Vertex figur

"Halvkant" vertexfigur av kuben

I geometri är en vertexfigur i stort sett den figur som exponeras när ett hörn av en polyeder eller polytop skärs av.

Definitioner

"Helkant" vertexfigur av kuben

Sfärisk vertexfigur av kuben

Point-set vertex figur av kuben

Ta ett hörn eller hörn av en polyeder . Markera en punkt någonstans längs varje ansluten kant. Rita linjer över de anslutna ansiktena, förena intilliggande punkter runt ansiktet. När de är klara bildar dessa linjer en komplett krets, dvs en polygon, runt vertexet. Denna polygon är vertexfiguren.

Mer exakta formella definitioner kan variera ganska mycket beroende på omständigheterna. Till exempel Coxeter (t.ex. 1948, 1954) varierar sin definition som lämplig för det aktuella diskussionsområdet. De flesta av följande definitioner av en vertexfigur gäller lika väl för oändliga plattsättningar eller , i förlängningen, för rymdfyllande tesseller med polytopceller och andra högredimensionella polytoper .

Som en platt skiva

Gör en skiva genom hörnet på polyedern, skär igenom alla kanter som är anslutna till vertexen. Skärytan är vertexfiguren. Detta är kanske det vanligaste tillvägagångssättet och det lättast att förstå. Olika författare gör skivan på olika ställen. Wenninger (2003) skär varje kant ett enhetsavstånd från vertexet, liksom Coxeter (1948). För enhetliga polyedrar Dorman Luke -konstruktionen varje ansluten kant vid dess mittpunkt. Andra författare gör snittet genom spetsen i den andra änden av varje kant.

För en oregelbunden polyeder kan skärning av alla kanter som faller in mot en given vertex på lika avstånd från vertexen ge en figur som inte ligger i ett plan. Ett mer allmänt tillvägagångssätt, giltigt för godtyckliga konvexa polyedrar, är att göra snittet längs vilket plan som helst som skiljer den givna vertexen från alla andra hörn, men som annars är godtycklig. Denna konstruktion bestämmer den kombinatoriska strukturen av vertexfiguren, liknande en uppsättning sammankopplade hörn (se nedan), men inte dess exakta geometri; det kan generaliseras till konvexa polytoper i vilken dimension som helst. Men för icke-konvexa polyedrar kanske det inte finns ett plan nära vertexet som skär alla de ytor som faller in mot vertexen.

Som en sfärisk polygon

Cromwell (1999) bildar vertexfiguren genom att skära polyedern med en sfär centrerad vid vertexen, tillräckligt liten för att den endast skär kanter och ytor som faller in mot vertexen. Detta kan visualiseras som att göra ett sfäriskt snitt eller skopa, centrerad på vertexen. Skärytan eller vertexfiguren är alltså en sfärisk polygon markerad på denna sfär. En fördel med denna metod är att formen på vertexfiguren är fixerad (upp till sfärens skala), medan metoden att skära ett plan kan ge olika former beroende på planets vinkel. Dessutom fungerar denna metod för icke-konvexa polyedrar.

Som en uppsättning anslutna hörn

Många kombinatoriska och beräkningsmässiga tillvägagångssätt (t.ex. Skilling, 1975) behandlar en vertexfigur som den ordnade (eller delvis ordnade) uppsättningen av punkter för alla närliggande (anslutna via en kant) hörn till den givna vertexen.

Abstrakt definition

I teorin om abstrakta polytoper omfattar vertexfiguren vid en given vertex V alla element som infaller på vertexen; kanter, ytor, etc. Mer formellt är det ( n −1)-sektionen F _n / V , där F _n är den största ytan.

Denna uppsättning element är någon annanstans känd som en vertexstjärna . Den geometriska vertexfiguren och vertexstjärnan kan förstås som distinkta realiseringar av samma abstrakta avsnitt.

Generella egenskaper

En vertexfigur av en n -polytop är en ( n -1)-polytop. Till exempel är en vertexfigur av en polyeder en polygon och vertexfiguren för en 4-polytop är en polyeder.

I allmänhet behöver inte en vertexfigur vara plan.

För icke-konvexa polyedrar kan vertexfiguren också vara icke-konvex. Uniforma polytoper kan till exempel ha stjärnpolygoner för ansikten och/eller för vertexfigurer.

Isogonala figurer

Vertexfigurer är särskilt viktiga för uniformer och andra isogonala (vertextransitiva) polytoper eftersom en vertexfigur kan definiera hela polytopen.

För polyedrar med regelbundna ytor kan en vertexfigur representeras i vertexkonfigurationsnotation , genom att lista ytorna i sekvens runt vertexen. Till exempel är 3.4.4.4 en vertex med en triangel och tre kvadrater, och den definierar den enhetliga rhombicuboctahedronen .

Om polytopen är isogonal kommer vertexfiguren att existera i en hyperplanyta av n -rymden.

Konstruktioner

Från de intilliggande hörnen

Genom att överväga anslutningsmöjligheten för dessa närliggande hörn, kan en vertexfigur konstrueras för varje vertex av en polytop:

• Varje vertex av vertexfiguren sammanfaller med en vertex av den ursprungliga polytopen.
• Varje kant av vertexfiguren finns på eller inuti en yta av den ursprungliga polytopen som förbinder två alternativa hörn från en originalyta.
• Varje yta av vertexfiguren finns på eller inuti en cell i den ursprungliga n -polytopen (för n > 3).
• ... och så vidare till högre ordningselement i högre ordningspolytoper.

Dorman Luke konstruktion

För en enhetlig polyeder kan ytan på den dubbla polyederen hittas från den ursprungliga polyederns vertexfigur med hjälp av " Dorman Luke" -konstruktionen.

Vanliga polytoper

stora ikosaederns vertexfigur är en vanlig pentagram eller stjärnpolygon {5/2}.

Om en polytop är regelbunden kan den representeras av en Schläfli-symbol och både cellen och vertexfiguren kan trivialt extraheras från denna notation.

I allmänhet har en vanlig polytop med Schläfli-symbolen { a , b , c ,..., y , z } celler som { a , b , c ,..., y } och vertexfigurer som { b , c ,. .., y , z }.

1. För en vanlig polyeder { p , q } är vertexfiguren { q }, en q -gon.
   • Exempel, vertexfiguren för en kub {4,3} är triangeln {3}.
2. För en vanlig 4-polytop eller rymdfyllande tessellation { p , q , r } är vertexfiguren { q , r }.
   • Exempel, vertexfiguren för en hyperkub {4,3,3}, vertexfiguren är en vanlig tetraeder {3,3}.
   • Också vertexfiguren för en kubisk bikaka {4,3,4}, vertexfiguren är en vanlig oktaeder {3,4}.

Eftersom den dubbla polytopen för en vanlig polytop också är regelbunden och representeras av Schläfli-symbolindexen omvända, är det lätt att se att dualen av vertexfiguren är cellen i den dubbla polytopen. För vanliga polyedrar är detta ett specialfall av Dorman Luke-konstruktionen .

Ett exempel vertexfigur av en bikaka

stympad kubisk bikaka (delvis).

Topfiguren av en stympad kubisk bikaka är en olikformig fyrkantig pyramid . En oktaeder och fyra stympade kuber möts vid varje vertex och bildar en rymdfyllande tessellation .

Vertexfigur : En ojämn fyrkantig pyramid	Schlegel diagram	Perspektiv
Skapad som en kvadratisk bas från en oktaeder	(3.3.3.3)
Och fyra likbenta triangelsidor från trunkerade kuber	(3.8.8)

Kantfigur

Den stympade kubiska bikakan har två kanttyper, en med fyra stympade kuber och de andra med en oktaeder och två stympade kuber. Dessa kan ses som två typer av kantfigurer . Dessa ses som hörn av vertexfiguren .

Relaterat till vertexfiguren är en kantfigur topfiguren för en vertexfigur . Kantfigurer är användbara för att uttrycka relationer mellan elementen inom regelbundna och enhetliga polytoper.

En kantfigur kommer att vara en ( n −2)-polytop, som representerar arrangemanget av fasetter runt en given kant. Regelbundna och enkelringade coxeterdiagram likformiga polytoper kommer att ha en enkelkantstyp. I allmänhet kan en enhetlig polytop ha lika många kanttyper som aktiva speglar i konstruktionen, eftersom varje aktiv spegel producerar en kant i grunddomänen.

Vanliga polytoper (och honeycombs) har en enda kantfigur som också är regelbunden. För en vanlig polytop { p , q , r , s ,..., z } är kantfiguren { r , s ,..., z }.

I fyra dimensioner är kantfiguren på en 4-polytop eller 3-bikaka en polygon som representerar arrangemanget av en uppsättning fasetter runt en kant. Till exempel kantfiguren för en vanlig kubisk bikaka {4,3,4} en kvadrat och för en vanlig 4-polytop är { p , q , r } polygonen { r }.

Mindre trivialt har den stympade kubiska bikakan t _0,1 {4,3,4} en fyrkantig pyramidform med avkortade kub- och oktaederceller . Här finns två typer av kantfigurer . Den ena är en kvadratisk kantfigur i spetsen av pyramiden. Detta representerar de fyra trunkerade kuberna runt en kant. De övriga fyra kantfigurerna är likbenta trianglar på pyramidens baspunkt. Dessa representerar arrangemanget av två trunkerade kuber och en oktaeder runt de andra kanterna.

Se även

• Enkel länk - ett abstrakt begrepp relaterat till vertexfigur.
• Lista över vanliga polytoper

Bibliografi

• HSM Coxeter , Regular Polytopes , Hbk (1948), ppbk (1973).
• HSM Coxeter (et al.), Uniform Polyhedra, Phil. Trans . 246 A (1954) s. 401–450.
• P. Cromwell, Polyhedra , CUP pbk. (1999).
• HM Cundy och AP Rollett, Mathematical Models , Oxford Univ. Press (1961).
• J. Skilling, The Complete Set of Uniform Polyhedra, Phil. Trans . 278 A (1975) s. 111–135.
• M. Wenninger, Dual Models , CUP hbk (1983) ppbk (2003).
•   The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 (p289 Vertex figures)

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Vertex figur" . MathWorld .
• Olshevsky, George. "Vertex figur" . Ordlista för Hyperspace . Arkiverad från originalet den 4 februari 2007.
• Vertex figurer
• Konsekventa vertexbeskrivningar