Vikt- t och halv- t fördelningar

I statistiken härleds de vikta- t- och halv- t- fördelningarna från Students t -fördelning genom att ta de absoluta värdena för variaterna. Detta är analogt med att de vikta normala och halvnormala statistiska fördelningarna härleds från normalfördelningen .

Definitioner

Den vikta icke-standardiserade t- fördelningen är fördelningen av det absoluta värdet av den icke-standardiserade t- fördelningen med $\nu$ frihetsgrader; dess sannolikhetstäthetsfunktion ges av:

$g\left(x\right)\;=\;{\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1 }{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right){\sqrt {\nu \pi \sigma ^{2}}}}}\left\ lbrace \left[1+{\frac {1}{\nu}}{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}\right]^{ -{\frac {\nu +1}{2}}}+\left[1+{\frac {1}{\nu }}{\frac {\left(x+\mu \right)^{2}} {\sigma ^{2}}}\right]^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\right\rbrace \qquad ({\mbox{for}}\quad x\geq 0)$ .

Halv - t- fördelningen resulterar som specialfallet $\mu =0$ och den standardiserade versionen som specialfallet $\sigma =1$ .

Om ${\displaystyle \mu =0} reduceras$ den vikta- t- fördelningen till specialfallet med halv- t -fördelningen. Dess sannolikhetstäthetsfunktion förenklas sedan till

$g\left(x \right)\;=\;{\frac {2\;\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu} {2}}\right){\sqrt {\nu \pi \sigma ^{2}}}}}\left(1+{\frac {1}{\nu}}{\frac {x^{2} }{\sigma ^{2}}}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\qquad ({\mbox{for}}\quad x\geq 0)$ .

Halv- t -fördelningens första två moment ( förväntning och varians ) ges av:

$\operatörsnamn {E} [X]\;=\;2\sigma {\sqrt {\frac {\nu }{\pi }}}{\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{\Gamma ({\frac {\nu }{ 2}})\,(\nu -1)}}\qquad {\mbox{for}}\quad \nu >1$ ,

och

$\operatornamn {Var } (X)\;=\;\sigma ^{2}\left({\frac {\nu }{\nu -2}}-{\frac {4\nu }{\pi (\nu -1) ^{2}}}\left({\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{\Gamma ({\frac {\nu}{2}})}}\ höger)^{2}\right)\qquad {\mbox{for}}\quad \nu >2$ .

Relation till andra distributioner

Fold- t och half- t generaliserar de vikta normal- och halvnormalfördelningarna genom att tillåta ändliga frihetsgrader (de normala analogerna utgör de begränsande fallen av oändliga frihetsgrader). Eftersom Cauchy-fördelningen utgör specialfallet av en Student- t- fördelning med en frihetsgrad, inkluderar familjerna av vikta och halv- t -fördelningar den vikta Cauchy-fördelningen och halv-Cauchy-fördelningen för $\nu =1$ .

Se även

• Vikt normalfördelning
• Halvnormalfördelning
• Modifierad halvnormalfördelning
• Halvlogistisk distribution

Vidare läsning

•   Psarakis, S.; Panaretos, J. (1990). "Den vikta t-fördelningen". Kommunikationer i statistik - teori och metoder . 19 (7): 2717–2734. doi : 10.1080/03610929008830342 . S2CID 121332770 .
• Gelman, A. (2006). "Tidigare distributioner för variansparametrar i hierarkiska modeller" . Bayesiansk analys . 1 (3): 515–534. doi : 10.1214/06-BA117A .
•    Röver, C.; Bender, R.; Dias, S.; Schmid, CH; Schmidli, H.; Sturtz, S.; Weber, S.; Friede, T. (2021), "On weakly informative prior distributions for the heterogeneity parameter in Bayesian random‐effects meta‐analysis", Research Synthesis Methods , 12 (4): 448–474, arXiv : 2007.08352 , doi : 10.102 .1475 , PMID 33486828 , S2CID 220546288
•   Torkare, MP; Girón, FJ; Pewsey, Arthur (2008). "Objektiv Bayesiansk slutledning för de halvnormala och halva-t-distributionerna". Kommunikationer i statistik - teori och metoder . 37 (20): 3165–3185. doi : 10.1080/03610920802105184 . S2CID 117937250 .
• Tancredi, A. (2002). "Redovisning för tunga svansar i stokastiska frontiermodeller" . Arbetspapper (7325). Università degli Studi di Padova. {{ citera journal }} : Citera journal kräver |journal= ( hjälp )

externa länkar

• Funktioner för att utvärdera halv- t- distributioner finns i flera R- paket, t.ex. [1] [2] [3] .