Marcum Q-funktion

I statistik definieras den generaliserade Marcum Q-funktionen av ordningen ${\displaystyle \nu } som$

$Q_{\nu }(a, b)={\frac {1}{a^{\nu -1}}}\int _{b}^{\infty }x^{\nu}\exp \left(-{\frac {x^{ 2}+a^{2}}{2}}\right)I_{\nu -1}(ax)\,dx$

där $b\geq 0$ och $a,\nu >0$ och $I_{\nu -1}$ är den modifierade Bessel-funktionen av första slag av ordningen $\nu -1$ . Om $b>0$ konvergerar integralen för valfri $\nu$ . Marcum Q-funktionen förekommer som en kompletterande kumulativ distributionsfunktion för icke-centrala chi- , icke-centrala chi-kvadrat- och risdistributioner . Inom tekniken förekommer denna funktion i studiet av radarsystem, kommunikationssystem, kösystem och signalbehandling. Denna funktion studerades först för ${\displaystyle \nu =1} ,$ och uppkallades därför efter, av Jess Marcum för pulserade radarer.

Egenskaper

Finit integrerad representation

Den generaliserade Marcum Q-funktionen kan alternativt definieras som en finit integral som

$Q_{\nu }(a,b)=1-{\frac {1}{a^{\nu -1}}}\int _{0}^{b}x^{\nu }\ exp \left(-{\frac {x^{2}+a^{2}}{2}}\right)I_{\nu -1}(ax)\,dx.$

Det är dock att föredra att ha en integralrepresentation av Marcum Q-funktionen så att (i) gränserna för integralen är oberoende av funktionens argument, (ii) och att gränserna är ändliga, (iii) och att integrand är en Gaussisk funktion av dessa argument. För positivt integralvärde av $\nu =n$ ges en sådan representation av den trigonometriska integralen

$Q_{n}(a,b)=\left\{{\begin{array}{lr}H_{n}(a,b)&a<b,\\{\frac {1}{2}}+H_ {n}(a,a)&a=b,\\1+H_{n}(a,b)&a>b,\end{array}}\right.$

var

$H_{n}(a,b)={\frac {\zeta ^{1-n}}{2\pi }}\exp \left (-{\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}\right)\int _{0}^{2\pi }{\frac {\cos(n-1)\theta -\zeta \cos n\theta }{1-2\zeta \cos \theta +\zeta ^{2}}}\exp(ab\cos \theta )\mathrm {d} \theta ,$

och förhållandet $\zeta =a/b$ är en konstant.

För varje reell $\nu >0$ ges en sådan finit trigonometrisk integral av

$Q_{\nu }(a,b)=\left\{{\begin{array}{lr}H_{ \nu }(a,b)+C_{\nu }(a,b)&a<b,\\{\frac {1}{2}}+H_{\nu }(a,a)+C_{\ nu }(a,b)&a=b,\\1+H_{\nu }(a,b)+C_{\nu }(a,b)&a>b,\end{array}}\right.$

där $H_{n}(a,b)$ är som definierats tidigare, $\zeta =a/b$ , och den ytterligare korrigeringstermen ges av

$C_{\nu }(a,b)={\frac {\sin(\nu \pi )}{\pi }}\exp \left(-{\frac {a^{2}+b^ {2}}{2}}\right)\int _{0}^{1}{\frac {(x/\zeta )^{\nu -1}}{\zeta +x}}\exp \left [-{\frac {ab}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right]\mathrm {d} x.$

För heltalsvärden för ${\displaystyle \nu } tenderar$ korrigeringstermen $C_{\nu }(a,b)$ att försvinna.

Monotonicitet och stockkonkavitet

• Den generaliserade Marcum Q-funktionen $Q_{\nu }(a,b)$ ökar strikt i $\nu$ och $a$ för alla ${ \displaystyle a\geq 0}$ och $b,\nu >0$ , och minskar strikt i $b$ för alla $a,b\geq 0$ och $\nu >0.$

• Funktionen $\nu \mapsto Q_{\nu }(a,b)$ är log-konkav på $[1,\infty )$ för alla $a,b\geq 0.$

• Funktionen $b\mapsto Q_ {\nu }(a,b)$ är strikt logkonkav på $(0,\infty )$ för alla $a\geq 0$ och $\ nu >1$ , vilket innebär att den generaliserade Marcum Q-funktionen uppfyller egenskapen new-is-bättre-än-använd.

• Funktionen $a\mapsto 1-Q_{\nu }(a,b)$ är log-konkav på $[0,\infty )$ för alla $b,\nu >0.$

Serierepresentation

• Den generaliserade Marcum Q-funktionen av ordningen $\nu >0$ kan representeras med ofullständig gammafunktion som

${\displaystyle Q_{\nu }(a,b)=1-e^{-a^{2}/2 }\summa _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}{\frac {\gamma (\nu +k,{\frac {b^{2}}{2} })}{\Gamma (\nu +k)}}\left({\frac {a^{2}}{2}}\right)^{k},} där γ$

( $displaystyle \gamma (s,x)}$ är den lägre ofullständiga gammafunktionen . Detta brukar kallas den kanoniska representationen av den $\nu$ -th ordningens generaliserade Marcum Q-funktion.

• Den generaliserade Marcum Q-funktionen av ordningen $\nu >0$ kan också representeras med hjälp av generaliserade Laguerre-polynom som

$Q_{\nu }(a,b)=1-e^{- a^{2}/2}\summa _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {L_{k}^{(\nu -1)}({\frac {a^{2}}{2}})}{\Gamma (\nu +k+1)}}\left({\frac {b^{2}}{2}}\right)^{k+\ nu },$

där $L_{k}^{(\alpha )}(\cdot )$ är det generaliserade Laguerrepolynomet av grad $k$ och av ordningen ${ \displaystyle \alpha }$ .

• Den generaliserade Marcum Q-funktionen av ordningen $\nu >0$ kan också representeras som Neumann-seriens expansioner

$Q_{\nu }(a,b)=e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\ summa _{\alpha =1-\nu }^{\infty }\left({\frac {a}{b}}\right)^{\alpha }I_{-\alpha }(ab),$

$1-Q_{\nu }(a,b )=e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\sum _{\alpha =\nu }^{\infty }\left({\frac {b}{a}} \right)^{\alpha }I_{\alpha }(ab),$

där summeringarna är i steg om ett. Observera att när $\alpha$ antar ett heltalsvärde, har vi $I_{\alpha }(ab)=I_{-\alpha }( ab)$ .

${\displaystyle Q_{n+1/2}(a,b)={\frac {1}{2}}\left[$

• har vi ett slutet formuttryck för den generaliserade Marcum Q- icke-negativa halvheltalsvärden $\nu =n+1/2$

där $\mathrm {erfc} (\cdot )$ är den komplementära felfunktionen . Eftersom Bessel-funktioner med halvheltalsparameter har finita summautvidgningar som

${\displaystyle I_{\pm (n+0.5)}(z)={\frac {1}{ \sqrt {\pi }}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n+k)!}{k!(nk)!}}\left[{\frac {(-1 )^{k}e^{z}\mp (-1)^{n}e^{-z}}{(2z)^{k+0.5}}}\höger],} där n {$

\ $n }$ är icke-negativt heltal, kan vi exakt representera den generaliserade Marcum Q-funktionen med halvheltalsparameter. Mer exakt har vi

$Q_{n+1/2 }(a,b)=Q(ba)+Q(b+a)+{\frac {1}{b{\sqrt {2\pi }}}}\summa _{i=1}^{n} \left({\frac {b}{a}}\right)^{i}\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {(i+k-1)!}{k! (ik-1)!}}\vänster[{\frac {(-1)^{k}e^{-(ab)^{2}/2}+(-1)^{i}e^{- (a+b)^{2}/2}}{(2ab)^{k}}}\right],$

för icke-negativa heltal $n$ , där $Q( \cdot )$ är den Gaussiska Q-funktionen .

Återkommande relation och genererande funktion

• Genom att integrera med delar kan vi visa att generaliserad Marcum Q-funktion uppfyller följande återfallsrelation

$Q_{\nu +1}(a,b)-Q_{\nu }(a,b)=\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu }e^ {-(a^{2}+b^{2})/2}I_{\nu }(ab).$

• Formeln ovan är lätt att generalisera som

$Q_{\nu -n}(a ,b)=Q_{\nu }(a,b)-\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu}e^{-(a^{2}+b^{ 2})/2}\summa _{k=1}^{n}\left({\frac {a}{b}}\right)^{k}I_{\nu -k}(ab),$

$Q_{\nu +n}(a,b)=Q_{\nu }(a,b)+\left({\frac {b}{a}}\right)^{\ nu }e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\summa _{k=0}^{n-1}\left({\frac {b}{a}}\ höger)^{k}I_{\nu +k}(ab),$

för positivt heltal $n$ . Det tidigare återkommande kan användas för att formellt definiera den generaliserade Marcum Q-funktionen för negativ $\nu$ . Med $Q_{\infty }(a,b)=1$ och $Q_{-\infty }(a,b) =0$ för $n=\infty$ , får vi Neumann-seriens representation av den generaliserade Marcum Q-funktionen.

• Den relaterade tretermsrecidivrelationen ges av

$Q_{\nu +1}(a,b)-(1+c_{\nu }(a,b))Q_{\nu }(a,b)+c_{ \nu }(a,b)Q_{\nu -1}(a,b)=0,$

där

$c_{\nu }(a,b)=\left({\frac {b}{a}}\right){\frac {I_{\nu}(ab)}{I_{\nu +1 }(ab)}}.$

Vi kan eliminera förekomsten av Bessel-funktionen för att ge tredje ordningens upprepningsrelation

${\frac {a^{2}}{2}}Q_{\nu +2}(a,b)=\left({\frac {a^{2}}{2}}-\nu \right)Q_{\nu +1}(a,b)+\left({\frac {b^{2}}{2}}+\nu \right)Q_{\nu}(a,b)- {\frac {b^{2}}{2}}Q_{\nu -1}(a,b).$

• Ett annat återkommande samband, som relaterar det med dess derivator, ges av

$Q_{\nu +1}(a,b)=Q_{\nu }(a,b)+{ \frac {1}{a}}{\frac {\partial }{\partial a}}Q_{\nu }(a,b),$

$Q_{\nu -1}(a,b)=Q_{\nu }(a,b)+{\frac {1}{b}}{\frac {\partial }{\partial b}} Q_{\nu }(a,b).$

• Den vanliga genereringsfunktionen för $Q_{\nu }(a,b)$ för integralen $\nu$ är

$\sum _{ n=-\infty }^{\infty }t^{n}Q_{n}(a,b)=e^{-(a^{2}+b^{2})/2}{\frac { t}{1-t}}e^{(b^{2}t+a^{2}/t)/2},$

där $|t|<1.$

Symmetriförhållande

• Med hjälp av de två Neumann-serierepresentationerna kan vi erhålla följande symmetrirelation för positiv integral $\nu =n$

$Q_{n}(a,b)+Q_{n}(b,a)=1+e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\left[I_{ 0}(ab)+\summa _{k=1}^{n-1}{\frac {a^{2k}+b^{2k}}{(ab)^{k}}}I_{k} (ab)\right].$

Speciellt för $n=1$ har vi

$Q_{1}(a,b)+Q_{1}(b,a)=1+e^{-(a^{2}+b^{2})/2}I_{0}( ab).$

Särskilda värden

Några specifika värden för Marcum-Q-funktionen är

• $Q_{\nu }(0,0)=1,$
• $Q_{\nu }(a,0)=1,$
• $Q_{\nu }(a,+\infty )=0,$
• $Q_{\nu }(0,b)={\frac {\Gamma (\nu,b^{2} /2)}{\Gamma (\nu )}},$
• $Q_{\nu }(+\infty ,b)=1,$
• $Q_{\infty }(a,b)=1,$
• För $a=b$ , genom att subtrahera de två formerna av Neumann-serierepresentationer, har vi

$Q_{1}(a,a)={\frac {1}{2}}[1+ e^{-a^{2}}I_{0}(a^{2})],$

som i kombination med den rekursiva formeln ger

$Q_{n}(a,a)={\frac {1}{2}}[1+ e^{-a^{2}}I_{0}(a^{2})]+e^{-a^{2}}\summa _{k=1}^{n-1}I_{k }(a^{2}),$

$Q_{-n}(a,a)={\frac {1}{2}}[1+e^{-a^{2}}I_{0}(a^{2})] -e^{-a^{2}}\summa _{k=1}^{n}I_{k}(a^{2}),$

för alla icke-negativa heltal $n$ .

• med den grundläggande integraldefinitionen av generaliserad Marcum Q-funktion, har För $\displaystyle \nu =1/2}$

$({\frac {b+a}{\sqrt {2}}}\right)\right].} För$

${\displaystyle Q_{1/2}(a,b)={\frac {1}{2}}\left[\mathrm {erfc} \left({\frac {ba}{\sqrt {2}}} \right)$

• ν $\displaystyle \nu =3/ 2$ har

$+b^{2})/2}.}$

${\displaystyle Q_{3/2}(a,b)=Q_{1/2}(a,b)+{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\frac {\sinh (ab)}{a}}e^{-(a^$

• $\displaystyle \nu =5/2}$ ν har vi

$Q_{5/2}(a,b)=Q_{3/2}(a,b)+{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\frac {ab\ cosh(ab)-\sinh(ab)}{a^{3}}}e^{-(a^{2}+b^{2})/2}.$

Asymptotiska former

• Om du antar att $\nu$ är fixerad och $ab$ stor, låt $\zeta =a/b>0$ , då har den generaliserade Marcum-Q-funktionen efter asymptotisk form

$Q_{\nu }(a,b)\sim \sum _{n=0}^{\infty }\psi _{ n},$

där $_{n}}$ ges av

${\displaystyle \psi _{n}={\frac {1}{2\zeta ^{\nu }{\sqrt {2\pi }}}}(-1)^{n}\left[A_{n }(\nu -1)-\zeta A_{n}(\nu )\right]\phi _{n}.} Funktionerna$

ϕ $\displaystyle \phi _{n}}$ och $A_ {n}$ ges av

$\phi _{n} =\vänster[{\frac {(ba)^{2}}{2ab}}\höger]^{n-{\frac {1}{2}}}\Gamma \left({\frac {1}{ 2}}-n,{\frac {(ba)^{2}}{2}}\right),$

$A_{n}(\nu )={\frac {2^{-n}\Gamma ({\frac {1}{2}}+\nu +n)}{n!\Gamma ({\ frac {1}{2}}+\nu -n)}}.$

Funktionen $A_{n}(\nu )$ uppfyller rekursionen

$A_{n+1}(\nu )=-{\frac {(2n+1)^{2} -4\nu ^{2}}{8(n+1)}}A_{n}(\nu),$

för $n\geq 0$ och $A_{0}(\nu )=1.$

• I den första termen av ovanstående asymptotiska approximation har vi

$\phi _{0}={\frac {\sqrt {2\pi ab}}{ba}}\mathrm {erfc} \left({\frac {ba}{\sqrt {2}}}\ höger).$

Därför, om vi antar $b>a$ , är den första termen asymptotiska approximationen av den generaliserade Marcum-Q-funktionen

$Q_{\nu }(a,b)\sim \psi _{0}=\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu -{ \frac {1}{2}}}Q(ba),$

där $Q(\cdot )$ är den Gaussiska Q-funktionen . Här $Q_{\nu }(a,b)\sim 0,5$ som $a\uparrow b.$

För fallet när $a>b$ , har vi

$Q_{\nu }(a,b)\sim 1-\psi _{0}=1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu -{\frac {1}{2}}}Q(ab).$

Även här $Q_{\nu }(a,b)\sim 0.5$ som $a\downarrow b.$

Differentiering

• Den partiella derivatan av $Q_{\nu }(a,b)$ med avseende på $a$ och $b$ ges av

${\frac {\partial }{\partial a}}Q_{\nu }(a,b)=a\left[Q_{\nu +1}(a,b)-Q_{\nu}( a,b)\right]=a\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu }e^{-(a^{2}+b^{2})/2} I_{\nu }(ab),$

${\frac {\partial }{\partial b}}Q_{\nu }(a,b)=b\left[Q_{\nu -1}(a,b)-Q_{\nu}( a,b)\right]=-b\left({\frac {b}{a}}\right)^{\nu -1}e^{-(a^{2}+b^{2}) /2}I_{\nu -1}(ab).$

Vi kan relatera de två partiella derivatorna som

${\displaystyle {\frac {1}{a}}{\frac {\partial }{\partial a}}Q_{\nu }(a,b)+{\frac {1}{b}} {\frac {\partial }{\partial b}}Q_{\nu +1}(a,b)=0.} Den n-te partiella$

• derivatan av Q $\displaystyle Q_{\nu }(a,b)}$ med avseende på dess argument ges av

${\frac {\partial ^{n}}{\partial a^{n}} }Q_{\nu }(a,b)=n!(-a)^{n}\summa _{k=0}^{[n/2]}{\frac {(-2a^{2}) ^{-k}}{k!(n-2k)!}}\summa _{p=0}^{nk}(-1)^{p}{\binom {nk}{p}}Q_{\ nu +p}(a,b),$

${\frac {\partial ^{n}}{\partial b^{n}}}Q_{\nu }(a,b)={\frac {n!a^{1-\nu }} {2^{n}b^{n-\nu +1}}}e^{-(a^{2}+b^{2})/2}\summa _{k=[n/2]} ^{n}{\frac {(-2b^{2})^{k}}{(nk)!(2k-n)!}}\summa _{p=0}^{k-1}{\ binom {k-1}{p}}\left(-{\frac {a}{b}}\right)^{p}I_{\nu -p-1}(ab).$

Ojämlikheter

• Den generaliserade Marcum-Q-funktionen uppfyller en Turán-typ olikhet

${\displaystyle Q_{\nu }^{2}(a,b)>{\frac {Q_{\nu -1}(a,b)+Q_{\nu + 1}(a,b)}{2}}>Q_{\nu -1}(a,b)Q_{\nu +1}(a,b)} för alla a ≥ b >$

{ $geq b>0}$ och $\nu >1$ .

Gräns

Baserat på monotoni och log-konkavitet

Olika övre och nedre gränser för generaliserad Marcum-Q-funktion kan erhållas med monotoni och log-konkavitet för funktionen $\nu \mapsto Q_{\nu }(a,b)$ och det faktum att vi har stängt formuttryck för $Q_{\nu }(a,b)$ när $\nu$ har ett halvt heltal.

Låt $\lfloor x\rfloor _{0.5}$ och $\lceil x\rceil _{0.5}$ beteckna paret av halvheltals avrundningsoperatorer som mappar ett riktigt $x$ till närmaste vänster respektive höger halvudda heltal, enligt relationerna

$x-0.5\rfloor +0.5}$

$\$

där $\lfloor x\rfloor$ och $\lceil x\rceil$ betecknar heltalsgolv- och takfunktionerna.

• Monotoniciteten för funktionen $\nu \mapsto Q_{\nu }(a,b)$ för alla $a\geq 0$ och $b>0$ ger oss följande enkla bundna

$Q_{\lfloor \nu \rfloor _{0.5}}(a,b)<Q_{\nu}(a,b)<Q_{\lceil \nu \rceil _{0.5}}(a,b) ).$

Det relativa felet för denna gräns tenderar dock inte till noll när $b\to \infty$ integralvärden på $\nu =n$ reduceras denna gräns till

.

${\displaystyle Q_{n-0.5}(a,b)<Q_{n}(a,b)<Q_{n+0.5}(a,b).} En mycket bra approximation av den generaliserade Marcum Q-funktionen$

för heltal med värde $\nu =n$ erhålls genom att ta det aritmetiska medelvärdet av den övre och nedre gränsen

${\displaystyle Q_{n}(a,b)\approx {\frac {Q_{n-0.5}(a,b)+Q_{n+0.5}(a,b)}{2}}.} En$

• tighter bunden kan erhållas genom att utnyttja log-konkaviteten för $\nu \mapsto Q_{\nu }(a,b)$ på $[1, \infty )$ som

${\displaystyle Q_{\nu _{1}}(a,b)^{\nu _{2}-v}Q_{\nu _ {2}}(a,b)^{v-\nu _{1}}<Q_{\nu}(a,b)<{\frac {Q_{\nu _{2}}(a,b) ^{\nu _{2}-\nu +1}}{Q_{\nu _{2}+1}(a,b)^{\nu _{2}-\nu }}},$

där $\nu _{1}=\lgolv \nu \rgolv _{0,5}$ och $\nu _{2}=\lceil \nu \ rceil _{0.5}$ för $\nu \geq 1.5$ . Tätheten för denna gräns förbättras när antingen $a$ eller $\nu$ ökar. Det relativa felet för denna gräns konvergerar till 0 som $b\to \infty$ . För integralvärden för $nu =n}$ reduceras denna gräns till

${\sqrt {Q_{n-0.5}(a,b)Q_{n+0.5}(a,b)}}<Q_{n}(a,b)<Q_{n+0.5}(a ,b){\sqrt {\frac {Q_{n+0.5}(a,b)}{Q_{n+1.5}(a,b)}}}.$

Cauchy-Schwarz bunden

Genom att använda den trigonometriska integralrepresentationen för heltal med värde $\nu =n$ , kan följande Cauchy-Schwarz-gräns erhållas

$e^{-b^{2}/2}\leq Q_{n}(a,b)\leq \exp \left[-{\frac {1} {2}}(b^{2}+a^{2})\right]{\sqrt {I_{0}(2ab)}}{\sqrt {{\frac {2n-1}{2}}+ {\frac {\zeta ^{2(1-n)}}{2(1-\zeta ^{2})}}}},\qquad \zeta <1,$

$1-Q_{n}( a,b)\leq \exp \left[-{\frac {1}{2}}(b^{2}+a^{2})\right]{\sqrt {I_{0}(2ab)} }{\sqrt {\frac {\zeta ^{2(1-n)}}{2(\zeta ^{2}-1)}}},\qquad \zeta >1,$

där $\zeta =a/b>0$ .

Exponentialtypgränser

För analytiska ändamål är det ofta användbart att ha gränser i enkel exponentiell form, även om de kanske inte är de snävaste gränserna som kan uppnås. Genom att låta $\zeta =a/b>0$ ges en sådan gräns för heltal värderat ${\displaystyle \nu =n} som$

$(a,b) \leq e^{-(ba)^{2}/2}+{\frac {\zeta ^{1-n}-1}{\pi (1-\zeta )}}\left[e^{- (ba)^{2}/2}-e^{-(b+a)^{2}/2}\right],\qquad \zeta <1,}$

$Q_{n}(a,b)\geq 1-{\frac {1 }{2}}\left[e^{-(ab)^{2}/2}-e^{-(a+b)^{2}/2}\right],\qquad \zeta >1.$

När $n=1$ förenklas gränsen att ge

$e^{-(b+a)^{2} /2}\leq Q_{1}(a,b)\leq e^{-(ba)^{2}/2},\qquad \zeta <1,$

$1-{\frac {1}{2}}\left[e^{ -(ab)^{2}/2}-e^{-(a+b)^{2}/2}\right]\leq Q_{1}(a,b),\qquad \zeta >1.$

En annan sådan gräns erhållen via Cauchy-Schwarz olikhet ges som

$e^{-b^{2}/2}\leq Q_{n}(a,b)\leq {\frac {1}{2 }}{\sqrt {{\frac {2n-1}{2}}+{\frac {\zeta ^{2(1-n)}}{2(1-\zeta ^{2})}}} }\left[e^{-(ba)^{2}/2}+e^{-(b+a)^{2}/2}\right],\qquad \zeta <1$

$Q_{n}(a,b)\geq 1-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\zeta ^{2(1-n)}}{2(\zeta ^{2}-1)}}}\vänster[e^{-(ba)^{2}/2}+e^{-(b+a)^{2}/2}\right],\qquad \zeta >1.$

bunden av Chernoff-typ

Gränser av Chernoff-typ för den generaliserade Marcum Q-funktionen, där $\nu =n$ är ett heltal, ges av

$(1-2\lambda )^{-n}\exp \left(-\lambda b^{2}+{\frac {\lambda na^{2}}{1-2\lambda }}\right)\geq \left\{{\begin{array}{lr}Q_{n}(a,b),&b^{2}>n( a^{2}+2)\\1-Q_{n}(a,b),&b^{2}<n(a^{2}+2)\end{array}}\right.$

där Chernoff-parametern $(0<\lambda <1/2)$ har det optimala värdet $\lambda _{0}$ av

$\lambda _{0}={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {n}{b^{2}}}-{\frac {n}{b^{ 2}}}{\sqrt {1+{\frac {(ab)^{2}}{n}}}}\right).$

Halvlinjär approximation

Den första ordningens Marcum-Q-funktionen kan approximeras halvlinjärt med

${\begin{aligned}Q(a,b)={\begin{cases}1,~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm {if} ~b<c_{1}\\-\beta _{0}e^{-{\ frac {1}{2}}\left(a^{2}+\left(\beta _{0}\right)^{2}\right)}I_{0}\left(a\beta _{0 }\right)\left(b-\beta _{0}\right)+Q_{1}\left(a,\beta _{0}\right),~~~~~\mathrm {if} ~c_ {1}\leq b\leq c_{2}\\0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ mathrm {if} ~b>c_{2}\end{cases}}\end{aligned}}$

var

${\begin{aligned}\beta _{0}={\frac {a+{\sqrt {a^{2}+2}}}{2}}, \end{aligned}}$

${\ displaystyle {\begin{aligned}c_{1}(a)=\max {\Bigg (}0,\beta _{0}+{\frac {Q_{1}\left(a,\beta _{0} \right)-1}{\beta _{0}e^{-{\frac {1}{2}}\left(a^{2}+\left(\beta _{0}\right)^{ 2}\right)}I_{0}\left(a\beta _{0}\right)}}{\Bigg )},\end{aligned}}}$

och

${\begin{aligned}c_{2}(a)=\beta _{0}+{\frac {Q_{1}\left(a,\beta _{0}\right)}{\beta _{0}e^{-{\frac {1}{2}}\left(a^{2}+\left(\beta _{0}\right)^{2}\right)}I_{0 }\left(a\beta _{0}\right)}}.\end{aligned}}$

Motsvarande former för effektiv beräkning

Det är bekvämt att återuttrycka Marcum Q-funktionen som

$P_{N}(X,Y)=Q_{N}({\sqrt {2NX}},{\sqrt {2Y}}).$

P $P_{N}(X,Y)$ kan tolkas som detektionssannolikheten för ${\displaystyle N} inkoherent integrerade mottagna signalsampel$ konstant mottagen signal-brusförhållande, $X$ , med en normaliserad detektionströskel $Y$ . I denna ekvivalenta form av Marcum Q-funktion, för givet $a$ och $b$ , har vi $X=a^{2}/2N$ och ${\displaystyle Y=b^{2}/$ . Det finns många uttryck som kan representera $P_{N}(X,Y)$ . Men de fem mest tillförlitliga, exakta och effektiva för numerisk beräkning ges nedan. De är form ett:

$P_{N}(X,Y)=\sum _{k=0}^{\infty }e^{-NX}{\frac {(NX)^{k}}{k!}} \sum _{m=0}^{N-1+k}e^{-Y}{\frac {Y^{m}}{m!}},$

form två:

$P_{N}(X,Y)=\sum _{m=0}^{N-1}e ^{-Y}{\frac {Y^{m}}{m!}}+\sum _{m=N}^{\infty }e^{-Y}{\frac {Y^{m}} {m!}}\left(1-\summa _{k=0}^{mN}e^{-NX}{\frac {(NX)^{k}}{k!}}\höger),$

form tre:

$1-P_{N}(X,Y)=\sum _{m=N}^{\infty }e^{-Y}{\frac {Y^{m}}{m!}} \sum _{k=0}^{mN}e^{-NX}{\frac {(NX)^{k}}{k!}},$

form fyra:

$1-P_{N}(X,Y)=\sum _{k=0}^{\infty }e^ {-NX}{\frac {(NX)^{k}}{k!}}\left(1-\summa _{m=0}^{N-1+k}e^{-Y}{\ frac {Y^{m}}{m!}}\right),$

och form fem:

$1-P_{N}(X,Y)=e^{-(NX+Y)}\sum _{r=N}^{\infty }\left({\frac {Y}{NX} }\right)^{r/2}I_{r}(2{\sqrt {NXY}}).$

Bland dessa fem former är den andra formen den mest robusta.

Ansökningar

Den generaliserade Marcum Q-funktionen kan användas för att representera den kumulativa fördelningsfunktionen (cdf) för många slumpvariabler:

• Om $X\sim \mathrm {Exp} (\lambda )$ är en exponentialfördelning med hastighetsparametern $\lambda$ , då ges dess cdf av $F_{X}(x)=1-Q_{1}\left(0,{\sqrt {2\lambda x}}\right)$

• Om $X\sim \mathrm {Erlang} (k,\lambda )$ är en Erlang-fördelning med formparametern $k$ och hastighetsparametern $\lambda$ , då ges dess cdf av $F_{X}(x)=1-Q_{k}\left(0,{\ sqrt {2\lambda x}}\right)$

• Om $X\sim \chi _{k}^{2}$ är en chi-kvadratfördelning med $k$ grader av frihet, då ges dess cdf av $F_{X}(x)=1-Q_{k/2}(0,{\sqrt { x}})$

• Om $X\sim \mathrm {Gamma} (\alpha ,\beta )$ är en gammafördelning med formparametern $\alpha$ och hastighetsparameter $\beta$ , då ges dess cdf av $F_{X}(x)=1-Q_{\ alpha }(0,{\sqrt {2\beta x}})$

• Om $X\sim \mathrm {Weibull} (k,\lambda )$ är en Weibull-fördelning med formparametrarna $k$ och skalparametern $\lambda$ , då ges dess cdf av $F_{X}(x)=1-Q_{1}\left(0,{\sqrt {2}}\left({\frac {x}{\lambda}}\right)^{\frac {k}{2}}\right)$

• Om $X\sim \mathrm {GG} (a,d,p)$ är en generaliserad gammafördelning med parametrarna $a,d,p$ , då ges dess cdf av $F_{X}(x )=1-Q_{\frac {d}{p}}\left(0,{\sqrt {2}}\left({\frac {x}{a}}\right)^{\frac {p} {2}}\right)$

• Om $X\sim \chi _{k}^{2}(\lambda )$ är en icke-central chi-kvadratfördelning med icke- centralitetsparameter $\lambda$ och $k$ frihetsgrader, då ges dess cdf av $F_{X} (x)=1-Q_{k/2}({\sqrt {\lambda }},{\sqrt {x}})$

• Om $X\ sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )$ är en Rayleigh-fördelning med parametern $\sigma$ , då dess cdf ges av ${\displaystyle F_ {X}(x)=1-Q_{1}\left(0,{\frac {x}{\sigma }}\right)} Om X ∼$

• M $X \sim \mathrm {Maxwell} (\sigma )}$ är en Maxwell–Boltzmann-fördelning med parametern $\sigma$ , då dess cdf ges av ${\displaystyle F_{X}(x)=1-Q_{3/2}\left(0,{\frac {x}{\sigma }}\right)} Om X ∼ χ$

• k $\ sim \chi _{k}}$$F_{ X}(x)=1-Q_{k/2}(0,x)$ en chi-fördelning med $k$ frihetsgrader, sedan ges dess cdf av

• Om $X\sim \mathrm {Nakagami} (m, \Omega )$ är en Nakagami-fördelning med $m$ som formparameter och $\Omega$ som spridningsparameter, då dess cdf ges av $F_{X}(x)=1-Q_{m}\left(0,{\sqrt {\frac {2m}{\Omega }}}x\right)$

• Om $X\sim \mathrm {Rice} (\nu ,\sigma )$ är en risdistribution med parametrarna $\nu$ och $\sigma$ , sedan dess cdf ges av $F_{X}(x)=1-Q_{1}\left({\frac {\nu }{\ sigma }},{\frac {x}{\sigma }}\right)$

• Om $X\sim \chi _{k}(\lambda )$ är en icke-central chi distribution med icke-centralitetsparameter $\lambda$ och $k$ frihetsgrader, då ges dess cdf av $F_{X}(x)=1-Q_{k/2}(\lambda ,x)$

Fotnoter

• Marcum, JI (1950) "Tabell över Q-funktioner". US Air Force RAND Research Memorandum M-339 . Santa Monica, CA: Rand Corporation, 1 januari 1950.
•   Nuttall, Albert H. (1975): Some Integrals Involving the Q _M Function , IEEE Transactions on Information Theory , 21(1), 95–96, ISSN 0018-9448
• Shnidman, David A. (1989): The Calculation of the Probability of Detection and the Generalized Marcum Q-Function, IEEE Transactions on Information Theory, 35(2), 389-400.
• Weisstein, Eric W. Marcum Q-Function. Från MathWorld—en Wolfram webbresurs. [1]