Den första definitionen gjordes av Meijer med hjälp av en serie ; numera är den accepterade och mer allmänna definitionen via en linjeintegral i det komplexa planet , införd i sin fulla allmänhet av Arthur Erdélyi 1953.

Med den moderna definitionen kan majoriteten av de etablerade specialfunktionerna representeras i termer av Meijer G-funktionen. En anmärkningsvärd egenskap är stängningen av uppsättningen av alla G-funktioner, inte bara under differentiering utan också under obestämd integration. I kombination med en funktionell ekvation som gör det möjligt att frigöra varje faktor z ^{ρ från en G-funktion} G ( z ) som är en konstant potens av dess argument z , innebär stängningen att närhelst en funktion är uttryckbar som en G-funktion av en konstant multipel av någon konstant potens av funktionsargumentet, f ( x ) = G ( cx ^γ ), derivatan och antiderivatan av denna funktion är också uttryckbara.

Den breda täckningen av specialfunktioner ger också kraft åt andra användningar av Meijers G-funktion än representation och manipulation av derivat och antiderivat. Till exempel, den bestämda integralen över den positiva reella axeln för alla funktioner g ( x ) som kan skrivas som en produkt G ₁ ( cx ^γ ) · G ₂ ( dx ^δ ) av två G-funktioner med rationell γ / δ är lika med bara en annan G-funktion, och generaliseringar av integraltransformer som Hankel-transformen och Laplace-transformen och deras inverser resulterar när lämpliga G-funktionspar används som transformationskärnor.

En ännu mer allmän funktion, som introducerar ytterligare parametrar i Meijers G-funktion, är Foxs H-funktion och används för Matrix-transform av Ram Kishore Saxena

En tillämpning av Meijer G-funktionen har varit partikelspektrumet av strålning från en tröghetshorisont i den rörliga spegelmodellen av den dynamiska Casimir-effekten ( Good 2020 ).

Definition av Meijer G-funktionen

En generell definition av Meijer G-funktionen ges av följande linjeintegral i det komplexa planet ( Bateman & Erdélyi 1953, § 5.3-1):

$G_{p, q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{L}{\frac {\prod _{j=1}^ {m}\Gamma (b_{j}-s)\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}+s)}{\prod _{j=m+1}^ {q}\Gamma (1-b_{j}+s)\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}-s)}}\,z^{s}\, ds,$

där Γ anger gammafunktionen . Denna integral är av den så kallade Mellin–Barnes-typen och kan ses som en omvänd Mellin-transform . Definitionen gäller under följande antaganden:

• 0 ≤ m ≤ q och 0 ≤ n ≤ p , där m , n , p och q är heltal
• a _k − b _j ≠ 1, 2, 3, ... för k = 1, 2, ..., n och j = 1, 2, ..., m , vilket innebär att ingen pol av någon Γ( b _j − s ), j = 1, 2, ..., m , sammanfaller med vilken pol som helst av någon Γ(1 − a _k + s ), k = 1, 2, ..., n
• z ≠ 0

Observera att av historiska skäl hänvisar det första nedre och andra övre indexet till den översta parameterraden, medan det andra nedre och första övre indexet hänvisar till den nedre parameterraden. Man stöter ofta på följande mer syntetiska notation med hjälp av vektorer :

$G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots,a_{p}\\b_{1}, \dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin {matris}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matris}}\;\right|\,z\right).$

Implementeringar av G-funktionen i datoralgebrasystem använder vanligtvis separata vektorargument för de fyra (eventuellt tomma) parametergrupperna a ₁ ... a _n , a _{n +1} ... a _p , b ₁ ... b _m , och b _{m +1} ... b _q , och kan därför utelämna ordningsföljderna p , q , n och m som redundanta.

L : et i integralen representerar vägen som ska följas under integreringen. Tre val är möjliga för denna väg:

1. L går från − i ∞ till + i ∞ så att alla poler för Γ( b _j − s ), j = 1, 2, ..., m , är till höger om banan, medan alla poler för Γ (1 − a _k + s ), k = 1, 2, ..., n , är till vänster. Integralen konvergerar sedan för |arg z | < δ π

$\delta =m+n-{\tfrac {1}{2}}(p+q);$

där

en uppenbar förutsättning för detta är δ > 0. Integralen konvergerar dessutom för |arg z | = δ π ≥ 0 if (q − p) ( σ + ¹ ⁄ ₂ ) > Re( ν ) + 1, där σ representerar Re( s ) när integrationsvariabeln s närmar sig både + i ∞ och − i ∞, och där

${\displaystyle \nu =\sum _{j=1}^{q}b_{j}-\sum _{j=1}^{p}a_{j}.} Som en följd av |$

arg z | = δ π och p = q integralen konvergerar oberoende av σ närhelst Re( ν ) < −1.

2. L är en slinga som börjar och slutar vid +∞, som omger alla poler av Γ( b _j − s ), j = 1, 2, ..., m , exakt en gång i negativ riktning, men som inte omger någon pol av Γ(1 − a _k + s ), k = 1, 2, ..., n . Sedan konvergerar integralen för alla z om q > p ≥ 0; den konvergerar också för q = p > 0 så länge som | z | < 1. I det senare fallet konvergerar integralen dessutom för | z | = 1 om Re( ν ) < −1, där ν definieras som för den första vägen.

3. L är en slinga som börjar och slutar vid −∞ och som omger alla poler av Γ(1 − a _k + s ), k = 1, 2, ..., n , exakt en gång i den positiva riktningen, men som inte omger någon pol för Γ( b _j − s ), j = 1, 2, ..., m . Nu konvergerar integralen för alla z om p > q ≥ 0; den konvergerar också för p = q > 0 så länge som | z | > 1. Som noterats även för den andra banan, i fallet med p = q konvergerar integralen också för | z | = 1 när Re( ν ) < −1.

Villkoren för konvergens fastställs lätt genom att tillämpa Stirlings asymptotiska approximation på gammafunktionerna i integranden. När integralen konvergerar för mer än en av dessa vägar, kan resultaten av integrationen visa sig överensstämma; om den konvergerar för endast en väg, så är detta den enda som ska beaktas. Faktum är att numerisk vägintegration i det komplexa planet utgör ett praktiskt och förnuftigt tillvägagångssätt för beräkningen av Meijer G-funktioner.

Som en konsekvens av denna definition är Meijer G-funktionen en analytisk funktion av z med möjliga undantag av origo z = 0 och enhetscirkeln | z | = 1.

Differentialekvation

G-funktionen uppfyller följande linjära differentialekvation av ordningen max( p , q ):

$\left[(-1)^{pmn}\;z\prod _{j=1}^{p}\left(z{\frac {d}{dz}}-a_{j}+1 \right)-\prod _{j=1}^{q}\left(z{\frac {d}{dz}}-b_{j}\right)\right]G(z)=0.$

För en grundläggande uppsättning lösningar av denna ekvation i fallet p ≤ q kan man ta:

$G_{p,q}^{\,1,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{h},b_{1},\dots ,b_{h-1},b_{h+1},\dots ,b_{q}\end{matris}}\;\ höger|\,(-1)^{pm-n+1}\;z\right),\quad h=1,2,\dots ,q,$

och på liknande sätt i fallet med p ≥ q :

$G_{p,q}^{\,q,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{h},a_{1},\dots,a_{h-1} ,a_{h+1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matris}}\;\right|\,(-1)^{qm- n+1}\;z\right),\quad h=1,2,\dots ,s.$

Dessa specifika lösningar är analytiska förutom en möjlig singularitet vid z = 0 (liksom en möjlig singularitet vid z = ∞), och i fallet med p = q även en oundviklig singularitet vid z = (−1) ^{p − m − n} . Som kommer att framgå för närvarande kan de identifieras med generaliserade hypergeometriska funktioner _p F _{q −1} av argumentet (−1) ^{p − m − n} z som multipliceras med en potens z ^{b _h} , och med generaliserade hypergeometriska funktioner _q F _{p − 1} av argument (−1) ^{q − m − n} z ⁻¹ som multipliceras med en potens z ^{a _h −1} .

Samband mellan G-funktionen och den generaliserade hypergeometriska funktionen

Om integralen konvergerar när den utvärderas längs den andra banan som introducerats ovan, och om inga sammanflytande poler förekommer bland Γ( b _j − s ), j = 1, 2, ..., m , så kan Meijer G-funktionen uttryckas som summan av rester i termer av generaliserade hypergeometriska funktioner _p F _{q −1} (Slaters teorem):

$G_{p,q}^{\,m ,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\ höger)=\summa _{h=1}^{m}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}-b_{h})^{*}\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1+b_{h}-a_{j})\;z^{b_{h}}}{\prod _{j=m+1}^{q }\Gamma (1+b_{h}-b_{j})\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}-b_{h})}}\times$

$_{p}F_{q-1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1+b_{h}-\mathbf {a_{p}} \\(1+b_{h} }-\mathbf {b_{q}} )^{*}\end{matris}}\;\right|\,(-1)^{pmn}\;z\right).$

Stjärnan anger att termen som motsvarar j = h är utelämnad. För att integralen ska konvergera längs den andra banan måste man ha antingen p < q , eller p = q och | z | < 1, och för att polerna ska vara distinkta får inget par av b _j , j = 1, 2, ..., m skilja sig med ett heltal eller noll. Asteriskerna i relationen påminner oss om att ignorera bidraget med index j = h enligt följande: I produkten motsvarar detta att ersätta Γ(0) med 1, och i argumentet för den hypergeometriska funktionen, om vi minns betydelsen av vektorn notation,

$1+b_{h }-\mathbf {b_{q}} =(1+b_{h}-b_{1}),\,\dots ,\,(1+b_{h}-b_{j}),\,\dots ,\,(1+b_{h}-b_{q}),$

detta innebär att vektorlängden förkortas från q till q −1.

Observera att när m = 0, innehåller den andra banan ingen pol, och därför måste integralen försvinna på samma sätt,

$G_{p,q}^{\,0,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf { a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matris}}\;\right|\,z\right)=0,$

om antingen p < q , eller p = q och | z | < 1.

På liknande sätt, om integralen konvergerar när den utvärderas längs den tredje banan ovan, och om inga sammanflytande poler förekommer bland Γ(1 − a _k + s ), k = 1, 2, ..., n , så kan G-funktionen uttryckas som:

$G_{p,q}^{\ ,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\, z\right)=\summa _{h=1}^{n}{\frac {\prod _{j=1}^{n}\Gamma (a_{h}-a_{j})^{*} \prod _{j=1}^{m}\Gamma (1-a_{h}+b_{j})\;z^{a_{h}-1}}{\prod _{j=n+1 }^{p}\Gamma (1-a_{h}+a_{j})\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (a_{h}-b_{j})}}\ gånger$

$_{q}F_{p-1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-a_{h}+\mathbf {b_{q}} \\(1-a_{h} }+\mathbf {a_{p}} )^{*}\end{matris}}\;\right|\,(-1)^{qmn}z^{-1}\right).$

För detta, antingen p > q , eller p = q och | z | > 1 krävs, och inget par bland a k _, k = 1, 2, ..., n , får skilja sig med ett heltal eller noll. För n = 0 har man följaktligen:

$G_{p,q}^{\,m,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf { a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matris}}\;\right|\,z\right)=0,$

om antingen p > q , eller p = q och | z | > 1.

Å andra sidan kan varje generaliserad hypergeometrisk funktion lätt uttryckas i termer av Meijer G-funktionen:

$\;_{p}F_{q}\!\left(\left. {\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)={\frac {\Gamma (\ mathbf {b_{q}} )}{\Gamma (\mathbf {a_{p}} )}}\;G_{p,\,q+1}^{\,1,\,p}\!\vänster (\left.{\begin{matrix}1-\mathbf {a_{p}} \\0,1-\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,-z\ höger)={\frac {\Gamma (\mathbf {b_{q}} )}{\Gamma (\mathbf {a_{p}} )}}\;G_{q+1,\,p}^{\ ,p,\,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1,\mathbf {b_{q}} \\\mathbf {a_{p}} \end{matrix}}\;\ höger|\,-z^{-1}\höger),$

där vi har använt oss av vektornotationen:

$\Gamma (\mathbf {a_{p}} )=\prod _{j=1}^{p}\Gamma (a_{j}).$

Detta gäller om inte ett icke-positivt heltalsvärde av minst en av dess parametrar a _p reducerar den hypergeometriska funktionen till ett ändligt polynom, i vilket fall gammaprefaktorn för endera G-funktionen försvinner och parameteruppsättningarna för G-funktionerna bryter mot kravet a _k − b _j ≠ 1, 2, 3, ... för k = 1, 2, ..., n och j = 1, 2, ..., m från definitionen ovan. Bortsett från denna begränsning är förhållandet giltigt närhelst den generaliserade hypergeometriska serien _p F _q ( z ) konvergerar, dvs för vilken finit z som helst när p ≤ q , och för | z | < 1 när p = q + 1. I det senare fallet ger relationen med G-funktionen automatiskt den analytiska fortsättningen av _p F _q ( z ) till | z | ≥ 1 med en gren skuren från 1 till ∞ längs den reella axeln. Slutligen ger relationen en naturlig utvidgning av definitionen av den hypergeometriska funktionen till order p > q + 1. Med hjälp av G-funktionen kan vi alltså lösa den generaliserade hypergeometriska differentialekvationen även för p > q + 1.

Polynomfall

För att uttrycka polynomfall av generaliserade hypergeometriska funktioner i termer av Meijer G-funktioner, behövs i allmänhet en linjär kombination av två G-funktioner:

${ \displaystyle \;_{p+1}F_{q}\!\left(\left.{\begin{matrix}-h,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \ end{matris}}\;\right|\,z\right)=h!\;{\frac {\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (1-a_{j})\ prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (b_{j})}{\prod _{j=1}^{n}\Gamma (a_{j})\prod _{j=1 }^{m}\Gamma (1-b_{j})}}\ gånger }$

$\left[G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matris }1-\mathbf {a_{p}} ,h+1\\0,1-\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{pmn} \;z\right)+(-1)^{h}\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{ \begin{matrix}h+1,1-\mathbf {a_{p}} \\1-\mathbf {b_{q}} ,0\end{matrix}}\;\right|\,(-1) ^{pmn}\;z\right)\right],$

där h = 0, 1, 2, ... är lika med graden av polynomet _{p +1} F _q ( z ). Ordningarna m och n kan väljas fritt i intervallen 0 ≤ m ≤ q och 0 ≤ n ≤ p , vilket gör det möjligt att undvika att specifika heltalsvärden eller heltalsskillnader mellan parametrarna a _p och b _q i polynomet ger upphov till divergenta gammafunktioner i prefaktorn eller till en konflikt med definitionen av G-funktionen . Observera att den första G-funktionen försvinner för n = 0 om p > q , medan den andra G-funktionen försvinner för m = 0 om p < q . Återigen kan formeln verifieras genom att uttrycka de två G-funktionerna som summor av rester ; inga fall av sammanflytande poler som är tillåtna enligt definitionen av G-funktionen behöver uteslutas här.

Grundläggande egenskaper för G-funktionen

Som framgår av definitionen av G-funktionen , om lika parametrar förekommer bland a _p och b _q som bestämmer faktorerna i täljaren och integrandens nämnare, kan bråket förenklas och ordningen på funktionen därmed minskas. Huruvida ordningen m eller n kommer att minska beror på den speciella positionen för parametrarna i fråga. Således, om en av a _k , k = 1, 2, ..., n , är lika med en av b _j , j = m + 1, ..., q , sänker G-funktionen sina ordningsföljder p , q och n :

$G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left .{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q-1},a_{1}\end{matrix} }\;\right|\,z\right)=G_{p-1,\,q-1}^{\,m,\,n-1}\!\left(\left.{\begin{matris }a_{2},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q-1}\end{matris}}\;\right|\,z\right),\quad n ,p,q\geq 1.$

Av samma anledning, om en av a _k , k = n + 1, ..., p , är lika med en av b _j , j = 1, 2, ..., m sänker G-funktionen sin order p , q och m :

$G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left .{\begin{matrix}a_{1},\dots,a_{p-1},b_{1}\\b_{1},b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix} }\;\right|\,z\right)=G_{p-1,\,q-1}^{\,m-1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matris }a_{1},\dots ,a_{p-1}\\b_{2},\dots ,b_{q}\end{matris}}\;\right|\,z\right),\quad m ,p,q\geq 1.$

Med utgångspunkt från definitionen är det också möjligt att härleda följande egenskaper:

$z^{\rho }\;G_ {p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix} }\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} + \rho \\\mathbf {b_{q}} +\rho \end{matris}}\;\right|\,z\right),$

$G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{ p}} ,\alpha '\\\mathbf {b_{q}} \end{matris}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\alpha '-\alpha }\; G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ',\mathbf {a_{p}} ,\ alpha \\\mathbf {b_{q}} \end{matris}}\;\right|\,z\right),\quad n\leq p,\;\alpha '-\alpha \in \mathbb {Z } ,$

$G_{p,\,q+2}^{\,m+1,\,n}\!\ left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\beta ,\mathbf {b_{q}} ,\beta '\end{matrix}}\;\right|\,z \right)=(-1)^{\beta '-\beta }\;G_{p,\,q+2}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{ \begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\beta ',\mathbf {b_{q}} ,\beta \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\leq q,\;\beta '-\beta \in \mathbb {Z} ,$

$G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{ p}} \\\mathbf {b_{q}} ,\beta \end{matris}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\beta -\alpha }\;G_{ p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,\alpha \\\ beta ,\mathbf {b_{q}} \end{matris}}\;\right|\,z\right),\quad m\leq q,\;\beta -\alpha =0,1,2,\ prickar ,$

$G_{p,q} ^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right |\,z\right)=G_{q,p}^{\,n,m}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\mathbf {b_{q}} \\1- \mathbf {a_{p}} \end{matris}}\;\right|\,z^{-1}\right),$

$G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \ end{matris}}\;\right|\,z\right)={\frac {h^{1+\nu +(pq)/2}}{(2\pi )^{(h-1)\ delta }}}\;G_{hp,\,hq}^{\,hm,\,hn}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}/h,\dots ,(a_ {1}+h-1)/h,\dots ,a_{p}/h,\dots ,(a_{p}+h-1)/h\\b_{1}/h,\dots ,(b_ {1}+h-1)/h,\dots ,b_{q}/h,\dots ,(b_{q}+h-1)/h\end{matris}}\;\right|\,{ \frac {z^{h}}{h^{h(qp)}}}\right),\quad h\in \mathbb {N} .$

Förkortningarna ν och δ introducerades i definitionen av G-funktionen ovan.

Derivat och antiderivat

När det gäller derivator av G-funktionen finner man dessa samband:

${\frac {d}{dz}}\left[z^{1-a_{1}}\;G_{p,q}^{\,m, n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right )\right]=z^{-a_{1}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1 ,a_{2},\dots ,a_{p}\\\mathbf {b_{q}} \end{matris}}\;\right|\,z\right),\quad n\geq 1,$

${\frac {d}{dz}}\left[z^{1-a_{p}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left. {\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\right]=-z^{- a_{p}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1}, a_{p}-1\\\mathbf {b_{q}} \end{matris}}\;\right|\,z\right),\quad n<p.$

${\frac {d}{dz}}\left[z^{-b_{1}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\ vänster.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\right]=-z^ {-1-b_{1}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_ {1}+1,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matris}}\;\right|\,z\right),\quad m\geq 1,$

${\frac {d}{dz}}\left[z^{-b_{q}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\! \left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\right] =z^{-1-b_{q}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1},\dots ,b_{q-1},b_{q}+1\end{matris}}\;\right|\,z\right),\quad m<q,$

Från dessa fyra kan ekvivalenta relationer härledas genom att helt enkelt utvärdera derivatan på vänster sida och manipulera lite. Man får till exempel:

$z{\frac {d}{dz}}\;G_{p,q}^{\,m, n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right )=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{p}\ \\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)+(a_{1}-1)\;G_{p,q}^{\,m,n }\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right) ,\quad n\geq 1.$

Dessutom, för derivator av godtycklig ordning h , har man

$z^{h}{\frac {d^{h}}{dz^{ h}}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q }} \end{matris}}\;\right|\,z\right)=G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\ vänster.{\begin{matrix}0,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,h\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(- 1)^{h}\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_ {p}} ,0\\h,\mathbf {b_{q}} \end{matris}}\;\right|\,z\right),$

$z^{h}{\frac {d^{h}}{dz^{h }}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q} } \end{matris}}\;\right|\,z^{-1}\right)=G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\! \left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,1-h\\1,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z ^{-1}\right)=(-1)^{h}\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left .{\begin{matrix}1-h,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,1\end{matrix}}\;\right|\,z^{-1} \höger),$

även håller för h < 0, vilket gör det möjligt att erhålla antiderivatan av vilken G-funktion som helst lika lätt som derivatan. Genom att välja det ena eller det andra av de två resultaten som tillhandahålls i endera formeln, kan man alltid förhindra att uppsättningen parametrar i resultatet bryter mot villkoret a _k − b _j ≠ 1, 2, 3, ... för k = 1, 2, ..., n och j = 1, 2, ..., m som åläggs av definitionen av G-funktionen . Observera att varje resultatpar blir ojämnt i fallet med h < 0.

Ur dessa samband kan motsvarande egenskaper hos Gauss hypergeometriska funktion och andra specialfunktioner härledas.

Återkommande relationer

Genom att likställa olika uttryck för första ordningens derivator kommer man fram till följande 3-terms återkommande relationer mellan sammanhängande G-funktioner:

$(a_{p }-a_{1})\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf { b_{q}} \end{matris}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matris }a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matris}}\;\right|\,z\right )+G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots,a_{p-1},a_{p}- 1\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matris}}\;\right|\,z\right),\quad 1\leq n<p,$

$(b_{1}-b_{q}) \;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end {matris}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\ prickar ,a_{p}\\b_{1}+1,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matris}}\;\right|\,z\right)+G_{p,q }^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q-1 },b_{q}+1\end{matris}}\;\right|\,z\right),\quad 1\leq m<q,$

$(b_{1}-a_{1}+1)\;G_{p,q}^{\ ,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\, z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{ p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matris}}\;\right|\,z\right)+G_{p,q}^{\,m,n}\! \left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1}+1,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix} }\;\right|\,z\right),\quad n\geq 1,\;m\geq 1,$

$(a_{p}-b_{q}-1)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_ {p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matris}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\vänster (\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots,a_{p-1},a_{p}-1\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix} }\;\right|\,z\right)+G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots,a_ {p}\\b_{1},\dots ,b_{q-1},b_{q}+1\end{matris}}\;\right|\,z\right),\quad n<p, \;m<q.$

Liknande relationer för diagonalparameterparen a ₁ , b _q och b ₁ , a _p följt av lämplig kombination av ovanstående. Återigen kan motsvarande egenskaper hos hypergeometriska och andra speciella funktioner härledas från dessa återkommande relationer.

Multiplikationssatser

Förutsatt att z ≠ 0, gäller följande samband:

$G_{p,q}^{\,m,n}\!\ left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,wz\right)=w^{ b_{1}}\summa _{h=0}^{\infty }{\frac {(1-w)^{h}}{h!}}\;G_{p,q}^{\,m ,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1}+h,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matris }}\;\right|\,z\right),\quad m\geq 1,$

$G_{p,q}^{\,m,n}\ !\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,wz\right)=w ^{b_{q}}\summa _{h=0}^{\infty }{\frac {(w-1)^{h}}{h!}}\;G_{p,q}^{\ ,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1},\dots ,b_{q-1},b_{q}+h \end{matris}}\;\right|\,z\right),\quad m<q,$

$G_{p,q}^{\,m,n}\!\ vänster(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,{\frac {z}{w }}\right)=w^{1-a_{1}}\sum _{h=0}^{\infty }{\frac {(1-w)^{h}}{h!}}\; G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-h,a_{2},\dots,a_{p}\\\ mathbf {b_{q}} \end{matris}}\;\right|\,z\right),\quad n\geq 1,$

$G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \ end{matris}}\;\right|\,{\frac {z}{w}}\right)=w^{1-a_{p}}\summa _{h=0}^{\infty }{ \frac {(w-1)^{h}}{h!}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{ 1},\dots ,a_{p-1},a_{p}-h\\\mathbf {b_{q}} \end{matris}}\;\right|\,z\right),\quad n <s.$

Dessa följer av Taylor-expansion om w = 1, med hjälp av de grundläggande egenskaperna som diskuterats ovan. Konvergensradien kommer att vara beroende av värdet på z och på G-funktionen som expanderas . Utvidgningarna kan betraktas som generaliseringar av liknande satser för Bessel , hypergeometriska och konfluenta hypergeometriska funktioner.

Bestämda integraler som involverar G-funktionen

Bland bestämda integraler som involverar en godtycklig G-funktion har man:

$\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matris }\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,\eta x\right)dx={\frac {\eta ^{-s }\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}+s)\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}-s)}{\ prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}-s)\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}+s)} }.$

Observera att begränsningarna under vilka denna integral existerar har utelämnats här. Det är naturligtvis ingen överraskning att Mellin-transformen av en G-funktion skulle leda tillbaka till integranden som förekommer i definitionen ovan.

Euler -typ integraler för G-funktionen ges av:

$\int _{0}^{1}x^{-\alpha }\;(1-x)^{\alpha -\beta -1}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q} } \end{matris}}\;\right|\,zx\right)dx=\Gamma (\alpha -\beta )\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\ ,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,\beta \end{matrix}}\ ;\right|\,z\right),$

$\int _{1}^{\infty }x^{-\alpha }\;(x-1)^{\alpha -\beta -1}\;G_{p,q}^{\, m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,zx \right)dx=\Gamma (\alpha -\beta )\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\ börja{matrix}\mathbf {a_{p}} ,\alpha \\\beta ,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right).$

Omfattande restriktioner för dessa integraler finns på sid. 417 av "Tables of Integral Transforms", vol. II(1954), redigerad av A. Erdelyi. Observera att, med tanke på deras effekt på G-funktionen, kan dessa integraler användas för att definiera operationen av fraktionerad integration för en ganska stor klass av funktioner ( Erdélyi–Kober-operatorer) .

Ett resultat av grundläggande betydelse är att produkten av två godtyckliga G-funktioner integrerade över den positiva reella axeln kan representeras av bara en annan G-funktion (faltningssats):

$\int _{0}^{\infty }G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{ matrix}}\;\right|\,\eta x\right)G_{\sigma ,\tau }^{\,\mu ,\nu }\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {c_{\sigma }} \\\mathbf {d_{\tau }} \end{matrix}}\;\right|\,\omega x\right)dx=$

$={\frac {1}{\eta }}\;G_{q+\sigma ,\,p+\tau }^{\,n+\mu ,\ ,m+\nu }\!\left(\left.{\begin{matrix}-b_{1},\dots ,-b_{m},\mathbf {c_{\sigma }} ,-b_{m+1 },\dots ,-b_{q}\\-a_{1},\dots ,-a_{n},\mathbf {d_{\tau }} ,-a_{n+1},\dots ,-a_ {p}\end{matris}}\;\right|\,{\frac {\omega }{\eta }}\right)=$

$={\frac {1}{\omega }}\;G_{p+\tau ,\,q+\sigma }^{\,m+\nu ,\,n+\mu }\!\left(\left .{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{n},-\mathbf {d_{\tau }} ,a_{n+1},\dots ,a_{p}\\b_{1 },\dots ,b_{m},-\mathbf {c_{\sigma }} ,b_{m+1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,{\ frac {\eta }{\omega }}\right).$

Restriktioner under vilka integralen existerar finns i Meijer, CS, 1941: Nederl. Akad. Wetensch, Proc. 44, s. 82–92. Notera hur Mellin-transformen av resultatet bara sammanställer gammafaktorerna från Mellin-transformerna av de två funktionerna i integranden.

Faltningsformeln kan härledas genom att ersätta den definierande Mellin-Barnes-integralen med en av G-funktionerna, vända på integrationsordningen och utvärdera den inre Mellin-transformintegralen. De föregående integralerna av Euler-typ följer analogt.

Laplace transformation

Med hjälp av ovanstående faltningsintegral och grundläggande egenskaper kan man visa att:

$\int _{0}^{\infty }e^{-\omega x}\;x^{-\alpha }\;G_{p,q}^{\,m, n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,\eta x \right)dx=\omega ^{\alpha -1}\;G_{p+1,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{ matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,{\frac {\eta }{\omega }}\right ),$

där Re( ω ) > 0. Detta är Laplace-transformen av en funktion G ( ηx ) multiplicerad med en potens x ^{− α} ; om vi sätter α = 0 får vi Laplacetransformen av G-funktionen. Som vanligt ges sedan den omvända transformationen av:

$x^{-\alpha }\;G_{p,\,q+1}^{\,m,\,n}\!\left( \left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,\alpha \end{matrix}}\;\right|\,\eta x\right)= {\frac {1}{2\pi i}}\int _{ci\infty }^{c+i\infty }e^{\omega x}\;\omega ^{\alpha -1}\;G_ {p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix} }\;\right|\,{\frac {\eta }{\omega }}\right)d\omega ,$

där c är en verklig positiv konstant som placerar integrationsvägen till höger om valfri pol i integranden.

En annan formel för Laplace-transformen av en G-funktion är:

$\int _{0}^{\infty }e^{-\omega x}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\ vänster.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,\eta x^{2}\right)dx ={\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\omega }}\;G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+2}\!\left(\ vänster.{\begin{matrix}0,{\frac {1}{2}},\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right| \,{\frac {4\eta }{\omega ^{2}}}\right),$

där återigen Re( ω ) > 0. Detaljer om de restriktioner under vilka integralerna existerar har utelämnats i båda fallen.

Integraltransformationer baserade på G-funktionen

I allmänhet kallas två funktioner k ( z , y ) och h ( z , y ) ett par transformationskärnor om, för någon lämplig funktion f ( z ) eller någon lämplig funktion g ( z ), följande två relationer gäller samtidigt :

$g(z)=\int _{0}^{\infty }k(z,y)\,f(y)\;dy,\quad f(z)=\int _{0}^{ \infty }h(z,y)\,g(y)\;dy.$

Kärnparet sägs vara symmetriska om k ( z , y ) = h ( z , y ).

Narain-förvandling

Roop Narain ( 1962 , 1963a , 1963b ) visade att funktionerna:

${ \displaystyle k(z,y)=2\gamma \;(zy)^{\gamma -1/2}\;G_{p+q,\,m+n}^{\,m,\,p} \!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,\mathbf {b_{q}} \\\mathbf {c_{m}} ,\mathbf {d_{n}} \end{matris}}\;\right|\,(zy)^{2\gamma }\right),}$

$h(z,y)=2\gamma \;(zy)^{\ gamma -1/2}\;G_{p+q,\,m+n}^{\,n,\,q}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\mathbf {b_{ q}} ,-\mathbf {a_{p}} \\-\mathbf {d_{n}} ,-\mathbf {c_{m}} \end{matrix}}\;\right|\,(zy) ^{2\gamma }\right)$

är ett asymmetriskt par transformationskärnor, där γ > 0, n − p = m − q > 0, och:

$\sum _{j=1}^{p}a_{j }+\summa _{j=1}^{q}b_{j}=\summa _{j=1}^{m}c_{j}+\summa _{j=1}^{n}d_{ j},$

tillsammans med ytterligare konvergensvillkor. I synnerhet, om p = q , m = n , a _j + b _j = 0 för j = 1, 2, ..., p och c _j + d _j = 0 för j = 1, 2, ..., m , då blir paret av kärnor symmetriska. Den välkända Hankel-transformen är ett symmetriskt specialfall av Narain-transformen ( γ = 1, p = q = 0, m = n = 1, c ₁ = − d ₁ = ^ν ⁄ ₂ ).

Wimp transform

Jet Wimp ( 1964 ) visade att dessa funktioner är ett asymmetriskt par transformationskärnor:

$k(z,y) =G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+2}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\nu +iz,1-\nu -iz ,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;y\right),$

${\ displaystyle h(z,y)={\frac {i}{\pi }}ye^{-\nu \pi i}\left[e^{\pi y}A(\nu +iy,\nu -iy \,|\,ze^{i\pi })-e^{-\pi y}A(\nu -iy,\nu +iy\,|\,ze^{i\pi })\right], }$

där funktionen A (·) definieras som:

$A(\alpha ,\beta \,|\,z)=G_{p+2,\,q}^{\,qm,\,p-n+1}\!\left(\left. {\begin{matrix}-a_{n+1},-a_{n+2},\dots ,-a_{p},\alpha ,-a_{1},-a_{2},\dots ,- a_{n},\beta \\-b_{m+1},-b_{m+2},\dots ,-b_{q},-b_{1},-b_{2},\dots ,- b_{m}\end{matris}}\;\right|\,z\right).$

Generaliserad Laplace-transform

Laplace -transformen kan generaliseras i nära analogi med Narains generalisering av Hankel-transformen:

$g(s)=2\gamma \int _{0}^{\infty }(st)^{\gamma +\rho -1/2}\;G_{p,\,q+1} ^{\,q+1,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\0,\mathbf {b_{q}} \end{matris }}\;\right|\,(st)^{2\gamma}\right)f(t)\;dt,$

$f(t)={ \frac {\gamma }{\pi i}}\int _{ci\infty }^{c+i\infty }(ts)^{\gamma -\rho -1/2}\;G_{p,\ ,q+1}^{\,1,\,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\mathbf {a_{p}} \\0,-\mathbf {b_{q} } \end{matris}}\;\right|\,-(ts)^{2\gamma }\right)g(s)\;ds,$

0 där γ > , p ≤ q , och:

$(q+1-p)\,{\rho \over 2\gamma }=\ summa _{j=1}^{p}a_{j}-\summa _{j=1}^{q}b_{j},$

och där konstanten c > 0 placerar den andra integrationsvägen till höger om valfri pol i integranden. För γ = ¹ ⁄ ₂ , ρ = 0 och p = q = 0, motsvarar detta den välbekanta Laplace-transformen.

Meijer förvandla

Två särskilda fall av denna generalisering gavs av CS Meijer 1940 och 1941. Fallet som resulterade för γ = 1, ρ = − ν , p = 0, q = 1 och b ₁ = ν kan skrivas (Meijer 1940 ):

$g(s)={\sqrt {2/\pi }}\int _{0}^{\infty }(st)^{1/2}\,K_{\nu}(st)\,f(t)\;dt,$

$f(t)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi } }\,i}}\int _{ci\infty }^{c+i\infty }(ts)^{1/2}\,I_{\nu}(ts)\,g(s)\;ds ,$

och fallet som erhålls för γ = ¹ ⁄ ₂ , ρ = − m − k , p = q = 1, a ₁ = m − k och b ₁ = 2 m kan skrivas (Meijer 1941a ):

$g(s)= \int _{0}^{\infty }(st)^{-k-1/2}\,e^{-st/2}\,W_{k+1/2,\,m}(st) \,f(t)\;dt,$

$f(t)={\frac {\Gamma (1-k+m)}{2\pi i\,\Gamma (1+2m)}}\int _{ci\infty }^{c+ i\infty }(ts)^{k-1/2}\,e^{ts/2}\,M_{k-1/2,\,m}(ts)\,g(s)\;ds .$

Här är I _ν och K _ν de modifierade Bessel-funktionerna av det första och andra slaget, M _{k , m} och W _{k , m} är Whittaker-funktionerna och konstanta skalfaktorer har tillämpats på funktionerna f och g och deras argument s och t i det första fallet.

Representation av andra funktioner i termer av G-funktionen

Följande lista visar hur de välbekanta elementära funktionerna resulterar som specialfall av Meijer G-funktionen:

$e^{x}=G_{0,1}^{\,1,0}\!\left(\left.{\ börja{matris}-\\0\end{matris}}\;\right|\,-x\right),\qquad \forall x$

$\cos x={\sqrt {\pi }}\;G_{0,2}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matris }-\\0,{\frac {1}{2}}\end{matris}}\;\right|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad \ forall x$

$\sin x={\sqrt {\pi }}\ ;G_{0,2}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matris}-\\{\frac {1}{2}},0\end{matris}} \;\right|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\ pi }{2}}$

$\cosh x={\sqrt {\pi }}\;G_{ 0,2}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\0,{\frac {1}{2}}\end{matris}}\;\ höger|\,-{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad \forall x$

$\sinh x=-{\sqrt {\pi }}i\;G_{0,2}^{\,1,0}\!\left(\left .{\begin{matrix}-\\{\frac {1}{2}},0\end{matrix}}\;\right|\,-{\frac {x^{2}}{4}} \right),\qquad -\pi <\arg x\leq 0$

$\arcsin x={\frac {-i}{2{\sqrt {\pi }}}}\;G_{2,2}^{\, 1,2}\!\left(\left.{\begin{matrix}1,1\\{\frac {1}{2}},0\end{matrix}}\;\right|\,-x ^{2}\right),\qquad -\pi <\arg x\leq 0$

$\arctan x={\frac {1}{2}}\;G_{2,2}^{\,1,2}\!\left(\left.{\ start{matris}{\frac {1}{2}},1\\{\frac {1}{2}},0\end{matris}}\;\right|\,x^{2}\right ),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}$

$\operatorname {arccot} x={\frac {1}{2}}\;G_{2,2}^{ \,2,1}\!\left(\left.{\begin{matris}{\frac {1}{2}},1\\{\frac {1}{2}},0\end{matris }}\;\right|\,x^{2}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}$

$\ln(1+x)=G_{2,2}^{\,1, 2}\!\left(\left.{\begin{matrix}1,1\\1,0\end{matrix}}\;\right|\,x\right),\qquad \forall x$

$H(1-|x|)=G_{1,1}^{\,1,0}\!\left(\left. {\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\;\right|\,x\right),\qquad \forall x$

$H(|x|-1)=G_{1,1}^{\,0,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1\\ 0\end{matris}}\;\right|\,x\right),\qquad \forall x$

Här betecknar H Heaviside-stegfunktionen .

Den efterföljande listan visar hur vissa högre funktioner kan uttryckas i termer av G-funktionen:

$\gamma (\alpha ,x)=G_{1,2}^{\,1,1} \!\left(\left.{\begin{matrix}1\\\alpha ,0\end{matrix}}\;\right|\,x\right),\qquad \forall x$

$\Gamma (\alpha ,x)=G_{1,2}^{\,2,0}\!\left(\ vänster.{\begin{matrix}1\\\alpha ,0\end{matrix}}\;\right|\,x\right),\qquad \forall x$

$J_{\nu }(x)=G_{0,2}^{\,1,0} \!\left(\left.{\begin{matrix}-\\{\frac {\nu }{2}},{\frac {-\nu}{2}}\end{matris}}\;\ höger|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{ 2}$

$Y_{\nu }(x)=G_{1,3}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {-\nu -1} {2}}\\{\frac {\nu }{2}},{\frac {-\nu }{2}},{\frac {-\nu -1}{2}}\end{matris} }\;\right|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac { \pi }{2}}$

$I_{\nu }(x)=i^{-\nu }\;G_{0,2}^{\,1,0}\! \left(\left.{\begin{matris}-\\{\frac {\nu }{2}},{\frac {-\nu}{2}}\end{matris}}\;\right| \,-{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad -\pi <\arg x\leq 0$

$K_{\nu }(x)={\frac {1}{2}}\;G_{0,2 }^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matris}-\\{\frac {\nu }{2}},{\frac {-\nu }{2}} \end{matris}}\;\right|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\ leq {\frac {\pi }{2}}$

$\Phi (x,n,a)=G_{n+1,\,n+1}^{\,1 ,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,1-a,\dots ,1-a\\0,-a,\dots ,-a\end{matrix} }\;\right|\,-x\right),\qquad \forall x,\;n=0,1,2,\dots$

$\Phi (x,- n,a)=G_{n+1,\,n+1}^{\,1,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,-a,\dots ,-a\\0,1-a,\dots ,1-a\end{matris}}\;\right|\,-x\right),\qquad \forall x,\;n=0,1, 2,\dots$

Även derivaten av γ( α , x ) och Γ( α , x ) med avseende på α kan uttryckas i termer av Meijer G-funktionen. Här är γ och Γ de nedre och övre ofullständiga gammafunktionerna , J _ν och Y _ν är Bessel-funktionerna av det första respektive andra slaget, I _ν och K _ν är motsvarande modifierade Bessel-funktioner, och Φ är Lerch-transcendenten .

Se även

• Gradshteyn och Ryzhik

•   Andrews, LC (1985). Specialfunktioner för ingenjörer och tillämpade matematiker . New York: MacMillan. ISBN 978-0-02-948650-4 .
•    Askey, RA ; Daalhuis, Adri B. Olde (2010), "Meijer G-function" , i Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248
• Bateman, H .; Erdélyi, A. (1953). Higher Transcendental Functions, Vol. Jag (PDF) . New York: McGraw-Hill. (se § 5.3, "Definition av G-funktionen", s. 206)
• Beals, Richard; Szmigielski, Jacek (2013). "Meijer G-Functions: A Gentle Introduction" (PDF) . Meddelanden från American Mathematical Society . 60 (7): 866. doi : 10.1090/noti1016 .
• Brychkov, Yu. A.; Prudnikov, AP (2001) [1994], "Meijer transform" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
•    Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [oktober 2014]. "9.3.". I Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (red.). Tabell över integraler, serier och produkter . Översatt av Scripta Technica, Inc. (8 uppl.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5 . LCCN 2014010276 .
• Klimyk, AU (2001) [1994], "Meijer G-funktioner" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
•   Luke, Yudell L. (1969). The Special Functions and Their Approximations, Vol. jag . New York: Academic Press. ISBN 978-0-12-459901-7 . (se kapitel V, "Den generaliserade hypergeometriska funktionen och G-funktionen", s. 136)
•   Meijer, CS (1936). "Über Whittakersche bzw. Besselsche Funktionen und deren Produkte". Nieuw Archief voor Wiskunde (2) (på tyska). 18 (4): 10–39. JFM 62.0421.02 .
•   Meijer, CS (1940). "Über eine Erweiterung der Laplace-Transformation – I, II". Proceedings of the Section of Sciences, Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Amsterdam) ( på tyska). 43 : 599–608 och 702–711. JFM 66.0523.01 .
•   Meijer, CS (1941a). "Eine neue Erweiterung der Laplace-Transformation – I, II". Proceedings of the Section of Sciences, Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Amsterdam) ( på tyska). 44 : 727–737 och 831–839. JFM 67.0396.01 .
•   Meijer, CS (1941b). "Multiplikationsteoreme för funktion ${\displaystyle \scriptstyle G_{p,q}^{\,m,n}(z)} "$ . Proceedings of the Section of Sciences, Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Amsterdam) ( på tyska). 44 : 1062-1070. JFM 67.1016.01 .
•   Narain, Roop (1962). "G-funktionerna som osymmetriska Fourier-kärnor – I" (PDF) . Proceedings of the American Mathematical Society . 13 (6): 950–959. doi : 10.1090/S0002-9939-1962-0144157-5 . MR 0144157 .
•   Narain, Roop (1963a). "G-funktionerna som osymmetriska Fourier-kärnor – II" (PDF) . Proceedings of the American Mathematical Society . 14 (1): 18–28. doi : 10.1090/S0002-9939-1963-0145263-2 . MR 0145263 .
•   Narain, Roop (1963b). "G-funktionerna som osymmetriska Fourier-kärnor – III" (PDF) . Proceedings of the American Mathematical Society . 14 (2): 271–277. doi : 10.1090/S0002-9939-1963-0149210-9 . MR 0149210 .
•   Prudnikov, AP; Marichev, OI; Brychkov, Yu. A. (1990). Integrals and Series, vol. 3: Fler specialfunktioner . Newark, NJ: Gordon and Breach. ISBN 978-2-88124-682-1 . (se § 8.2, "Meijers G-funktion", s. 617)
•    Slater, Lucy Joan (1966). Generaliserade hypergeometriska funktioner . Cambridge, Storbritannien: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-06483-5 . (det finns en pocketbok från 2008 med ISBN 978-0-521-09061-2 )
•    Wimp, Jet (1964). "En klass av integrerade transformationer" . Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society . Serie 2. 14 : 33–40. doi : 10.1017/S0013091500011202 . MR 0164204 . Zbl 0127.05701 .
•   Mathai, Saxena, AM och RK (1973). Generaliserade hypergeometriska funktioner med tillämpningar i statistik och fysikaliska vetenskaper . Springer . ISBN 9780387064826 .
• Bra, Michael (2020). "Strålning från en tröghetsspegelhorisont" . Universum . 6(9) (131): 131. arXiv : 2008.08776 . Bibcode : 2020Univ....6..131G . doi : 10.3390/universe6090131 .

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Meijer G-Function" . MathWorld .
• hypergeom på GitLab