Matematisk funktion
Färgrepresentation av trigammafunktionen,
ψ 1 ( z ) , i ett rektangulärt område av det komplexa planet. Den genereras med hjälp av
domänfärgningsmetoden .
I matematik är trigammafunktionen , betecknad ψ 1 ( z ) ψ (1) ( z ) polygammafunktionerna och definieras av
ψ
1
( z ) =
d
2
d
z
2
ln Γ ( z )
{\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z)}
Av denna definition följer att
ψ
1
( z ) =
d
d z
ψ ( z )
{\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {d}{dz}}\psi (z)}
där ψ ( z ) digammafunktionen . Det kan också definieras som summan av serien
ψ
1
( z ) =
∑
n =
0
∞
1
( z + n
)
2
,
{\displaystyle \psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1} {(z+n)^{2}}},}
vilket gör det till ett specialfall av Hurwitz zeta-funktionen
ψ
1
( z ) = ζ ( 2 , z ) .
{\displaystyle \psi _{1}(z)=\zeta (2,z).}
Observera att de två sista formlerna är giltiga när 1− z inte är ett naturligt tal .
Beräkning
En dubbel integralrepresentation, som ett alternativ till de som ges ovan, kan härledas från serierepresentationen:
ψ
1
( z ) =
0
∫
1
0
∫
x
x
z − 1
y ( 1 − x )
d y d x
{\displaystyle \psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\!\ !\int _{0}^{x}{\frac {x^{z-1}}{y(1-x)}}\,dy\,dx}
använda formeln för summan av en geometrisk serie . Integration över y
ψ
1
( z ) = −
0
∫
1
x
z − 1
ln
x
1 − x
d x
{\displaystyle \psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x ^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,dx}
En asymptotisk expansion som en Laurent-serie är
ψ
1
( z ) =
1 z
+
1
2
z
2
+
∑
k = 1
∞
B
2 k
z
2 k + 1
=
∑
k =
0
∞
B
k
z
k + 1
{\displaystyle \psi _{1}(z) ={\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{ z^{2k+1}}}=\summa _{k=0}^{\infty }{\frac {B_{k}}{z^{k+1}}}}
om vi har valt
B 1 = 1 / 2 , dvs Bernoulli-talen av det andra slaget.
Formler för återfall och reflektion
Trigammafunktionen uppfyller återfallsrelationen
ψ
1
( z + 1 ) =
ψ
1
( z ) −
1
z
2
{\displaystyle \psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z ^{2}}}}
och reflektionsformeln
ψ
1
( 1 − z ) +
ψ
1
( z ) =
π
2
sin
2
π z
{\displaystyle \psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)={\frac { \pi ^{2}}{\sin ^{2}\pi z}}\,}
z = 1 / 2
ψ
1
(
1 2
) =
π
2
2
{\displaystyle \psi _{1}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {\pi ^{2}}{2}}}
Särskilda värden
Vid positiva halvheltalsvärden har vi det
ψ
1
(
n +
1 2
)
=
π
2
2
− 4
∑
k = 1
n
1
( 2 k − 1
)
2
.
{\displaystyle \psi _{1}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2}}-4\summa _{k= 1}^{n}{\frac {1}{(2k-1)^{2}}}.}
Dessutom har trigammafunktionen följande specialvärden:
ψ
1
(
1 4
)
=
π
2
+ 8 G
ψ
1
(
1 2
)
=
π
2
2
ψ
1
( 1 )
=
π
2
6
ψ
1
(
3 2
)
=
π
2
2
− 4 ψ 1 ( 2 ) =
ψ
1
( 2 )
=
π
2
6
− 1
{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=\pi ^{2}+8G\quad &\psi _{1}\left({\tfrac {1}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}&\psi _{1}(1)&={ \frac {\pi ^{2}}{6}}\\[6px]\psi _{1}\left({\tfrac {3}{2}}\right)&={\frac {\pi ^ {2}}{2}}-4&\psi _{1}(2)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}-1\quad \end{aligned}}}
där G representerar den katalanska konstanten .
Det finns inga rötter på den reella axeln av ψ 1 z n , z n Re z < 0 . Varje sådant rotpar närmar sig 1/2 . Rez = med − n + n Till exempel är z 1 = −0,4121345... + 0,5978119... i z 2 = −1,4455692... + 0,6992608... i Im( z ) > 0 .
Relation till Clausen-funktionen
Digammafunktionen vid rationella argument kan uttryckas i termer av trigonometriska funktioner och logaritm genom digammasatsen . Ett liknande resultat gäller för trigammafunktionen men de cirkulära funktionerna ersätts av Clausens funktion . Nämligen,
ψ
1
(
p q
)
=
π
2
2
sin
2
( π p
/
q )
+ 2 q
∑
m = 1
( q − 1 )
/
2
sin
(
2 π m p
q
)
Cl
2
(
2 π m
q
)
.
{\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {p}{q}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2\sin ^{2}(\pi p/ q)}}+2q\summa _{m=1}^{(q-1)/2}\sin \left({\frac {2\pi mp}{q}}\right){\textrm {Cl }}_{2}\left({\frac {2\pi m}{q}}\right).}
Beräkning och approximation
En enkel metod för att approximera trigammafunktionen är att ta derivatan av digammafunktionens asymptotiska expansion .
ψ
1
( x ) ≈
1 x
+
1
2
x
2
+
1
6
x
3
−
1
30
x
5
+
1
42
x
7
−
1
30
x
9
+
5
66
x
11
−
691
2730
x
13
+
7
6
x
15
{\ displaystyle \psi _{1}(x)\approx {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2x^{2}}}+{\frac {1}{6x^{3} }}-{\frac {1}{30x^{5}}}+{\frac {1}{42x^{7}}}-{\frac {1}{30x^{9}}}+{\ frac {5}{66x^{11}}}-{\frac {691}{2730x^{13}}}+{\frac {7}{6x^{15}}}}
Utseende
Trigammafunktionen visas i denna summaformel:
∑
n = 1
∞
n
2
−
1 2
(
n
2
+
1 2
)
2
(
ψ
1
(
n −
i
2
)
+
ψ
1
(
n +
i
2
)
)
= − 1 +
2
4
π coth 3
π
2
.
π
2
4
sinh
2
π
2
+
π
4
12
sinh
4
π
2
(
5 + cosh π
2
)
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}-{\frac {1}{2}}}{\left(n^{2}+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\left(\psi _{1}{\bigg (}n-{\frac {i}{\sqrt {2}}}{\bigg) }+\psi _{1}{\bigg (}n+{\frac {i}{\sqrt {2}}}{\bigg )}\right)=-1+{\frac {\sqrt {2}} {4}}\pi \coth {\frac {\pi }{\sqrt {2}}}-{\frac {3\pi ^{2}}{4\sinh ^{2}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}}+{\frac {\pi ^{4}}{12\sinh ^{4}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}}\vänster (5+\cosh \pi {\sqrt {2}}\right).}
Se även
Anteckningar
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=\pi ^{2}+8G\quad &\psi _{1}\left({\tfrac {1}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}&\psi _{1}(1)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}\\[6px]\psi _{1}\left({\tfrac {3}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}-4&\psi _{1}(2)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}-1\quad \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98e24e4208057e7060a32421f0059d7c3db5255f)
