Trunkerad tetraoktagonal plattsättning

Trunkerad tetraoktagonal kakel
Poincaré-skivmodell av det hyperboliska planet
Typ	Hyperbolisk enhetlig plattsättning
Vertex-konfiguration	4.8.16
Schläfli symbol	tr{8,4} eller $t{\begin{Bmatrix}8\\4\end{Bmatrix}}$
Wythoff symbol	2 8 4 \|
Coxeter diagram	eller
Symmetrigrupp	[8,4], (*842)
Dubbel	Order-4-8 kisrhombille plattsättning
Egenskaper	Vertex-transitiv

I geometri är den trunkerade tetraoktagonala plattsättningen en halvregelbunden plattsättning av det hyperboliska planet. Det finns en kvadrat , en oktagon och en hexakaidecagon på varje vertex . Den har Schläfli-symbolen tr{8,4}.

Dubbel plattsättning


Den dubbla plattsättningen kallas en order-4-8 kisrhombille plattsättning , gjord som en komplett halvering av order-4 åttkantiga plattsättningar , här med trianglar visas med omväxlande färger. Denna sida vid sida representerar de grundläggande triangulära domänerna för [8,4] (*842) symmetri.

Symmetri

Trunkerad tetraoktagonal plattsättning med *842, , spegellinjer

Det finns 15 undergrupper konstruerade från [8,4] genom spegelborttagning och alternering. Speglar kan tas bort om alla filialordrar är jämna och halverar närliggande filialordrar. Att ta bort två speglar lämnar en halvordnings vridningspunkt där de borttagna speglarna möttes. I dessa bilder är fundamentala domäner växelvis färgade svarta och vita, och speglar finns på gränserna mellan färger. Undergruppsindex - gruppen, [1 ⁺ ,8,1 ⁺ ,4,1 ⁺ ] (4242) är kommutatorundergruppen för [8,4].

En större undergrupp konstrueras som [8,4*], index 8, som [8,4 ⁺ ], (4*4) med gyrationspunkter borttagna, blir (*4444) eller (*4 ⁴ ), och en annan [8 *,4], index 16 som [8 ⁺ ,4], (8*2) med gyrationspunkter borttagna som (*22222222) eller (*2 ⁸ ). Och deras direkta undergrupper [8,4*] ⁺ , [8*,4] ⁺ , undergruppsindex 16 respektive 32, kan ges i orbifold notation som (4444) och (22222222).

Små indexundergrupper av [8,4] (*842)
Index	1	2			4
Diagram
Coxeter	[8,4] =	[1 ⁺ ,8,4] =	[8,4,1 ⁺ ] = =	[8,1 ⁺ ,4] =	[1 ⁺ ,8,4,1 ⁺ ] =	[8 ⁺ ,4 ⁺ ]
Orbifold	*842	*444	*882	*4222	*4242	42×
Semidirekta undergrupper
Diagram
Coxeter		[8,4 ⁺ ]	[8 ⁺ ,4]	[(8,4,2 ⁺ )]	[8,1 ⁺ ,4,1 ⁺ ] = = = =	[1 ⁺ ,8,1 ⁺ ,4] = = = =
Orbifold		4*4	8*2	2*42	2*44	4*22
Direkta undergrupper
Index	2	4			8
Diagram
Coxeter	[8,4] ⁺ =	[8,4 ⁺ ] ⁺ =	[8 ⁺ ,4] ⁺ =	[8,1 ⁺ ,4] ⁺ =	[8 ⁺ ,4 ⁺ ] ⁺ = [1 ⁺ ,8,1 ⁺ ,4,1 ⁺ ] = = =
Orbifold	842	444	882	4222	4242
Radikala undergrupper
Index		8	16		32
Diagram
Coxeter		[8,4*] =	[8*,4]	[8,4*] ⁺ =	[8*,4] ⁺
Orbifold		*4444	*22222222	4444	22222222

Relaterade polyedrar och plattsättningar

Från en Wythoff-konstruktion finns det fjorton hyperboliska likformiga plattsättningar som kan baseras på den vanliga ordningen-4 åttkantiga plattsättningen.

Genom att rita brickorna färgade som röda på originalytorna, gula vid de ursprungliga hörnen och blå längs originalkanterna, finns det 7 former med full [8,4] symmetri och 7 med subsymmetri.

Enhetliga åttkantiga/fyrkantiga plattsättningar
[8,4], (842) (med [8,8] (882), [(4,4,4)] (444) , [∞,4,∞] ( 4222) index 2 subsymmetrier) (Och [(∞,4,∞,4)] (*4242) index 4 subsymmetri)
= = =	=	= = =	=	= =	=

{8,4}	t{8,4}	r{8,4}	2t{8,4}=t{4,8}	2r{8,4}={4,8}	rr{8,4}	tr{8,4}
Uniforma dualer


V8 ⁴	V4.16.16	V(4,8) ²	V8.8.8	V4 ⁸	V4.4.4.8	V4.8.16
Växlingar
[1 ⁺ ,8,4] (*444)	[8 ⁺ ,4] (8*2)	[8,1 ⁺ ,4] (*4222)	[8,4 ⁺ ] (4*4)	[8,4,1 ⁺ ] (*882)	[(8,4,2 ⁺ )] (2*42)	[8,4] ⁺ (842)
=	=	=	=	=	=

h{8,4}	s{8,4}	tim{8,4}	s{4,8}	h{4,8}	hrr{8,4}	sr{8,4}
Alternerande dualer


V(4.4) ⁴	V3.(3.8) ²	V(4.4.4) ²	V(3,4) ³	V8 ⁸	V4.4 ⁴	V3.3.4.3.8

* n 42 symmetrimutation av omnitrunkerade plattsättningar: 4.8.2n
Symmetri * n 42 [n,4]	Sfärisk		euklidisk	Kompakt hyperbolisk				Paracomp.
Symmetri * n 42 [n,4]	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Omnitruncerad figur	4.8.4	4.8.6	4.8.8	4.8.10	4.8.12	4.8.14	4.8.16	4.8.∞
Omnitruncerade dualer	V4.8.4	V4.8.6	V4.8.8	V4.8.10	V4.8.12	V4.8.14	V4.8.16	V4.8.∞

* nn 2 symmetrimutationer av omnitrunkerade plattsättningar: 4,2 n ,2 n
Symmetri * nn 2 [n,n]	Sfärisk		euklidisk	Kompakt hyperbolisk				Paracomp.
Symmetri * nn 2 [n,n]	*222 [2,2]	*332 [3,3]	*442 [4,4]	*552 [5,5]	*662 [6,6]	*772 [7,7]	*882 [8,8]...	*∞∞2 [∞,∞]
Figur
Konfig.	4.4.4	4.6.6	4.8.8	4.10.10	4.12.12	4.14.14	4.16.16	4.∞.∞
Dubbel
Konfig.	V4.4.4	V4.6.6	V4.8.8	V4.10.10	V4.12.12	V4.14.14	V4.16.16	V4.∞.∞

Se även

John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Kapitel 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
"Kapitel 10: Vanliga bikakor i hyperboliskt utrymme". Geometrins skönhet: tolv essäer . Dover Publikationer. 1999. ISBN 0-486-40919-8 . LCCN 99035678 .

externa länkar