Order-6 fyrkantiga plattor
| Order-6 kvadratisk kakel | |
|---|---|
 Poincaré-skivmodell av hyperbolplanet |
|
| Typ | Hyperbolisk vanlig plattsättning |
| Vertex-konfiguration | 4 6 |
| Schläfli symbol | {4,6} |
| Wythoff symbol | 6 | 4 2 |
| Coxeter diagram |
   
|
| Symmetrigrupp | [6,4], (*642) |
| Dubbel | Order-4 sexkantigt kakel |
| Egenskaper | Vertextransitiv , kanttransitiv , ansiktstransitiv |
Inom geometri är order -6 kvadratiska plattsättning en vanlig plattsättning av hyperboliska planet . Den har Schläfli-symbolen {4,6}.
Symmetri
Denna plattsättning representerar ett hyperboliskt kalejdoskop av 4 speglar som möts som kanter på en kvadrat, med sex rutor runt varje vertex. Denna symmetri med orbifold notation kallas (*3333) med 4 ordning-3 spegelkorsningar. I Coxeter kan notation representeras som [6,4 * ], genom att ta bort två av tre speglar (som passerar genom kvadratens centrum) i [6,4] symmetri . *3333 symmetri kan fördubblas till 663 symmetri genom att lägga till en spegel som delar den fundamentala domänen.
Denna tvåfärgade kvadratiska plattsättning visar de jämna/udda reflekterande grundläggande kvadratiska domänerna av denna symmetri. Denna tvåfärgade plattsättning har en wythoff-konstruktion t 1 {(4,4,3)}. En andra 6-färgssymmetri kan konstrueras från en hexagonal symmetridomän.
|
|
 [4,6,1 + ] = [(4,4,3)] eller (*443) symmetri =  
|
  [4,6 * ] = (*222222) symmetri =  
|
|---|
Exempel på konstverk
Runt 1956 utforskade MC Escher konceptet att representera oändligheten på ett tvådimensionellt plan. Diskussioner med den kanadensiske matematikern HSM Coxeter inspirerade Eschers intresse för hyperboliska tesselleringar, som är vanliga plattsättningar av det hyperboliska planet. Eschers trästick Circle Limit I–IV visar detta koncept. Den sista Circle Limit IV (Heaven and Hell), (1960) delar upprepade änglar och djävlar med (*3333) symmetri på ett hyperboliskt plan i en Poincaré- skivprojektion.
Konstverket som visas nedan har en ungefärlig hyperbolisk spegelöverlagring som lagts till för att visa de kvadratiska symmetridomänerna för den kvadratiska plattsättningen av order-6. Om du tittar noga kan du se en av fyra änglar och djävlar runt varje ruta är ritade som baksidor. Utan denna variation skulle konsten ha en 4-faldig rotationspunkt i mitten av varje ruta, vilket ger (4*3), [6,4 + ] symmetri.
Relaterade polyedrar och plattsättning
Denna plattsättning är topologiskt relaterad som en del av sekvensen av vanliga polyedrar och plattsättningar med vertexfigur (4 n ).
| * n 42 symmetrimutation av regelbundna plattsättningar: {4, n } | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Sfärisk | euklidisk | Kompakt hyperbolisk | Paracompact | ||||||||
 {4,3} 
|
 {4,4}
|
 {4,5} 
|
{4,6}
|
 {4,7} 
|
 {4,8} ... 
|
 {4,∞} 
|
|||||
Denna plattsättning är topologiskt relaterad som en del av sekvensen av regelbundna plattsättningar med ordning-6 hörn med Schläfli-symbolen {n,6}, och Coxeter-diagrammet , som går vidare till oändligheten.
| Vanliga plattsättningar { n ,6} | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Sfärisk | euklidisk | Hyperboliska plattor | ||||||
 {2,6}
|
 {3,6}
|
{4,6}
|
 {5,6}
|
 {6,6}
|
 {7,6}
|
 {8,6}
|
... |
 {∞,6}
|
| Enhetliga tetrahexagonala plattor | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Symmetri : [6,4], (*642 ) (med [6,6] (*662), [(4,3,3)] (*443) , [∞,3,∞] (* 3222) index 2 subsymmetrier) (Och [(∞,3,∞,3)] (*3232) index 4 subsymmetri) |
|||||||||||
    = = = 
|
= 
|
 = = =
|
=
|
= = =
|
=
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
| {6,4} | t{6,4} | r{6,4} | t{4,6} | {4,6} | rr{6,4} | tr{6,4} | |||||
| Uniforma dualer | |||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
| V6 4 | V4.12.12 | V(4.6) 2 | V6.8.8 | V4 6 | V4.4.4.6 | V4.8.12 | |||||
| Växlingar | |||||||||||
|
[1 + ,6,4] (*443) |
[6 + ,4] (6*2) |
[6,1 + ,4] (*3222) |
[6,4 + ] (4*3) |
[6,4,1 + ] (*662) |
[(6,4,2 + )] (2*32) |
[6,4] + (642) |
|||||
 = 
|
 =  
|
=  
|
=
|
= 
|
= 
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
| h{6,4} | s{6,4} | tim{6,4} | s{4,6} | h{4,6} | hrr{6,4} | sr{6,4} | |||||
| Enhetliga (4,4,3) plattsättningar | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symmetri: [(4,4,3)] (*443) |
[(4,4,3)] + (443) |
[(4,4,3 + )] (3*22) |
[(4,1 + ,4,3)] (*3232) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 h{6,4} t (4,4,3) |
h 2 {6,4} t 0,1 (4,4,3) |
{ 4,6} 1/2 ) t 1 (4,4,3 |
h 2 {6,4} t 1,2 (4,4,3) |
h{6,4} t 2 (4,4,3) |
r{6,4} 1/2 4,4,3 ) t 0,2 ( |
t{4,6} 1 / 2 t 0,1,2 (4,4,3) |
) s{4,6} 1/2 s (4,4,3 |
tim{4,6}1/2 tim(4,3,4) |
) h{4,6} 1/2 h (4,3,4 |
q{4,6} h 1 (4,3,4) |
| Uniforma dualer | ||||||||||
|
|
|
|
|||||||
| V(3.4) 4 | V3.8.4.8 | V(4.4) 3 | V3.8.4.8 | V(3.4) 4 | V4.6.4.6 | V6.8.8 | V3.3.3.4.3.4 | V(4.4.3) 2 | V6 6 | V4.3.4.6.6 |
| Enhetliga plattsättningar i symmetri *3222 | ||||
|---|---|---|---|---|
6 4 
|
 6.6.4.4.png)
|
 (3.4.4) 2 
|
4.3.4.3.3.3
|
|
6.6.4.4
|
6.4.4.4
|
3.4.4.4.4.png)
|
||
|
(3.4.4) 2
|
3.4.4.4.4
|
4 6 
|
||
Se även
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Kapitel 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
- "Kapitel 10: Vanliga bikakor i hyperboliskt utrymme". Geometrins skönhet: tolv essäer . Dover Publikationer. 1999. ISBN 0-486-40919-8 . LCCN 99035678 .
externa länkar
- Weisstein, Eric W. "Hyperbolisk plattsättning" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Poincaré hyperbolisk disk" . MathWorld .
- Hyperboliskt och sfäriskt kakelgalleri
- KaleidoTile 3: Utbildningsprogramvara för att skapa sfäriska, plana och hyperboliska plattsättningar
- Hyperboliska plana tessellations, Don Hatch
- GenusView 0.4 förhandsvisning Vy över {4,6} hyperbolisk plattsättning och matchande 3D-torusyta.
