Gompertz-Makehams lag om dödlighet

Gompertz–Makeham

Parametrar	$\alpha \in \mathbb {R} ^{+}$$\beta \in \mathbb {R} ^{+}$$\ lambda \in \mathbb {R} ^{+}$
Stöd	$x\in \mathbb {R} ^{+}$
PDF	$\left(\alpha e^{\beta x}+\lambda \right)\cdot \exp \ vänster[-\lambda x-{\frac {\alpha }{\beta }}\left(e^{\beta x}\right)\right]$
CDF	$1-\exp \left[-\lambda x-{\frac {\alpha }{\beta }}\left(e ^{\beta x}-1\right)\right]$

Gompertz –Makeham-lagen säger att den mänskliga dödsfrekvensen är summan av en åldersberoende komponent ( Gompertz-funktionen , uppkallad efter Benjamin Gompertz ), som ökar exponentiellt med åldern och en åldersoberoende komponent (Makeham-termen, uppkallad efter William Makeham ). I en skyddad miljö där yttre dödsorsaker är sällsynta (laboratorieförhållanden, länder med låg dödlighet etc.) är den åldersoberoende dödlighetskomponenten ofta försumbar. I detta fall förenklas formeln till en Gompertz lag om dödlighet. År 1825 föreslog Benjamin Gompertz en exponentiell ökning av dödstalen med åldern.

Gompertz-Makehams dödlighetslag beskriver åldersdynamiken för mänsklig dödlighet ganska exakt i åldersfönstret från cirka 30 till 80 års ålder. I mer avancerade åldrar har vissa studier funnit att dödstalen ökar långsammare – ett fenomen som kallas dödlighetsbromsningen i sena livet – men nyare studier håller inte med.

Beräknad sannolikhet att en person dör vid varje ålder, för USA 2003 [ 1] . Dödligheten ökar exponentiellt med åldern efter 30 års ålder.

Nedgången i den mänskliga dödligheten före 1950-talet berodde mest på en minskning av den åldersoberoende (Makeham) dödlighetskomponenten, medan den åldersberoende (Gompertz) dödlighetskomponenten var förvånansvärt stabil. Sedan 1950-talet har en ny mortalitetstrend startat i form av en oväntad nedgång i dödligheten vid höga åldrar och "rektangularisering" av överlevnadskurvan.

Riskfunktionen $h(x)=\alpha e^{\beta x}+\lambda$ Gompertz-Makeham-fördelningen karakteriseras oftast som λ . Den empiriska storleken på betaparametern är cirka 0,085, vilket innebär en fördubbling av dödligheten vart 0,69/0,085 = 8 år (Danmark, 2006).

Kvantilfunktionen kan uttryckas i ett uttryck i sluten form med Lambert W- funktionen :

$Q(u)={ \frac {\alpha }{\beta \lambda }}-{\frac {1}{\lambda }}\ln(1-u)-{\frac {1}{\beta }}W_{0}\left [{\frac {\alpha e^{\alpha /\lambda }(1-u)^{-(\beta /\lambda )}}{\lambda }}\right]$

Gompertz-lagen är densamma som en Fisher-Tippett-fördelning för ålderns negativa, begränsad till negativa värden för den slumpmässiga variabeln (positiva värden för ålder).

Se även

• Badkar kurva
• Biodemografi
• Biodemografi av mänsklig livslängd
• Gerontologi
• Demografi
• Livsbord
• Maximal livslängd
• Tillförlitlighetsteori om åldrande och livslängd