Lista över euklidiska uniformsplattor

Denna tabell visar de 11 konvexa enhetliga plattorna (regelbundna och halvregelbundna) på det euklidiska planet , och deras dubbla plattsättningar.

Det finns tre vanliga och åtta halvregelbundna plattor i planet. De halvregelbundna plattorna bildar nya plattor från sina dualer, var och en gjord av en typ av oregelbunden yta.

John Conway kallar dessa enhetliga dualer för katalanska plattsättningar , parallellt med de katalanska solida polyedrarna.

Enhetliga plattsättningar listas efter deras vertexkonfiguration , sekvensen av ytor som finns på varje vertex. Till exempel 4.8.8 en kvadrat och två oktagoner på en vertex.

Dessa 11 enhetliga plattor har 32 olika enhetliga färger . En enhetlig färgning gör att identiska polygoner vid en vertex kan färgas olika, samtidigt som vertexens enhetlighet och transformationskongruens mellan hörn bibehålls. (Obs: Vissa av kakelbilderna som visas nedan är inte färglika)

Utöver de 11 konvexa likformiga plattorna finns det också 14 kända icke-konvexa plattsättningar, med stjärnpolygoner och omvänd orientering vertexkonfigurationer. Ytterligare 28 enhetliga plattsättningar är kända med användning av apeirogoner . Om sicksack också tillåts finns det 23 fler kända enhetliga plattsättningar och 10 fler kända familjer beroende på en parameter: i 8 fall är parametern kontinuerlig, och i de andra 2 är den diskret. Uppsättningen är inte känd för att vara komplett.

Laves kakel

I 1987 års bok, Tilings and Patterns , kallar Branko Grünbaum de vertex-uniforma plattorna för Archimedean , parallellt med Archimedean solids . Deras dubbla plattsättningar kallas Laves tilings för att hedra kristallografen Fritz Laves . De kallas också Shubnikov–Laves plattsättningar efter Aleksei Shubnikov . John Conway kallade uniformsdualerna för katalanska plattsättningar , parallellt med de katalanska solida polyedrar.

Laves plattsättningar har hörn i mitten av de vanliga polygonerna och kanter som förbinder mitten av vanliga polygoner som delar en kant. Kakelplattorna Laves plattsättningar kallas planigoner . Detta inkluderar de 3 vanliga brickorna (triangel, kvadrat och hexagon) och 8 oregelbundna. Varje vertex har kanter jämnt fördelade runt sig. Tredimensionella analoger av planigonerna kallas stereohedron .

Dessa dubbla plattsättningar listas efter deras ansiktskonfiguration , antalet ytor vid varje vertex av ett ansikte. Till exempel V4.8.8 likbenta trianglar med ett hörn med fyra trianglar och två hörn som innehåller åtta trianglar. Orienteringarna för vertexplanigonerna (upp till D 12 ) överensstämmer med vertexdiagrammen i avsnitten nedan.

Elva planigoner
Trianglar Fyrhörningar Pentagoner Sexhörning

V6 3
CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png

V4.8 2
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

V4.6.12
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

V3.12 2
CDel 2.png

V4 4
CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel 2.pngCDel branch.pngCDel labelinfin.png

V(3.6) 2
CDel 2.png

V3.4.6.4
CDel 2.png

V3 2 .4.3.4
CDel 2.png

V3 4 .6
CDel 2.png

V3 3 .4 2
CDel 2.png

V3 6
CDel 2.png

Konvexa enhetliga plattsättningar av det euklidiska planet

Alla reflekterande former kan göras av Wythoff-konstruktioner , representerade av Wythoff-symboler , eller Coxeter-Dynkin-diagram , som var och en verkar på en av tre Schwarz-trianglar (4,4,2), (6,3,2) eller (3,3) ,3), med symmetri representerad av Coxeter-grupper : [4,4], [6,3] eller [3 [3] ]. Alternerade former såsom snubben kan också representeras av speciella markeringar inom varje system. Endast en enhetlig plattsättning kan inte konstrueras med en Wythoff-process, utan kan göras genom en förlängning av den triangulära plattsättningen. En ortogonal spegelkonstruktion [∞,2,∞] finns också, sedd som två uppsättningar parallella speglar som bildar en rektangulär fundamental domän. Om domänen är kvadratisk, kan denna symmetri fördubblas av en diagonal spegel till familjen [4,4].

Familjer:

Gruppfamiljen [4,4]


Enhetliga plattsättningar (platoniska och arkimedeiska)



Vertexfigur och dubbel yta Wythoff-symbol(er) Symmetrigrupp Coxeterdiagram (r)

Dubbla - enhetliga plattsättningar (kallade Laves eller katalanska plattsättningar)
Tiling 4a simple.svg
Fyrkantig kakel (quadrille)
Tiling 4a vertfig.svgTiling 4a dual face.svg


4.4.4.4 (eller 4 4 ) 4 | 2 4 p4m , [4,4], (*442)
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.png
Tiling 4b simple.svg
självdual (quadrille)
Tiling truncated 4a simple.svg
Trunkerad fyrkantig kakel (stympad quadrille)
Tiling truncated 4a vertfig.svgTiling truncated 4a dual face.svg




CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.png 4.8.8 2 | 4 4 4 4 2 | p4m , [4,4], (*442) eller CDel node 1.pngCDel split1-44.pngCDel nodes 11.png
Tiling truncated 4a dual simple.svg
Tetrakis fyrkantigt kakel (kisquadrille)
Tiling snub 4-4 left simple.svg
Snub fyrkantig kakel (snub quadrille)
Tiling snub 4-4 left vertfig.svgTiling snub 4-4 left dual face.svg



CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.png 3.3.4.3.4 | 4 4 2 p4g , [4 + ,4], (4*2) eller CDel node h.pngCDel split1-44.pngCDel nodes hh.png
Tiling snub 4-4 left dual simple.svg
Kairo femkantigt kakel (4-faldig pentile)

Gruppfamiljen [6,3]

Platonska och arkimedeiska plattsättningar


Vertexfigur och dubbel yta Wythoff-symbol(er) Symmetrigrupp Coxeterdiagram (r)
Dual Laves kakel
Tiling 6 simple.svg
Hexagonal kakel (hextile)
Tiling 6 vertfig.svgTiling 6 dual face.svg




6.6.6 (eller 6 3 ) 3 | 6 2 2 6 | 3 3 3 3 | p6m , [6,3], (*632)
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch 11.png
Tiling 3 simple.svg
Triangulär plattsättning (deltille)
Tiling 3-6 simple.svg
Trihexagonal plattsättning (hexadeltille)
Tiling 3-6 vertfig.svgTiling 3-6 dual face.svg




CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel branch 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.png (3.6) 2 2 | 6 3 3 3 | 3 p6m , [6,3], (*632) = CDel node h1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Tiling 3-6 dual simple.svg
Rhombille kakel (rhombille)
Tiling truncated 6 simple.svg
Trunkerad hexagonal plattsättning (stympad hextile)
Tiling truncated 6 vertfig.svgTiling truncated 6 dual face.svg


3.12.12 2 3 | 6 p6m , [6,3], (*632)
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Tiling truncated 6 dual simple.svg
Triakis triangulärt kakel (kisdeltille)
Tiling 3 simple.svg
Triangulär plattsättning (deltille)
Tiling 3 vertfig.svgTiling 3 dual face.svg





CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch.png 3.3.3.3.3.3 (eller 3 6 ) 6 | 3 2 3 | 3 3 | 3 3 3 p6m , [6,3], (*632) = CDel node h1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node h.pngCDel split1.pngCDel branch hh.png
Tiling 6 simple.svg
Hexagonal kakel (hextile)
Tiling small rhombi 3-6 simple.svg
Rhombitrihexagonal plattsättning (rhombihexadeltille)
Tiling small rhombi 3-6 vertfig.svgTiling small rhombi 3-6 dual face.svg


3.4.6.4 3 | 6 2 p6m , [6,3], (*632)
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Tiling small rhombi 3-6 dual simple.svg
Deltoidal trihexagonal plattsättning (tetrille)
Tiling great rhombi 3-6 simple.svg
Trunkerad trihexagonal plattsättning (stympad hexadeltille)
Tiling great rhombi 3-6 vertfig.svgTiling great rhombi 3-6 dual face.svg


4.6.12 2 6 3 | p6m , [6,3], (*632)
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Tiling great rhombi 3-6 dual simple.svg
Kisrhombille plattsättning (kisrhombille)
Tiling snub 3-6 left simple.svg
Snub trihexagonal plattsättning (snub hextile)
Tiling snub 3-6 left vertfig.svgTiling snub 3-6 left dual face.svg


3.3.3.3.6 | 6 3 2 p6 , [6,3] + , (632)
CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Tiling snub 3-6 left dual simple.svg
Floret femkantigt kakel (6-faldig pentile)

Icke-wythoffsk enhetlig plattsättning

Platonska och arkimedeiska plattsättningar


Vertex figur och dubbelt ansikte Wythoff symbol(er) Symmetrigrupp Coxeter diagram
Dual Laves kakel
Tiling elongated 3 simple.svg
Långsträckt triangulärt kakel (isosnub quadrille)
Tiling elongated 3 vertfig.svgTiling elongated 3 dual face.svg


3.3.3.4.4 2 | 2 (2 2) cmm , [∞,2 + ,∞], (2*22)
CDel node.pngCDel infin.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel infin.pngCDel node 1.png
CDel node h.pngCDel infin.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel infin.pngCDel node 1.png
Tiling elongated 3 dual simple.svg
Prismatisk femkantig plattsättning (iso(4-)pentille)

Enhetliga färger

Det finns totalt 32 enhetliga färger av de 11 enhetliga plattorna:

  1. Triangulär plattsättning – 9 enhetliga färger, 4 wythoffian, 5 nonwythoffian
    • Uniform tiling 63-t2.svg Uniform tiling 333-t1.svg Uniform tiling 333-snub.png Uniform tiling 63-h12.png Uniform triangular tiling 111222.png Uniform triangular tiling 112122.png Uniform triangular tiling 111112.png Uniform triangular tiling 111212.png Uniform triangular tiling 111213.png 
  2. Fyrkantig plattsättning – 9 färger: 7 wythoffian, 2 nonwythoffian
    • Square tiling uniform coloring 1.svg Square tiling uniform coloring 2.png Square tiling uniform coloring 7.png Square tiling uniform coloring 8.png Square tiling uniform coloring 3.png Square tiling uniform coloring 6.png Square tiling uniform coloring 4.png Square tiling uniform coloring 5.png Square tiling uniform coloring 9.png 
  3. Hexagonal kakel – 3 färger, alla wythoffian
    • Uniform tiling 63-t0.svg Uniform tiling 63-t12.svg Uniform tiling 333-t012.svg 
  4. Trihexagonal kakel – 2 färger, båda wythoffian
    • Uniform tiling 63-t1.svg Uniform tiling 333-t01.png 
  5. Snub fyrkantig kakel – 2 färger, båda omväxlande wythoffian
    • Uniform tiling 44-h01.png Uniform tiling 44-snub.svg 
  6. Stympad kvadratisk plattsättning – 2 färger, båda wythoffian
    • Uniform tiling 44-t12.svg Uniform tiling 44-t012.svg 
  7. Stympad hexagonal kakel – 1 färg, wythoffian
    • Uniform tiling 63-t01.svg 
  8. Rhombitrihexagonal plattsättning – 1 färg, wythoffian
    • Uniform tiling 63-t02.svg 
  9. Trunkerad trihexagonal plattsättning – 1 färg, wythoffian
    • Uniform tiling 63-t012.svg 
  10. Snub hexagonal kakel – 1 färg, alternerad wythoffian
    • Uniform tiling 63-snub.svg 
  11. Långsträckt triangulärt kakel – 1 färg, nonwythoffian
    • Elongated triangular tiling 1.png 

Se även

Vidare läsning

externa länkar