Icke-central chi-distribution

Icke-central chi

Parametrar	$k>0\,$ frihetsgrader $\lambda >0\,$
Stöd	$x\in [0;+\infty )\,$
PDF	${\frac {e^{-(x^{2}+\ lambda ^{2})/2}x^{k}\lambda }{(\lambda x)^{k/2}}}I_{k/2-1}(\lambda x)$
CDF	$1-Q_{\frac {k}{2}}\left(\lambda ,x\right)$ med Marcum Q-funktion ${ \displaystyle Q_{M}(a,b)}$
Betyda	${\sqrt {\frac {\pi }{2}}}L_{1/2}^{(k/2- 1)}\left({\frac {-\lambda ^{2}}{2}}\right)\,$
Variation	$k+\lambda ^{2}-\mu ^{2}$ , där $\mu$ är medelvärdet

I sannolikhetsteori och statistik är den icke-centrala chi-fördelningen en icke-central generalisering av chi-fördelningen . Det är också känt som den generaliserade Rayleigh-fördelningen.

Definition

Om $X_{i}$ är k oberoende, normalfördelade slumpvariabler med medel $\mu _{i}$ och varianser $\sigma _{i}^{2 }$ , sedan statistiken

$Z={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\höger)^{2}}}$

fördelas enligt den icke-centrala chi-fördelningen. Den icke-centrala chi-fördelningen har två parametrar: $k$ som anger antalet frihetsgrader (dvs antalet $X_{i}$ ), och $\lambda$ som är relaterad till medelvärdet av de slumpmässiga variablerna $X_{i}$ med:

$\lambda ={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {\mu _{i}} {\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$

Egenskaper

Sannolikhetstäthetsfunktion

Sannolikhetstäthetsfunktionen (pdf) är

$f(x;k,\ lambda )={\frac {e^{-(x^{2}+\lambda ^{2})/2}x^{k}\lambda}{(\lambda x)^{k/2}}} I_{k/2-1}(\lambda x)$

där $I_{\nu }(z)$ är en modifierad Bessel-funktion av det första slaget.

Råa ögonblick

De första råa ögonblicken är:

$\mu _{1}^{'}={\sqrt {\frac {\pi }{2} }}L_{1/2}^{(k/2-1)}\left({\frac {-\lambda ^{2}}{2}}\right)$

$k+\lambda ^{2}}$

${ \displaystyle \$

$\mu _{3}^{'}=3{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}L_{3/2}^{(k/2-1)}\left({\frac {-\ lambda ^{2}}{2}}\right)$

$\mu _{4}^{'}=(k+ \lambda ^{2})^{2}+2(k+2\lambda ^{2})$

där $L_{n}^{(a)}(z)$ är en Laguerre-funktion . Observera att det 2 ${\displaystyle n}:$ e momentet är detsamma som det ${\displaystyle n}:$ e momentet för den icke-centrala chi-kvadratfördelningen med $\lambda$ ersatt med $\lambda ^{2}$ .

Bivariat icke-central chi-fördelning

Låt $X_{j}=(X_{1j},X_{2j}),j=1,2,\dots n$ , vara en uppsättning av n oberoende och identiskt fördelade bivariata normala slumpmässiga vektorer med marginalfördelningar $N(\mu _{i},\sigma _{ i}^{2}),i=1,2$ , korrelation $\rho$ , och medelvektor och kovariansmatris

$_ \displaystyle E(X_{j})=\mu =(\mu _{1},\mu _{2})^{T},\qquad \Sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{11} &\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}^{2}&\rho \sigma _{1}\sigma _{2}\\\rho \sigma _{1}\sigma _{2}&\sigma _{2}^{2}\end{bmatrix}},}$

med $\Sigma$ positiv definit . Definiera

$U=\left[\sum _{j=1}^{n}{\frac {X_{1j}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}\right]^ {1/2},\qquad V=\left[\sum _{j=1}^{n}{\frac {X_{2j}^{2}}{\sigma _{2}^{2}} }\right]^{1/2}.$

Då är den gemensamma fördelningen av U , V central eller icke-central bivariat chi-fördelning med n frihetsgrader . Om endera eller båda $\mu _{1}\neq 0$ eller $\mu _{2}\neq 0$ är fördelningen en icke-central bivariat chi-fördelning.

Relaterade distributioner

• Om $X$ är en slumpmässig variabel med den icke-centrala chi-fördelningen, kommer den slumpmässiga variabeln $X^{2}$ att ha den icke-centrala chi-kvadratfördelningen . Andra relaterade distributioner kan ses där.
• Om $X$ är chi- fördelad: $X\sim \chi _{k}$ så är $X$ också icke-central chi-fördelad: $X\sim NC\chi _{k}(0)$ . Med andra ord chi-fördelningen ett specialfall av den icke-centrala chi-fördelningen (dvs. med en icke-centralitetsparameter på noll).
• En icke-central chi-fördelning med 2 frihetsgrader motsvarar en risfördelning med $\sigma =1$ .
• Om X följer en icke-central chi-fördelning med 1 frihetsgrad och icke-centralitetsparameter λ, så följer σ X en vikt normalfördelning vars parametrar är lika med σλ och σ ² för vilket värde som helst på σ.