Exponentiell spridningsmodell

Inom sannolikhet och statistik är klassen av exponentiella spridningsmodeller ( EDM ) en uppsättning sannolikhetsfördelningar som representerar en generalisering av den naturliga exponentiella familjen . Exponentiella spridningsmodeller spelar en viktig roll i statistisk teori , särskilt i generaliserade linjära modeller eftersom de har en speciell struktur som gör det möjligt att göra slutsatser om lämplig statistisk slutledning .

Definition

Univariat fall

Det finns två versioner för att formulera en exponentiell spridningsmodell.

Additiv exponentiell spridningsmodell

tillhör en reellt värderad slumpvariabel ${\displaystyle X} den$ additiva exponentiella dispersionsmodellen med kanonisk parameter $\theta$ och indexparameter $\lambda$ , ${\displaystyle X\sim \mathrm {ED} ^{*}(\theta ,\lambda )} ,$ om dess sannolikhetstäthetsfunktion kan skrivas som

$f_{X}(x|\theta ,\lambda )=h^{*}(\lambda ,x)\exp \left(\theta x-\lambda A(\theta )\right)\,\ !.$

Reproduktiv exponentiell spridningsmodell

Fördelningen av den transformerade slumpvariabeln $Y={\frac {X}{\lambda }}$ kallas reproduktiv exponentiell dispersionsmodell , $Y\ sim \mathrm {ED} (\mu ,\sigma ^{2})$ , och ges av

$f_{Y}(y|\mu ,\sigma ^{2 })=h(\sigma ^{2},y)\exp \left({\frac {\theta yA(\theta )}{\sigma ^{2}}}\right)\,\!,$

med $\sigma ^{2}={\frac {1}{\lambda }}$ och $\mu =A'(\theta )$ , antyder $\theta =(A')^{-1}(\mu)$ . Terminologins spridningsmodell härrör från tolkningen av $\sigma ^{2}$ som spridningsparameter . För fast parameter $\sigma ^{2}$ är $\mathrm {ED} (\mu ,\sigma ^{2})$ en naturlig exponentiell familj .

Multivariat fall

I det multivariata fallet har den n-dimensionella slumpvariabeln $\mathbf {X}$ en sannolikhetstäthetsfunktion av följande form

$f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} | {\boldsymbol {\theta }},\lambda )=h(\lambda ,\mathbf {x} )\exp \left(\lambda ({\boldsymbol {\theta }}^{\top }\mathbf {x} -A({\boldsymbol {\theta }}))\right)\,\!,$

där parametern ${\boldsymbol {\theta }}$ har samma dimension som $\mathbf {X}$ .

Egenskaper

Kumulantgenererande funktion

Den kumulantgenererande funktionen för $Y\sim \mathrm {ED} (\mu ,\sigma ^{2})$ ges av

$K(t;\mu ,\sigma ^{ 2})=\log \operatörsnamn {E} [e^{tY}]={\frac {A(\theta +\sigma ^{2}t)-A(\theta )}{\sigma ^{2} }}\,\!,$

med $\theta =(A')^{-1}(\mu )$

Medelvärde och varians

Medelvärde och varians för $Y\sim \mathrm {ED} (\mu ,\sigma ^{2})$ ges av

$\operatörsnamn {E} [Y]=\mu = A'(\theta )\,,\quad \operatörsnamn {Var} [Y]=\sigma ^{2}A''(\theta )=\sigma ^{2}V(\mu )\,\!,$

med enhetsvariansfunktion $V(\mu )=A''((A')^{-1}(\mu ))$ .

Reproduktiv

Om $Y_{1},\ldots ,Y_{n}$ är iid med $Y_{i}\sim \ mathrm {ED} \left(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{w_{i}}}\right)} , dvs samma medelvärde μ {\displaystyle \mu$ och $vikter$ w $\ displaystyle w_{i}}$ , det viktade medelvärdet är återigen en $\mathrm {ED}$ med

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}Y_{i} }{w_{\bullet }}}\sim \mathrm {ED} \left(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{w_{\bullet }}}\right)\,\!,$

med $w_{\bullet }=\summa _{i=1}^{n}w_{i}$ . Därför kallas $Y_{i}$ reproduktiv .

Enhetsavvikelse

Sannolikhetstäthetsfunktionen för en $\displaystyle \mathrm {ED} (\mu ,\sigma ^{2})}$$d(y,\mu )$ också uttryckas i termer av enhetsavvikelsen d , som

$f_{Y}(y|\mu ,\sigma ^ {2})={\tilde {h}}(\sigma ^{2},y)\exp \left(-{\frac {d(y,\mu )}{2\sigma ^{2}}} \höger)\,\!,$

där enhetsavvikelsen har den speciella formen $d(y,\mu )=yf(\mu )+g(\ mu )+h(y)$ eller i termer av enhetsvariansfunktionen som $d(y,\mu )=2\ int _{\mu }^{y}\!{\frac {yt}{V(t)}}\,dt$ .

Exempel

Många mycket vanliga sannolikhetsfördelningar tillhör klassen av EDM, bland dem är: normalfördelning , binomialfördelning , poissonfördelning , negativ binomialfördelning , gammafördelning , invers gaussfördelning och tweediefördelning .