Stjärnpolygon

Två typer av stjärn femhörningar
{5/2}	\|5/2\|
En vanlig stjärnfemhörn , {5/2}, har fem hörn och skärande kanter, medan en konkav dekagon , \|5/2\|, har tio kanter och två uppsättningar av fem hörn. De första används i definitioner av stjärnpolyedrar och enhetliga plattsättningar för stjärnan , medan den andra används ibland i plana plattsättningar.
Liten stjärnformad dodekaeder	Tessellation

I geometri är en stjärnpolygon en typ av icke- konvex polygon . Regelbundna stjärnpolygoner har studerats på djupet; medan stjärnpolygoner i allmänhet inte verkar ha definierats formellt, vissa anmärkningsvärda uppstå genom trunkeringsoperationer på vanliga enkla polygoner och stjärnpolygoner.

Branko Grünbaum identifierade två primära definitioner som används av Johannes Kepler , en är de vanliga stjärnpolygonerna med skärande kanter som inte genererar nya hörn, och den andra är enkla isotoxala konkava polygoner .

Den första användningen ingår i polygram som inkluderar polygoner som pentagrammet men också sammansatta figurer som hexagrammet .

En definition av en stjärnpolygon , som används i sköldpaddsgrafik , är en polygon som har 2 eller fler varv ( vändningsnummer och täthet ), som i spirolateraler .

Namn

Stjärnpolygonnamn kombinerar ett numeriskt prefix , såsom penta- , med det grekiska suffixet -gram (som i detta fall genererar ordet pentagram ). Prefixet är normalt en grekisk kardinal , men synonymer som använder andra prefix finns. Till exempel är en nio-uddig polygon eller enneagram också känd som ett nonagram , med ordinal nona från latin . ^{[ citat behövs ]} Suffixet -gram kommer från γραμμή ( grammḗ ) som betyder en linje.

Vanlig stjärnpolygon

{5/2}	{7/2}	{7/3} ...

Regelbundna konvexa och stjärnpolygoner med 3 till 12 hörn märkta med sina Schläfli-symboler

En "regelbunden stjärnpolygon" är en självskärande, liksidig likkantig polygon .

En vanlig stjärnpolygon betecknas med dess Schläfli-symbol { p / q }, där p (antalet hörn) och q (densiteten ) är relativt primtal ( de delar inga faktorer) och q ≥ 2. Densiteten för en polygon kan kallas också dess vändningsnummer , summan av svängvinklarna för alla hörn dividerat med 360°.

Symmetrigruppen för { n / k } är dihedrisk grupp Dn av ordningen 2n , oberoende av k _.

Regelbundna stjärnpolygoner studerades först systematiskt av Thomas Bradwardine och senare Johannes Kepler .

Konstruktion via vertexanslutning

Reguljära stjärnpolygoner kan skapas genom att koppla en vertex av en enkel, regelbunden, p -sidig polygon till en annan, icke-angränsande vertex och fortsätta processen tills den ursprungliga vertexen nås igen. Alternativt för heltal p och q kan den anses vara konstruerad genom att koppla var q: te punkt av p -punkter som är regelbundet fördelade i en cirkulär placering. Till exempel, i en vanlig femkant, kan en femuddig stjärna erhållas genom att dra en linje från den första till den tredje spetsen, från den tredje spetsen till den femte spetsen, från den femte spetsen till den andra spetsen, från den andra spetsen till det fjärde hörnet och från det fjärde hörnet till det första hörnet.

Om q är större än hälften av p , kommer konstruktionen att resultera i samma polygon som p - q ; koppling av var tredje vertex i femhörningen ger ett resultat som är identiskt med det att ansluta vartannat hörn. Dock kommer hörnen att nås i motsatt riktning, vilket gör skillnad när retrograda polygoner är inkorporerade i högre dimensionella polytoper. Till exempel, en antiprisma som bildas av ett prograd pentagram {5/2} resulterar i en pentagrammisk antiprisma ; den analoga konstruktionen från ett retrogradt "korsat pentagram" {5/3} resulterar i en pentagrammisk korsad antiprisma . Ett annat exempel är tetrahemihexaedern , som kan ses som en "korsad triangel" {3/2} kuploid .

Degenererade vanliga stjärnpolygoner

Om p och q inte är coprime, kommer en degenererad polygon att resultera med sammanfallande hörn och kanter. Till exempel kommer {6/2} att visas som en triangel, men kan märkas med två uppsättningar av hörn 1-6. Detta ska inte ses som två överlappande trianglar, utan som en dubbellindning av en enda unikursal hexagon.

Konstruktion via stellation

Alternativt kan en vanlig stjärnpolygon också erhållas som en sekvens av stellationer av en konvex regelbunden kärnpolygon . Konstruktioner baserade på stellation tillåter också att regelbundna polygonala föreningar erhålls i de fall där tätheten och mängden av hörn inte är coprime. När man konstruerar stjärnpolygoner från stellation, men om q är större än p /2, kommer linjerna istället att divergera oändligt, och om q är lika med p /2 kommer linjerna att vara parallella, med båda resulterar i ingen ytterligare skärning i euklidisk Plats. Det kan dock vara möjligt att konstruera några sådana polygoner i sfäriskt utrymme, på samma sätt som monogonen och digonen ; sådana polygoner verkar ännu inte ha studerats i detalj.

Enkla isotoxala stjärnpolygoner

När de skärande linjerna tas bort är stjärnpolygonerna inte längre regelbundna, utan kan ses som enkla konkava isotoxala 2 n -goner, alternerande hörn vid två olika radier, som inte nödvändigtvis behöver matcha de reguljära stjärnpolygonvinklarna. Branko Grünbaum i Tilings and Patterns representerar dessa stjärnor som | n / d | som matchar geometrin för polygram {n/d} med en notation {n _α } mer allmänt, representerande en n-sidig stjärna med varje inre vinkel α<180°(1-2/ n ) grader. För | n / d |, de inre hörnen har en yttre vinkel, β, som 360°( d -1)/ n .

Enkla isotoxala stjärnexempel
\|n/d\| {n _α }	{3 _30° }	{6 _30° }	\|5/2\| {5 _36° }	{4 _45° }	\|8/3\| {8 _45° }	\|6/2\| {6 _60° }	{5 _72° }
α	30°		36°	45°		60°	72°
β	150°	90°	72°	135°	90°	120°	144°
Isotoxal stjärna
Relaterat polygram {n/d}	{12/5}		{5/2}	{8/3}		2{3} stjärnfigur	{10/3}

Exempel inom plattsättning

Dessa polygoner ses ofta i kakelmönster. Den parametriska vinkeln α (grader eller radianer) kan väljas för att matcha inre vinklar för angränsande polygoner i ett tessellationsmönster. Johannes Kepler i sitt arbete Harmonices Mundi från 1619, inklusive bland annat tidsbeläggningar, icke-periodiska plattsättningar som att tre vanliga femhörningar, och en vanlig stjärnfemhörning (5.5.5.5/2) kan passa runt en vertex, och relaterade till moderna Penrose- plattor .

Exempel på plattsättningar med isotoxala stjärnpolygoner
Stjärntrianglar	Stjärnrutor	Stjärnhexagoner			Stjärnoktagoner
(3,3 ^_α .3,3 ^*_α )	(8.4 ^_π/4 .8.4 ^_π/4 )	(6,6 ^_{π/3 ,} 6,6 ^_π/3 )	(3,6 ^_{π/3 ,} 6 ^*_π/3 )	(3.6.6 ^*_π/3.6 )	Inte kant till kant

Interiörer

Det inre av en stjärnpolygon kan behandlas på olika sätt. Tre sådana behandlingar illustreras för ett pentagram. Branko Grünbaum och Geoffrey Shephard betraktar två av dem, som vanliga stjärnpolygoner och konkava isogonala 2 n -goner.

Dessa inkluderar:

Där en sida uppstår behandlas den ena sidan som utanför och den andra som inuti. Detta visas i den vänstra illustrationen och förekommer ofta i datorvektorgrafik .
Antalet gånger som den polygonala kurvan slingrar sig runt ett givet område bestämmer dess densitet . Exteriören ges en densitet på 0, och varje region med densitet > 0 behandlas som inre. Detta visas i den centrala illustrationen och förekommer ofta vid matematisk behandling av polyedrar . (Men för icke-orienterbara polyedrar kan densitet endast betraktas som modulo 2 och därför används den första behandlingen ibland istället i dessa fall för konsistens.)
Där en linje kan dras mellan två sidor, behandlas området där linjen ligger som inuti figuren. Detta visas i den högra illustrationen och förekommer ofta när man gör en fysisk modell.

När arean av polygonen beräknas, ger var och en av dessa tillvägagångssätt ett annat svar.

Inom konst och kultur

Stjärnpolygoner har en framträdande plats i konst och kultur. Sådana polygoner kan vara regelbundna men de är alltid mycket symmetriska . Exempel inkluderar:

Den {5/2} stjärnfemhörningen ( pentagram ) är också känd som en pentalfa eller pentangel och har historiskt sett ansetts ha ockult betydelse av många magiska och religiösa kulter.
Stjärnpolygonerna {7/2} och {7/3} ( heptagram ) har också ockult betydelse, särskilt i kabbalan och i Wicca .
Den {8/3} stjärnpolygonen ( oktagram ) är ett vanligt geometriskt motiv i Mughal islamisk konst och arkitektur ; den första är på Azerbajdzjans emblem .
En elvauddig stjärna som kallas hendecagrammet användes på Shah Nemat Ollah Valis grav.

Ett {8/3} oktagram konstruerat i en vanlig oktagon	Salomos sigill med cirkel och prickar (stjärnfigur)

Se även

Cromwell, P.; Polyhedra , CUP, Hbk. 1997, ISBN 0-521-66432-2 . Pbk. (1999), ISBN 0-521-66405-5 . sid. 175
Grünbaum, B. och GC Shephard; Tilings and Patterns , New York: WH Freeman & Co., (1987), ISBN 0-7167-1193-1 .
Grünbaum, B .; Polyhedra with Hollow Faces, Proc of NATO-ASI Conference on Polytopes ... etc. (Toronto 1993) , ed T. Bisztriczky et al., Kluwer Academic (1994) s. 43–70.
John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Kapitel 26. s. 404: Regular star-polytopes Dimension 2)
Branko Grünbaum , Metamorphoses of polygons , publicerad i The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History, ( 1994)