Oändlig delbarhet (sannolikhet)

I sannolikhetsteorin är en sannolikhetsfördelning oändligt delbar om den kan uttryckas som sannolikhetsfördelningen av summan av ett godtyckligt antal oberoende och identiskt fördelade (iid) slumpvariabler . Den karakteristiska funktionen för en oändligt delbar fördelning kallas då en oändligt delbar karaktäristisk funktion .

Mer rigoröst är sannolikhetsfördelningen F oändligt delbar om det för varje positivt heltal n finns n iid stokastiska variabler X _{n 1} , ..., X _nn vars summa S _n = X _{n 1} + … + X _nn har samma fördelning F .

Begreppet oändlig delbarhet av sannolikhetsfördelningar introducerades 1929 av Bruno de Finetti . Denna typ av nedbrytning av en fördelning används i sannolikhet och statistik för att hitta familjer av sannolikhetsfördelningar som kan vara naturliga val för vissa modeller eller tillämpningar. Oändligt delbara fördelningar spelar en viktig roll i sannolikhetsteorin i samband med gränssatser.

Exempel

Exempel på kontinuerliga fördelningar som är oändligt delbara är normalfördelningen , Cauchyfördelningen , Lévyfördelningen och alla andra medlemmar av den stabila fördelningsfamiljen , samt gammafördelningen , chi -kvadratfördelningen , Waldfördelningen , Logen -normalfördelning och Elevens t-fördelning .

Bland de diskreta fördelningarna är exempel Poisson-fördelningen och den negativa binomialfördelningen (och därmed den geometriska fördelningen också). Enpunktsfördelningen vars enda möjliga utfall är 0 är också (trivialt) oändligt delbar .

Den enhetliga fördelningen och den binomiala fördelningen är inte oändligt delbara, och inte heller några andra fördelningar med begränsat stöd (≈ finit-sized domän ), förutom den enpunktsfördelning som nämns ovan. Fördelningen av reciproken av en slumpvariabel som har en Students t-fördelning är inte heller oändligt delbar.

Varje sammansatt Poisson-fördelning är oändligt delbar; detta följer omedelbart av definitionen.

Gränssats

Oändligt delbara fördelningar förekommer i en bred generalisering av den centrala gränssatsen : gränsen som n → +∞ av summan S _n = X _{n 1} + … + X _nn av oberoende enhetligt asymptotiskt försumbara (uan) slumpvariabler inom en triangulär matris

{\begin{array}{cccc}X_{11}\\X_{21}&X_{22}\\X_{31}&X_{ 32}&X_{33}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}

närmar sig — i svag mening — en oändligt delbar fördelning. Det enhetligt asymptotiskt försumbara (uan) tillståndet ges av

\lim _{n\to \infty }\,\max _{1\leq k \leq n}\;P(\left|X_{nk}\right|>\varepsilon )=0{\text{ för varje }}\varepsilon >0.

Således, till exempel, om det enhetliga asymptotiska negligibilitetsvillkoret (uan) uppfylls via en lämplig skalning av identiskt fördelade slumpvariabler med ändlig varians , är den svaga konvergensen till normalfördelningen i den klassiska versionen av den centrala gränssatsen. Mer generellt, om uan-villkoret är uppfyllt via en skalning av identiskt fördelade slumpvariabler (med inte nödvändigtvis ändligt andra moment), så är den svaga konvergensen till en stabil fördelning . Å andra sidan, för en triangulär matris av oberoende (oskalade) Bernoulli-slumpvariabler där uan-villkoret är uppfyllt genom

\lim _{n\rightarrow \infty }np_{n}=\lambda ,

den svaga konvergensen av summan är till Poisson-fördelningen med medelvärdet λ , vilket framgår av det välbekanta beviset för lagen om små tal .

Lévy-processen

Varje oändligt delbar sannolikhetsfördelning motsvarar på ett naturligt sätt en Lévy-process . En Lévy-process är en stokastisk process { L _t : t ≥ 0 } med stationära oberoende inkrement , där stationär betyder att för s < t beror sannolikhetsfördelningen för L t ₋ L s _endast på t − s och där oberoende inkrement betyder att den skillnaden L _t − L _s är oberoende av motsvarande skillnad på något intervall som inte överlappar med [ s , t ] och på liknande sätt för vilket ändligt antal ömsesidigt icke-överlappande intervall som helst.

₀ Om { L _t : t ≥ 0 } är en Lévy-process kommer den slumpmässiga variabeln L _t att vara oändligt delbar för varje t ≥ 0 }: för vilket n som helst kan vi välja ( X _{n 1} , X _{n 2} , …, X _{nn )} = ( Lt _{/ n -} L , L2t _{) Lt / n} - Lt _{/ / n}_{, n n - 1 )} …, - _L ( t . På liknande sätt L _t − L _s oändligt delbar för alla s < t .

Å andra sidan, om F är en oändligt delbar fördelning, kan vi konstruera en Lévy-process { L _t : t ≥ 0 } från den. För vilket intervall [ s , t ] som _helst där t − s > 0 är lika med ett rationellt tal p / q , kan vi definiera att L _t − Ls har samma fördelning som X _{q 1} + X _{q 2} + … + X _qp . Irrationella värden på t − s > 0 hanteras via ett kontinuitetsargument.

Additiv process

En additiv process ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geq 0}} ($ en cadlag , kontinuerlig i sannolikhetsstokastisk process med oberoende inkrement ) har en oändligt delbar fördelning för varje $t\geq 0$ . Låt $\{\mu _{t}\}_{t\geq 0}$ vara dess familj av oändligt delbara fördelningar.

$\{\mu _{t}\}_{t\geq 0}$ uppfyller ett antal villkor för kontinuitet och monotoni. Dessutom, om en familj av oändligt delbara fördelningar $\{\mu _{t}\}_{t\geq 0}$ uppfyller dessa kontinuitets- och monotonitetsvillkor, finns det (unik i lag) en additiv process $\{\mu _{t}\}_{t\geq 0}$ med denna fördelning.

Se även

Fotnoter

Domínguez-Molina, JA; Rocha-Arteaga, A. (2007) "Om den oändliga delbarheten av några skeva symmetriska distributioner". Statistics and Probability Letters , 77 (6), 644–648 doi : 10.1016/j.spl.2006.09.014
Steutel, FW (1979), "Infinite Divisibility in Theory and Practice" (med diskussion), Scandinavian Journal of Statistics. 6, 57–64.
Steutel, FW och Van Harn, K. (2003), Infinite Divisibility of Probability Distributions on the Real Line (Marcel Dekker).