Lagen om total kumulans

Inom sannolikhetsteori och matematisk statistik är lagen om total kumulans en generalisering till kumulanter av lagen om total sannolikhet , lagen om total förväntan och lagen om total varians . Den har tillämpningar i analys av tidsserier . Den introducerades av David Brillinger .

Det är mest transparent när det anges i sin mest allmänna form, för gemensamma kumulanter, snarare än för kumulanter av en specificerad ordning för bara en slumpvariabel . I allmänhet har vi

\kappa (X_{1},\dots ,X_{n} )=\summa _{\pi }\kappa (\kappa (X_{i}:i\in B\mid Y):B\in \pi ),

var

κ ( X ₁ , ..., X _n ) är den gemensamma kumulanten av n slumpvariabler X ₁ , ..., X _n , och
summan är över alla partitioner $\pi$ av mängden { 1, ..., n } av index, och
" B ∈ $π$ ;" betyder att B går igenom hela listan med "block" för partitionen $π$ , och
κ ( X _i : i ∈ B | Y ) är en villkorlig kumulant givet värdet av den slumpmässiga variabeln Y . Det är därför en stokastisk variabel i sig — en funktion av stokastisk variabel Y .

Exempel

Specialfallet med bara en slumpvariabel och n = 2 eller 3

Endast i fallet n = antingen 2 eller 3 är den n :e kumulanten densamma som det n :e centrala momentet . Fallet n = 2 är välkänt (se lagen om total varians ) . Nedan är fallet n = 3. Notationen μ ₃ betyder det tredje centrala momentet.

\mu _{3}(X)=\operatörsnamn {E} (\mu _{3}(X\mid Y))+\mu _{3}(\operatörsnamn {E} (X\mid Y) ))+3\operatörsnamn {cov} (\operatörsnamn {E} (X\mitt Y),\operatörsnamn {var} (X\mitt Y)).

Allmänna 4:e ordningens ledkumulanter

För allmänna 4:e ordningens kumulanter ger regeln en summa av 15 termer, enligt följande:

{\begin{aligned}&\kappa (X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})\\[5pt]={}&\kappa (\kappa (X_{ 1},X_{2},X_{3},X_{4}\mid Y))\\[5pt]&\left.{\begin{matrix}&{}+\kappa (\kappa (X_{1) },X_{2},X_{3}\mid Y),\kappa (X_{4}\mid Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{1},X_{ 2},X_{4}\mid Y),\kappa (X_{3}\mitt Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{1},X_{3},X_ {4}\mid Y),\kappa (X_{2}\mid Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{2},X_{3},X_{4}\ mid Y),\kappa (X_{1}\mid Y))\end{matris}}\right\}({\text{partitioner av }}3+1{\text{form}})\\[ 5pt]&\vänster.{\begin{matrix}&{}+\kappa (\kappa (X_{1},X_{2}\mid Y),\kappa (X_{3},X_{4}\mid Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{1},X_{3}\mid Y),\kappa (X_{2},X_{4}\mid Y))\ \[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{1},X_{4}\mid Y),\kappa (X_{2},X_{3}\mid Y))\end{matris} }\right\}({\text{partitioner av }}2+2{\text{ form}})\\[5pt]&\left.{\begin{matrix}&{}+\kappa (\kappa) (X_{1},X_{2}\mid Y),\kappa (X_{3}\mitt Y),\kappa (X_{4}\mitt Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{1},X_{3}\mid Y),\kappa (X_{2}\mid Y),\kappa (X_{4}\mitt Y))\\[5pt]&{} +\kappa (\kappa (X_{1},X_{4}\mid Y),\kappa (X_{2}\mid Y),\kappa (X_{3}\mitt Y))\\[5pt] &{}+\kappa (\kappa (X_{2},X_{3}\mid Y),\kappa (X_{1}\mitt Y),\kappa (X_{4}\mitt Y))\\ [5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{2},X_{4}\mid Y),\kappa (X_{1}\mid Y),\kappa (X_{3}\mid Y) )\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{3},X_{4}\mid Y),\kappa (X_{1}\mid Y),\kappa (X_{2}\ mitten Y))\end{matris}}\right\}({\text{partitioner av }}2+1+1{\text{form}})\\[5pt]&{\begin{matrix}{ }+\kappa (\kappa (X_{1}\mid Y),\kappa (X_{2}\mid Y),\kappa (X_{3}\mid Y),\kappa (X_{4}\miden Y)).\end{matris}}\end{aligned}}

Kumulanter av sammansatta Poisson-slumpvariabler

Antag att Y har en Poissonfördelning med förväntat värde λ , och X är summan av Y kopior av W som är oberoende av varandra och av Y .

X=\sum _{y=1}^{Y}W_{y}.

Alla kumulanter i Poisson-fördelningen är lika med varandra, och så i detta fall är lika med λ . Kom också ihåg att om slumpvariablerna W ₁ , ..., W _m är oberoende , så är den n :e kumulanten additiv:

\kappa _{n}(W_{1}+\cdots +W_{m})=\kappa _{n}(W_{1})+\cdots +\kappa _{n}(W_{m }).

Vi kommer att hitta den 4:e kumulanten av X . Vi har:

{\begin{aligned}\kappa _{4}(X)={}&\kappa (X,X,X,X)\\[8pt]={}&\kappa _{1}(\ kappa _{4}(X\mid Y))+4\kappa (\kappa _{3}(X\mid Y),\kappa _{1}(X\mid Y))+3\kappa _{2 }(\kappa _{2}(X\mid Y))\\&{}+6\kappa (\kappa _{2}(X\mid Y),\kappa _{1}(X\mitt Y) ,\kappa _{1}(X\mid Y))+\kappa _{4}(\kappa _{1}(X\mid Y))\\[8pt]={}&\kappa _{1} (Y\kappa _{4}(W))+4\kappa (Y\kappa _{3}(W),Y\kappa _{1}(W))+3\kappa _{2}(Y\ kappa _{2}(W))\\&{}+6\kappa (Y\kappa _{2}(W),Y\kappa _{1}(W),Y\kappa _{1}(W) ))+\kappa _{4}(Y\kappa _{1}(W))\\[8pt]={}&\kappa _{4}(W)\kappa _{1}(Y)+4 \kappa _{3}(W)\kappa _{1}(W)\kappa _{2}(Y)+3\kappa _{2}(W)^{2}\kappa _{2}(Y )\\&{}+6\kappa _{2}(W)\kappa _{1}(W)^{2}\kappa _{3}(Y)+\kappa _{1}(W)^ {4}\kappa _{4}(Y)\\[8pt]={}&\kappa _{4}(W)\lambda +4\kappa _{3}(W)\kappa _{1}( W)\lambda +3\kappa _{2}(W)^{2}+6\kappa _{2}(W)\kappa _{1}(W)^{2}\lambda +\kappa _{ 1}(W)^{4}\lambda \\[8pt]={}&\lambda \operatörsnamn {E} (W^{4})\qquad {\text{(stämpellinjen -- se förklaringen nedan ).}}\end{aligned}}

Vi känner igen den sista summan som summan över alla partitioner i mängden { 1, 2, 3, 4 }, av produkten över alla block av partitionen, av kumulanter av W i storleksordningen lika med storleken på blocket . Det är just det fjärde råa ögonblicket av W (se kumulant för en mer lugn diskussion om detta faktum). Därför är kumulanterna för X momenten av W multiplicerat med λ .

På detta sätt ser vi att varje momentsekvens också är en kumulantsekvens (det omvända kan inte vara sant, eftersom kumulanter av jämn ordning ≥ 4 är i vissa fall negativa, och även för att den kumulanta sekvensen av normalfördelningen inte är en momentsekvens av någon sannolikhetsfördelning).

Konditionering på en Bernoulli slumpvariabel

Antag att Y = 1 med sannolikhet p och Y = 0 med sannolikhet q = 1 − p . Antag att den villkorade sannolikhetsfördelningen för X givet Y är F om Y = 1 och G om Y = 0. Då har vi

\kappa _{n}(X)=p\kappa _{n}(F)+q\kappa _{n}(G)+\sum _{\pi <{\widehat {1}}} \kappa _{\left|\pi \right|}(Y)\prod _{B\in \pi }(\kappa _{\left|B\right|}(F)-\kappa _{\left| B\right|}(G))

där $\pi <{\widehat {1}}$ betyder $att π$ är en partition av mängden { 1, ..., n } som är finare än den grövre partitionen – summan är över alla partitioner förutom den där. Till exempel, om n = 3, så har vi

\kappa _{3}(X)=p\kappa _{3}(F)+q\kappa _{3}(G)+3pq(\kappa _{2}(F)-\kappa _ {2}(G))(\kappa _{1}(F)-\kappa _{1}(G))+pq(qp)(\kappa _{1}(F)-\kappa _{1} (G))^{3}.