Stympad cuboctahedron

Trunkerad cuboctaedral graf
Trunkerad cuboctaedral graf
	4-faldig symmetri
Vertices	48
Kanter	72
Automorfismer	48
Kromatiskt nummer	2
Egenskaper	Kubisk , Hamiltonsk , regelbunden , nollsymmetrisk
	Tabell över grafer och parametrar

Trunkerad cuboctahedron
(Klicka här för roterande modell)
Typ	Arkimedesk solid Uniform polyeder
Element	F = 26, E = 72, V = 48 (χ = 2)
Ansikten vid sida	12{4}+8{6}+6{8}
Conway notation	bC eller taC
Schläfli symboler	tr{4,3} eller $t{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$
Schläfli symboler	t _0,1,2 {4,3}
Wythoff symbol	2 3 4 \|
Coxeter diagram
Symmetrigrupp	O _h , B ₃ , [4,3], (*432), ordning 48
Rotationsgrupp	O , [4,3] ⁺ , (432), ordning 24
Dihedral vinkel	4-6: arccos(− √6 / 3 ) = 144°44′08″ 4-8: arccos(− 1 / √2 ) = 135° 6-8: arccos(− √3 / 3 ) = 125°15 "51"
Referenser	U11 , C23 , W15 _{_}_{_}_{_}
Egenskaper	Halvregelbunden konvex zonohedron
Färgade ansikten	4.6.8 ( Vertex figur )
Disdyakis dodecahedron ( dubbel polyeder )	Netto

Inom geometrin är den trunkerade kuboktaedern en arkimedisk fast substans , namngiven av Kepler som en trunkering av en kuboktaeder . Den har 12 fyrkantiga ytor, 8 regelbundna sexkantiga ytor, 6 regelbundna åttakantiga ytor, 48 hörn och 72 kanter. Sedan var och en av dess vänder mot har peka symmetri (motsvarande 180° rotationssymmetri ), är den trunkerade kuboktaedern en 9 - zonohedron . Den stympade kuboktaedern kan tessellates med det åttakantiga prismat .

Namn

Namnet trunkerad cuboctahedron , som ursprungligen gavs av Johannes Kepler , är missvisande: en faktisk trunkering av en cuboctahedron har rektanglar istället för kvadrater ; emellertid är denna olikformiga polyeder topologiskt ekvivalent med den arkimediska fasta kroppskroppen som oriktigt benämnts trunkerade cuboctahedron.

Alternativa utbytbara namn är:

Stympad kuboktaeder ( Johannes Kepler ),
Rhombitruncated cuboctahedron ( Magnus Wenninger ),
Great rhombicuboctahedron ( Robert Williams ),
Stora rhombcuboctahedron (Peter Cromwell),
Omnitruncated kub eller cantitruncated kub ( Norman Johnson ),
Fasad kub ( Conway polyhedron notation ).

Cuboctahedron och dess trunkering

Det finns en icke-konvex enhetlig polyeder med ett liknande namn: den icke-konvexa stora rhombicuboctahedronen .

kartesiska koordinater

De kartesiska koordinaterna för hörn av en stympad kuboktaeder med kantlängd 2 och centrerad vid origo är alla permutationer av :

(±1, ±(1 + √ 2 ), ± (1 + 2 √ 2 )).

Yta och volym

Arean A och volymen V för den trunkerade kuboktaedern med kantlängd a är:

{\begin{aligned}A&=12\left(2+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}&&\approx 61.755\,1724~a^ {2},\\V&=\left(22+14{\sqrt {2}}\right)a^{3}&&\approx 41.798\,9899~a^{3}.\end{aligned}}

Dissektion

Den trunkerade kuboktaedern är det konvexa skrovet av en rhombicuboctahedron med kuber ovanför dess 12 rutor på 2-faldiga symmetriaxlar. Resten av dess utrymme kan dissekeras i 6 kvadratiska kupoler under oktagonerna och 8 triangulära kupoler under sexkanterna.

En dissekerad stympad kuboktaeder kan skapa ett släkte 5, 7 eller 11 Stewart toroid genom att ta bort den centrala rhombicuboctahedron, och antingen de 6 kvadratiska kupolerna, de 8 triangulära kupolerna respektive de 12 kuberna. Många andra toroider med lägre symmetri kan också konstrueras genom att ta bort den centrala rhombicuboctahedronen och en delmängd av de andra dissektionskomponenterna. Till exempel, att ta bort 4 av de triangulära kupolerna skapar en släkte 3 toroid; om dessa kupoler väljs på lämpligt sätt, har denna toroid tetraedrisk symmetri.

Stewart toroider
Genus 3	Genus 5	Genus 7	Genus 11

Enhetliga färger

Det finns bara en enhetlig färgning av ansiktena på denna polyeder, en färg för varje ansiktstyp.

En 2-likformig färgning, med tetraedrisk symmetri , finns med växelvis färgade hexagoner.

Ortogonala projektioner

Den trunkerade kuboktaedern har två speciella ortogonala projektioner i A ₂ och B ₂ Coxeter-planen med [6] och [8] projektiv symmetri, och många [2] symmetrier kan konstrueras från olika projicerade plan i förhållande till polyederelementen.

Ortogonala projektioner
Centrerad av	Vertex	Kant 4-6	Kant 4-8	Kant 6-8	Face normal 4-6
Bild
Projektiv symmetri	[2] ⁺	[2]	[2]	[2]	[2]
Centrerad av	Möta normal fyrkant	Möta normal Octagon	Face Square	Ansikte Hexagon	Face Octagon
Bild
Projektiv symmetri	[2]	[2]	[2]	[6]	[4]

Sfärisk plattsättning

Den stympade kuboktaedern kan också representeras som en sfärisk plattsättning och projiceras på planet via en stereografisk projektion . Denna projektion är konform och bevarar vinklar men inte ytor eller längder. Raka linjer på sfären projiceras som cirkelbågar på planet.

Ortogonal projektion	kvadratiskt centrerad	hexagon -centrerad	oktagoncentrerad _

Ortogonal projektion	Stereografiska projektioner

Hel oktaedrisk grupp

Liksom många andra fasta ämnen har den trunkerade oktaedern full oktaedrisk symmetri - men dess förhållande till den fullständiga oktaedriska gruppen är närmare än så: Dess 48 hörn motsvarar elementen i gruppen, och varje sida av dess dual är en grundläggande domän för gruppen.

Bilden till höger visar de 48 permutationerna i gruppen som tillämpas på ett exempelobjekt (nämligen den lätta JF-föreningen till vänster). De 24 ljusa elementen är rotationer och de mörka är deras reflektioner.

Kanterna på det fasta materialet motsvarar de 9 reflektionerna i gruppen:

De mellan oktagoner och kvadrater motsvarar de 3 reflektionerna mellan motsatta oktagoner.
Hexagonkanter motsvarar de 6 reflektionerna mellan motsatta kvadrater.
(Det finns inga reflektioner mellan motsatta hexagoner.)

Undergrupperna motsvarar fasta ämnen som delar respektive hörn av den trunkerade oktaedern. T.ex. motsvarar de 3 undergrupperna med 24 element en olikformig kub med kiral oktaedrisk symmetri, en olikformig rhombicuboctahedron med pyritohedrisk symmetri (den cantic snub oktaedern ) och en olikformig trunkerad oktaeder med full tetraedrisk symmetri . Den unika undergruppen med 12 element är den alternerande gruppen A ₄ . Det motsvarar en olikformig ikosaeder med kiral tetraedrisk symmetri .

Undergrupper och motsvarande fasta ämnen
Stympad cuboctahedron tr{4,3}	Snub kub sr{4,3}	Rhombicuboctahedron s ₂ {3,4}	Trunkerad oktaeder h _1,2 {4,3}	Icosahedron
[4,3] Hel oktaedrisk	[4,3] ⁺ Kiral oktaedral	[4,3 ⁺ ] Pyritohedral	[1 ⁺ ,4,3] = [3,3] Full tetraedrisk	[1 ⁺ ,4,3 ⁺ ] = [3,3] ⁺ Kiral tetraedrisk

alla 48 hörn	24 hörn			12 hörn

Besläktade polyedrar


Bowtie tetraeder och kub innehåller två trapetsformade ytor i stället för varje kvadrat.

Den trunkerade kuboktaedern är en av en familj av enhetliga polyedrar som är relaterade till kuben och den vanliga oktaedern.

Uniforma oktaedriska polyedrar
Symmetri : [4,3], (*432)							[4,3] ⁺ (432)	[1 ⁺ ,4,3] = [3,3] (*332)		[3 ⁺ ,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{3 ^1,1 }	t{3,4} t{3 ^1,1 }	{3,4} {3 ^1,1 }	rr{4,3} s ₂ {3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h ₂ {4,3} t{3,3}	s{3,4} s{3 ^1,1 }

		=	=	=				= eller	= eller	=

Dual till enhetliga polyedrar
V4 ³	V3.8 ²	V(3.4) ²	V4.6 ²	V3 ⁴	V3.4 ³	V4.6.8	V3 ⁴ .4	V3 ³	V3.6 ²	V3 ⁵

Denna polyeder kan betraktas som en medlem av en sekvens av enhetliga mönster med vertexkonfiguration (4.6.2 p ) och Coxeter-Dynkin-diagram . För p < 6 är medlemmarna i sekvensen omnitrunkerade polyedrar ( zonohedron ), som visas nedan som sfäriska plattsättningar. För p < 6 är de plattsättningar av det hyperboliska planet, som börjar med den trunkerade triheptagonala plattsättningen .

* n 32 symmetrimutation av omnitrunkerade plattsättningar: 4.6.2n
Sym. * n 32 [ n ,3]	Sfärisk				Euklid.	Kompakt hyperb.		Paraco.	Icke-kompakt hyperbolisk
Sym. * n 32 [ n ,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]	[3i,3]
Siffror
Konfig.	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12	4.6.14	4.6.16	4.6.∞	4.6.24i	4.6.18i	4.6.12i	4.6.6i
Dualer
Konfig.	V4.6.4	V4.6.6	V4.6.8	V4.6.10	V4.6.12	V4.6.14	V4.6.16	V4.6.∞	V4.6.24i	V4.6.18i	V4.6.12i	V4.6.6i

* n 42 symmetrimutation av omnitrunkerade plattsättningar: 4.8.2n
Symmetri * n 42 [n,4]	Sfärisk		euklidisk	Kompakt hyperbolisk				Paracomp.
Symmetri * n 42 [n,4]	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Omnitruncerad figur	4.8.4	4.8.6	4.8.8	4.8.10	4.8.12	4.8.14	4.8.16	4.8.∞
Omnitruncerade dualer	V4.8.4	V4.8.6	V4.8.8	V4.8.10	V4.8.12	V4.8.14	V4.8.16	V4.8.∞

* n 32 symmetrimutation av omnitrunkerade plattsättningar: 6.8.2n
Sym. * n 43 [( n ,4,3)]	Sfärisk	Kompakt hyperbolisk						Paraco.
Sym. * n 43 [( n ,4,3)]	*243 [4,3]	*343 [(3,4,3)]	*443 [(4,4,3)]	*543 [(5,4,3)]	*643 [(6,4,3)]	*743 [(7,4,3)]	*843 [(8,4,3)]	*∞43 [(∞,4,3)]
Siffror
Konfig.	4.8.6	6.8.6	8.8.6	10.8.6	12.8.6	14.8.6	16.8.6	∞.8.6
Dualer
Konfig.	V4.8.6	V6.8.6	V8.8.6	V10.8.6	V12.8.6	V14.8.6	V16.8.6	V6.8.∞

Det är först i en serie av cantitruncerade hyperkuber:

Petrie polygonprojektioner

Stympad cuboctahedron	Cantitruncated tesseract	Cantitruncerad 5-kub	Cantitruncerad 6-kub	Cantitruncerad 7-kub	Cantitruncerad 8-kub

Trunkerad cuboctaedral graf

Inom det matematiska fältet av grafteorin är en trunkerad kuboktaedrisk graf (eller stor rhombcuboctahedral graf ) grafen över hörn och kanter av den trunkerade kuboktaedern, en av arkimedeiska fasta ämnen . Den har 48 hörn och 72 kanter och är en nollsymmetrisk och kubisk arkimedeansk graf .