Lévys kontinuitetsteorem

I sannolikhetsteorin kopplar Lévys kontinuitetsteorem , eller Lévys konvergenssats , uppkallad efter den franske matematikern Paul Lévy , konvergens i distribution av sekvensen av slumpvariabler med punktvis konvergens av deras karakteristiska funktioner . Denna sats är grunden för en metod för att bevisa den centrala gränssatsen och det är en av de stora satserna om karaktäristiska funktioner.

Påstående

Anta att vi har

• en sekvens av slumpvariabler ${\textstyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }} , som$ inte nödvändigtvis delar ett gemensamt sannolikhetsutrymme ,
• sekvensen av motsvarande karakteristiska funktioner ${\textstyle \{\varphi _{n}\}_{n=1}^{\infty }} ,$ som per definition är

  $\varphi _{n}(t)=\operatörsnamn {E} \left[e^{itX_{n}}\right ]\quad \forall t\in \mathbb {R} ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,$

  där $\operatorname {E}$ är den förväntade värdeoperatorn .

Om sekvensen av karakteristiska funktioner konvergerar punktvis till någon funktion $\varphi$

$\varphi _{n}(t)\to \varphi (t)\quad \forall t\in \mathbb {R} ,$

då blir följande påståenden likvärdiga:

• $X_{n}$ konvergerar i distribution till någon slumpvariabel X

  $X_{n}\ {\xrightarrow {\mathcal {D}}}\ X,$

  dvs den kumulativa fördelningsfunktioner som motsvarar slumpvariabler konvergerar vid varje kontinuitetspunkt i cdf för X ;
• ${\textstil \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ är snäv :

  $\lim _{x\to \infty }\left(\sup _{n}\operatörsnamn {P} {\big [}\,|X_{n}|>x\,{\big ]}\ höger)=0;$

• $\varphi (t)$ är en karakteristisk funktion för någon slumpvariabel X ;
• $\varphi (t)$ är en kontinuerlig funktion av t ;
• $\varphi (t)$ är kontinuerlig vid t = 0.

Bevis

Rigorösa bevis för detta teorem finns tillgängliga.