Generaliserad multivariat log-gammafördelning

I sannolikhetsteori och statistik är den generaliserade multivariata log-gamma-fördelningen (G-MVLG) en multivariatfördelning som introducerades av Demirhan och Hamurkaroglu 2011. G-MVLG är en flexibel fördelning. Skevhet och kurtos kontrolleras väl av fördelningens parametrar. Detta gör det möjligt för en att kontrollera spridningen av distributionen. På grund av denna egenskap används fördelningen effektivt som en gemensam förfördelning i Bayesiansk analys , särskilt när sannolikheten inte är från lokaliseringsfamiljen av distributioner som normalfördelning .

Gemensam sannolikhetstäthet funktion

Om ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}\sim \mathrm {G} {\text{-}}\mathrm {MVLG} (\delta ,\nu ,{\boldsymbol {\lambda }},{\boldsymbol {\mu }})} ,$ den gemensamma sannolikhetstäthetsfunktionen (pdf) för ${\boldsymbol {Y}}=(Y_{1},\dots ,Y_{k})$ ges som följande:

$f(y_{1},\dots ,y_ {k})=\delta ^{\nu}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(1-\delta )^{n}\prod _{i=1}^{k }\mu _{i}\lambda _{i}^{-\nu -n}}{[\Gamma (\nu +n)]^{k-1}\Gamma (\nu)n!}}\ exp {\bigg \{}(\nu +n)\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}y_{i}-\summa _{i=1}^{k}{\ frac {1}{\lambda _{i}}}\exp\{\mu _{i}y_{i}\}{\bigg \}},$

där ${\boldsymbol {y}}\i \mathbb {R} ^{k},\nu >0,\lambda _{j}> 0,\mu _{j}>0$ för $j=1,\dots ,k,\delta =\det({ \boldsymbol {\Omega }})^{\frac {1}{k-1}},$ och

${\boldsymbol {\Omega }}=\left({\begin{array}{cccc}1&{\sqrt {\mathrm {abs} (\rho _{ 12})}}&\cdots &{\sqrt {\mathrm {abs} (\rho _{1k})}}\\{\sqrt {\mathrm {abs} (\rho _{12})}}&1& \cdots &{\sqrt {\mathrm {abs} (\rho _{2k})}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\sqrt {\mathrm {abs} (\rho _ {1k})}}&{\sqrt {\mathrm {abs} (\rho _{2k})}}&\cdots &1\end{array}}\right),$

$\rho _{ij}$ är korrelationen mellan $Y_{i}$ och $Y_{j}$ , $\det(\ cdot )$ och $\mathrm {abs} (\cdot )$ betecknar determinant respektive absolutvärde för inre uttryck, och ${\ displaystyle {\boldsymbol {g}}=(\delta ,\nu ,{\boldsymbol {\lambda }}^{T},{\boldsymbol {\mu }}^{T})} inkluderar parametrar för fördelningen$ .

Egenskaper

Gemensam momentgenererande funktion

Den gemensamma momentgenererande funktionen för G-MVLG-distribution är följande:

$M_{\boldsymbol {Y}}({\boldsymbol {t}})=\delta ^{\nu }{\bigg (}\prod _{i=1}^{k}\lambda _{i }^{t_{i}/\mu _{i}}{\bigg )}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (\nu +n)}{\Gamma ( \nu )n!}}(1-\delta )^{n}\prod _{i=1}^{k}{\frac {\Gamma (\nu +n+t_{i}/\mu _{ i})}{\Gamma (\nu +n)}}.$

Marginala centrala ögonblick

$r^{\text{th}}$ marginella centrala moment för $Y_{i}$ är som följande:

${\mu _{i}}'_{r}=\left[{\frac {(\lambda _{i}/\delta )^{t_{i}/\mu _{i}}} {\Gamma (\nu )}}\summa _{k=0}^{r}{\binom {r}{k}}\left[{\frac {\ln(\lambda _{i}/\delta )}{\mu _{i}}}\right]^{rk}{\frac {\partial ^{k}\Gamma (\nu +t_{i}/\mu _{i})}{\partial t_{i}^{k}}}\right]_{t_{i}=0}.$

Marginalt förväntat värde och varians

Marginalt förväntat värde $Y_{i}$ är som följer:

$\operatorname {E} (Y_{i})={\frac {1}{\mu _{i}}}{\big [}\ln(\lambda _{i}/\delta )+\digamma (\nu ){\big ]},$

$\operatorname {var} (Z_{i})=\digamma ^{[1]}(\nu)/(\mu _{i})^{2}$

där $\digamma (\nu )$ och $\digamma ^{[1]}(\nu )$ är värden för digamma- och trigammafunktioner vid ${\ displaystyle \nu }$ , respektive.

Relaterade distributioner

Demirhan och Hamurkaroglu etablerar ett samband mellan G-MVLG-fördelningen och Gumbel-fördelningen ( typ I extremvärdesfördelning ) och ger en multivariat form av Gumbel-fördelningen, nämligen den generaliserade multivariata Gumbel-fördelningen (G-MVGB). Den gemensamma sannolikhetstäthetsfunktionen för ${\boldsymbol {T}}\sim \mathrm {G} {\text{-}}\mathrm { MVGB} (\delta ,\nu ,{\boldsymbol {\lambda }},{\boldsymbol {\mu }})$ är följande:

$f(t_{1},\dots ,t_{k};\delta ,\nu,{\boldsymbol {\lambda }},{\boldsymbol {\mu }}))=\delta ^{\nu }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(1-\delta )^{n}\prod _{i=1}^{k}\mu _{i}\lambda _{ i}^{-\nu -n}}{[\Gamma (\nu +n)]^{k-1}\Gamma (\nu)n!}}\exp {\bigg \{}-(\nu +n)\summa _{i=1}^{k}\mu _{i}t_{i}-\summa _{i=1}^{k}{\frac {1}{\lambda _{i }}}\exp\{-\mu _{i}t_{i}\}{\bigg \}},\quad t_{i}\in \mathbb {R} .$

Gumbel-distributionen har ett brett utbud av tillämpningar inom området riskanalys . Därför bör G-MVGB-distributionen vara fördelaktig när den tillämpas på dessa typer av problem.