Stationära steg

I sannolikhetsteorin sägs en stokastisk process ha stationära inkrement om dess förändring bara beror på observationens tidsintervall, men inte på den tidpunkt då observationen startade. Många stora familjer av stokastiska processer har stationära inkrement antingen per definition (t.ex. Lévy-processer ) eller genom konstruktion (t.ex. slumpmässiga promenader )

Definition

En stokastisk process $X=(X_{t})_{t\geq 0}$ har stationära steg om för alla $t\geq 0$ och $h>0$ , fördelningen av de slumpmässiga variablerna

Y_{t,h}:=X_{t+h}-X_{t}

beror bara på $h$ och inte på $t$ .

Exempel

Att ha stationära inkrement är en avgörande egenskap för många stora familjer av stokastiska processer som Lévy-processerna . Eftersom de är speciella Lévy-processer har både Wiener-processen och Poisson-processen stationära inkrement. Andra familjer av stokastiska processer som slumpmässiga promenader har stationära steg genom konstruktion.

Ett exempel på en stokastisk process med stationära inkrement som inte är en Lévy-process ges av $X=(X_{t})$ , där $X_{t}$ är oberoende och identiskt fördelade stokastiska variabler som följer en normalfördelning med medelvärde noll och varians ett. Då är inkrementen $Y_{t,h}$ oberoende av $t$ eftersom de har en normalfördelning med medelvärde noll och varians två. I detta speciella fall är inkrementen till och med oberoende av varaktigheten av observationen $h$ själv.

Generaliserad definition för komplexa indexuppsättningar

Konceptet med stationära inkrement kan generaliseras till stokastiska processer med mer komplexa indexuppsättningar $T$ . Låt $X=(X_{t})_{t\in T}$ vara en stokastisk process vars indexuppsättning $T\subset \mathbb {R}$ stängs med avseende på addition. Sedan har den stationära steg om för någon ${\displaystyle p,q,r\in T} ,$ de slumpmässiga variablerna

Y_{1}=X_{p+q+r}-X_{q+r}

och

Y_{2}=X_{p+r}-X_{r}

har identiska fördelningar. Om $0\in T$ är det tillräckligt att betrakta $r=0$ .

^ ^a ^b Klenke, Achim (2008). Sannolikhetsteori . Berlin: Springer. sid. 190. doi : 10.1007/978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6 .
^ Kallenberg, Olav (2002). Fundamenten för modern sannolikhet (2nd ed.). New York: Springer. sid. 290.

[Klenke190-1] Klenke, Achim (2008). Sannolikhetsteori . Berlin: Springer. sid. 190. doi : 10.1007/978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6 .

[Kallenberg290-2] Kallenberg, Olav (2002). Fundamenten för modern sannolikhet (2nd ed.). New York: Springer. sid. 290.