Sträckt exponentiell funktion

Figur 1 . Illustration av en sträckt exponentiell passning (med β =0,52) till en empirisk masterkurva. Som jämförelse visas också minsta kvadraters enkel och dubbel exponentiell passning. Uppgifterna är rotationsanisotropi av antracen i polyisobutylen av flera molekylära massor . Plotterna har gjorts för att överlappa varandra genom att dividera tiden ( t ) med respektive karakteristiska tidskonstant .

Den sträckta exponentialfunktionen

$$f_{\beta }(t)=e^{-t^{\beta }}$$

erhålls genom att infoga en bråkpotenslag i exponentialfunktionen . I de flesta applikationer är det bara meningsfullt för argument t mellan 0 och +∞. Med β = 1 återvinns den vanliga exponentialfunktionen. Med en sträckande exponent β mellan 0 och 1, är grafen för log f mot t karaktäristiskt utsträckt , därav namnet på funktionen. Den komprimerade exponentialfunktionen (med β > 1 ) har mindre praktisk betydelse, med det anmärkningsvärda undantaget β = 2 , som ger normalfördelningen .

I matematik är den sträckta exponentialen också känd som den komplementära kumulativa Weibull-fördelningen . Den utsträckta exponentialen är också den karakteristiska funktionen , i princip Fourier-transformen , av Lévys symmetriska alfastabila distribution .

Inom fysiken används ofta den sträckta exponentialfunktionen som en fenomenologisk beskrivning av avslappning i störda system. Den introducerades först av Rudolf Kohlrausch 1854 för att beskriva urladdningen av en kondensator; sålunda är den också känd som Kohlrausch-funktionen . År 1970 använde G. Williams och DC Watts Fourier-transformen av den sträckta exponentialen för att beskriva dielektriska spektra av polymerer; i detta sammanhang kallas den sträckta exponentialen eller dess Fourier-transform också för Kohlrausch–Williams–Watts (KWW)-funktionen .

I fenomenologiska tillämpningar är det ofta inte klart om den sträckta exponentialfunktionen ska användas för att beskriva differential- eller integralfördelningsfunktionen - eller ingetdera. I varje fall får man samma asymptotiska förfall, men en annan maktlagsprefaktor, vilket gör passningar mer tvetydiga än för enkla exponentialer. I några få fall kan det visas att det asymptotiska sönderfallet är en uttöjd exponentiell, men prefaktorn är vanligtvis en orelaterad kraft.

Matematiska egenskaper

Ögonblick

Efter den vanliga fysiska tolkningen tolkar vi funktionsargumentet t som tid, och f _β ( t ) är differentialfördelningen. Arean under kurvan kan alltså tolkas som en medelavslappningstid . Man hittar

$$\langle \tau \rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\ ,e^{-(t/\tau _{K})^{\beta }}={\tau _{K} \över \beta }\Gamma {\left({\frac {1}{\beta } }\höger)}$$

där Γ är gammafunktionen . För exponentiell avklingning återvinns ⟨ τ ⟩ = τ _K.

De högre momenten för den sträckta exponentialfunktionen är

$$\langle \tau ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,t^{n-1}\,e^{-(t/\tau _{K })^{\beta }}={{\tau _{K}}^{n} \over \beta }\Gamma {\left({\frac {n}{\beta }}\right)}.$$

Distributionsfunktion

Inom fysiken har försök gjorts att förklara sträckt exponentiellt beteende som en linjär överlagring av enkla exponentiella sönderfall. Detta kräver en icke-trivial fördelning av relaxationstider, ρ ( u ), som implicit definieras av

$$e^{-t^{\beta }}=\int _{0}^{\infty }du\,\rho (u)\,e^{-t/u}.$$

Alternativt en distribution

$$G=u\rho (u)$$

är använd.

ρ kan beräknas från serieexpansionen:

$$\rho (u)=-{1 \over \pi u}\summa _{k=0}^{\infty }{( -1)^{k} \över k!}\sin(\pi \beta k)\Gamma (\beta k+1)u^{\beta k}$$

För rationella värden på β kan ρ ( u ) beräknas i termer av elementära funktioner . Men uttrycket är i allmänhet för komplext för att vara användbart förutom fallet β = 1/2 där

$$G(u)=u\rho (u)={1 \over 2{\sqrt {\pi }}}{ \sqrt {u}}e^{-u/4}$$

Figur 2 visar samma resultat plottade i både en linjär och en log representation. Kurvorna konvergerar till en Dirac-deltafunktion med en topp vid u = 1 när β närmar sig 1, vilket motsvarar den enkla exponentialfunktionen.

Figur 2 . Linjära och log-log-plottar för den utsträckta exponentialfördelningsfunktionen $G$ vs $t/\tau$ för värden på sträckningsparametern β mellan 0,1 och 0,9.

Momenten för den ursprungliga funktionen kan uttryckas som

$$\langle \tau ^{n}\rangle =\Gamma (n)\int _{0}^{\infty }d\tau \,t^{n}\,\rho (\tau ).$$

Det första logaritmiska momentet för fördelningen av enkel-exponentiella relaxationstider är

$$\langle \ln \tau \rangle =\left(1-{1 \over \beta }\right){\rm { Eu}}+\ln \tau _{K}$$

där Eu är Eulerkonstanten .

Fouriertransform

För att beskriva resultat från spektroskopi eller oelastisk spridning behövs sinus- eller cosinus-Fourier-transformen av den sträckta exponentialen. Det måste beräknas antingen genom numerisk integration eller från en serieexpansion. Serien här liksom den för distributionsfunktionen är specialfall av Fox–Wright-funktionen . För praktiska ändamål kan Fouriertransformen approximeras av Havriliak–Negami-funktionen , även om nuförtiden kan den numeriska beräkningen göras så effektivt att det inte längre finns någon anledning att inte använda Kohlrausch–Williams–Watts-funktionen i frekvensdomänen.

Historik och ytterligare tillämpningar

Som sagt i inledningen introducerades den sträckta exponentialen av den tyske fysikern Rudolf Kohlrausch 1854 för att beskriva urladdningen av en kondensator ( Leyden jar ) som använde glas som dielektriskt medium. Nästa dokumenterade användning är av Friedrich Kohlrausch , son till Rudolf, för att beskriva vridavslappning. A. Werner använde det 1907 för att beskriva komplexa luminescensavfall; Theodor Förster 1949 som fluorescensförfallslagen för elektroniska energigivare.

Utanför den kondenserade materiens fysik har den sträckta exponentialen använts för att beskriva borttagningshastigheten för små, herrelösa kroppar i solsystemet, den diffusionsvägda MRI-signalen i hjärnan och produktionen från okonventionella gaskällor.

Med sannolikhet,

Om den integrerade fördelningen är en sträckt exponentiell, ges den normaliserade sannolikhetstäthetsfunktionen av

$$p(\tau \mid \lambda ,\beta )~d\tau ={ \frac {\lambda }{\Gamma (1+\beta ^{-1})}}~e^{-(\tau \lambda )^{\beta }}~d\tau$$

Observera att förvirrande nog har vissa författare varit kända för att använda namnet "utsträckt exponentiell" för att hänvisa till Weibull-fördelningen .

Ändrade funktioner

En modifierad sträckt exponentiell funktion

$$f_{\beta }(t)=e^{-t^{\beta (t)}}$$

med en långsamt t -beroende exponent β har använts för biologiska överlevnadskurvor.

Trådlös kommunikation

I trådlös kommunikation har en skalad version av den utsträckta exponentialfunktionen visat sig visas i Laplace-transformen för störningseffekten $I$ när sändarnas positioner är modellerade som en 2D Poisson Point Process utan uteslutningsområde runt mottagare.

Laplace -transformen kan skrivas för godtycklig toningsfördelning enligt följande:

$$L_{I}(s)=\ exp \left(-\pi \lambda \mathbb {E} {\left[g^{\frac {2}{\eta }}\right]}\Gamma {\left(1-{\frac {2}{ \eta }}\right)}s^{\frac {2}{\eta }}\right)=\exp \left(-ts^{\beta}\right)$$

där $g$ är styrkan av fädningen, $\eta$ är exponenten för vägförlust , $\lambda$ är densiteten för 2D Poisson Point Process, ${\ displaystyle \Gamma (\cdot )}$ är gammafunktionen, och $\mathbb {E} [x]$ är förväntan på variabeln $x$ .

Samma referens visar också hur man erhåller den inversa Laplace-transformen för den sträckta exponentiella $\exp \left(-s^{\beta }\right)$ för ett heltal av högre ordning $\beta =\beta _{q}\beta _{b}$ från heltal av lägre ordning $\beta _{a}$ och $\beta _{b}$ .

Internetströmning

Den uttänjda exponentialen har använts för att karakterisera Internetmedieåtkomstmönster, såsom YouTube och andra stabila strömmande mediasajter. Den allmänt överenskomna maktlagens åtkomstmönster för webbarbetsbelastningar återspeglar huvudsakligen textbaserat innehåll webbarbetsbelastningar, såsom dagligen uppdaterade nyhetssajter.

externa länkar

• J. Wuttke: libkww C-bibliotek för att beräkna Fouriertransformen av den utsträckta exponentialfunktionen