Uniform 5-polytop

Grafer över regelbundna och enhetliga 5-polytoper.

5-simplex				Rättad 5-simplex				Trunkerad 5-simplex
Kantellerad 5-simplex				Runcinerad 5-simplex				Stericerad 5-simplex
5-ortoplex				Trunkerad 5-ortoplex				Rättad 5-ortoplex
Kantellerad 5-ortoplex						Runcinerad 5-ortoplex
Kantellerad 5-kub				Runcinerad 5-kub				Stericerad 5-kub
5-kub				Stympad 5-kub				Rättad 5-kub
5-demikub						Stympad 5-demikub
Kantellerad 5-demikub						Runcinerad 5-demikub

I geometri är en enhetlig 5-polytop en femdimensionell enhetlig polytop . Per definition är en enhetlig 5-polytop vertextransitiv och konstruerad av enhetliga 4- polytopfasetter .

Den kompletta uppsättningen av konvexa enhetliga 5-polytoper har inte fastställts, men många kan göras som Wythoff-konstruktioner från en liten uppsättning symmetrigrupper . Dessa konstruktionsoperationer representeras av permutationerna av ringar i Coxeter-diagrammen .

Upptäcktshistoria

• Regelbundna polytoper : (konvexa ytor)
  • 1852 : Ludwig Schläfli bevisade i sitt manuskript Theorie der vielfachen Kontinuität att det finns exakt 3 vanliga polytoper i 5 eller fler dimensioner .
• Konvexa halvregelbundna polytoper : (Olika definitioner före Coxeters uniformskategori )
  • 1900 : Thorold Gosset räknade upp listan över ickeprismatiska halvregelbundna konvexa polytoper med regelbundna fasetter ( konvexa regelbundna 4-polytoper ) i sin publikation On the Regular and Semi-Regular Dimensions in Space .
• Konvexa enhetliga polytoper :
  • 1940-1988 : Sökandet utökades systematiskt av HSM Coxeter i hans publikation Regular and Semi-Regular Polytopes I, II och III .
  • 1966 : Norman W. Johnson avslutade sin doktorsexamen. Avhandling under Coxeter, The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, University of Toronto
• Icke-konvexa enhetliga polytoper :
  • 1966 : Johnson beskriver två icke-konvexa enhetliga antiprismor i 5-utrymme i sin avhandling.
  • 2000-2023 : Jonathan Bowers och andra forskare söker efter andra icke-konvexa enhetliga 5-polytoper, med ett nuvarande antal av 1297 kända enhetliga 5-polytoper utanför oändliga familjer (konvexa och icke-konvexa), exklusive prismorna för de enhetliga 4-polytoper polytoper. Listan är inte bevisat fullständig.

Vanliga 5-polytoper

Huvudartikel: Lista över vanliga polytoper § Fem dimensioner

Vanliga 5-polytoper kan representeras av Schläfli-symbolen {p,q,r,s}, med s {p,q,r} 4-polytopfasetter runt varje yta . Det finns exakt tre sådana vanliga polytoper, alla konvexa:

• {3,3,3,3} - 5-simplex
• {4,3,3,3} - 5-kub
• {3,3,3,4} - 5-ortoplex

Det finns inga icke-konvexa vanliga polytoper i 5 dimensioner eller högre.

Konvexa enhetliga 5-polytoper

Olöst problem i matematik :

Vad är den kompletta uppsättningen av konvexa enhetliga 5-polytoper?

(fler olösta problem i matematik)

Det finns 104 kända konvexa enhetliga 5-polytoper, plus ett antal oändliga familjer av duoprismprismor och polygon-polyederduoprismor. Alla utom det stora antiprismatprismat är baserade på Wythoff-konstruktioner , reflektionssymmetri genererad med Coxeter-grupper .

Symmetri av enhetliga 5-polytoper i fyra dimensioner

5 -simplex är den vanliga formen i A ₅ -familjen. 5-kuben och 5 -ortoplexen är de vanliga formerna i B ₅ -familjen. Den förgrenade grafen för D ₅ -familjen innehåller 5-ortoplexet , såväl som en 5-demikub som är en alternerad 5-kub .

Varje reflekterande enhetlig 5-polytop kan konstrueras i en eller flera reflekterande punktgrupper i 5 dimensioner av en Wythoff-konstruktion , representerad av ringar runt permutationer av noder i ett Coxeter-diagram . Spegelhyperplan kan grupperas, sedda av färgade noder, åtskilda av jämna grenar . Symmetrigrupper av formen [a,b,b,a], har en utökad symmetri, [[a,b,b,a]], som [3,3,3,3], vilket fördubblar symmetriordningen. Enhetliga polytoper i denna grupp med symmetriska ringar innehåller denna utökade symmetri.

Om alla speglar av en given färg är oringade (inaktiva) i en given enhetlig polytop, kommer den att ha en lägre symmetrikonstruktion genom att ta bort alla de inaktiva speglarna. Om alla noder i en given färg är ringade (aktiva), kan en alterneringsoperation generera en ny 5-polytop med kiral symmetri, visad som "tomma" inringade noder, men geometrin är generellt inte justerbar för att skapa enhetliga lösningar.

Coxeter diagram överensstämmelse mellan familjer och högre symmetri inom diagram. Noder av samma färg i varje rad representerar identiska speglar. Svarta noder är inte aktiva i korrespondensen.

Grundläggande familjer

Gruppsymbol _	Beställa	Coxeter graf		Klammernotation _	Kommutator undergrupp	Coxeter nummer (h)	Reflektioner m =5/2 h
En 5	720			[3,3,3,3]	[3,3,3,3] +	6		15
D 5	1920			[3,3,3 1,1 ]	[3,3,3 1,1 ] +	8		20
B 5	3840			[4,3,3,3]		10	5	20

Enhetliga prismor

Det finns 5 ändliga kategoriska enhetliga prismatiska familjer av polytoper baserade på de icke-prismatiska enhetliga 4-polytoperna . Det finns en oändlig familj av 5-polytoper baserad på prismor av de enhetliga duoprismerna {p}×{q}×{ }.

Coxeter grupp	Beställa	Coxeter diagram		Coxeter notation	Kommutator undergrupp	Reflektioner
A 4 A 1	120			[3,3,3,2] = [3,3,3]×[ ]	[3,3,3] +			10		1
D 4 A 1	384			[3 1,1,1 ,2] = [3 1,1,1 ]×[ ]	[3 1,1,1 ] +			12		1
B 4 A 1	768			[4,3,3,2] = [4,3,3]×[ ]			4	12		1
F 4 A 1	2304			[3,4,3,2] = [3,4,3]×[ ]	[3 + ,4,3 + ]		12	12		1
H 4 A 1	28800			[5,3,3,2] = [3,4,3]×[ ]	[5,3,3] +			60		1
Duoprismatiska prismor (använd 2p och 2q för jämnt)
I 2 ( p ) I 2 ( q ) A 1	8 pq			[p,2,q,2] = [p]×[q]×[ ]	[p + ,2,q + ]		sid	q		1
I 2 (2 p ) I 2 ( q ) A 1	16 pq			[2p,2,q,2] = [2p]×[q]×[ ]		sid	sid	q		1
I 2 (2 p ) I 2 ( 2 q ) A 1	32 pq			[2p,2,2q,2] = [2p]×[2q]×[ ]		sid	sid	q	q	1

Enhetliga duoprismer

Det finns 3 kategoriska enhetliga duoprismatiska familjer av polytoper baserade på kartesiska produkter av de enhetliga polyedrarna och regelbundna polygoner : { q , r }×{ p }.

Coxeter grupp	Beställa	Coxeter diagram		Coxeter notation	Kommutator undergrupp	Reflektioner
Prismatiska grupper (använd 2p för jämnt)
A 3 I 2 ( p )	48 sid			[3,3,2, p ] = [3,3]×[ p ]	[(3,3) + ,2, p + ]		6	sid
A 3 I 2 ( 2p )	96 sid			[3,3,2,2 p ] = [3,3]×[2 p ]			6	sid	sid
B 3 I 2 ( p )	96 sid			[4,3,2, p ] = [4,3]×[ p ]		3	6	sid
B 3 I 2 ( 2p )	192 sid			[4,3,2,2 p ] = [4,3]×[2 p ]		3	6	sid	sid
H 3 I 2 ( p )	240 sid			[5,3,2, p ] = [5,3]×[ p ]	[(5,3) + ,2, p + ]		15	sid
H 3 I 2 ( 2p )	480 sid			[5,3,2,2 p ] = [5,3]×[2 p ]			15	sid	sid

Räknar upp de konvexa enhetliga 5-polytoperna

• Simplexfamilj : A ₅ [3 ⁴ ]
  • 19 enhetliga 5-polytoper
• Hyperkub / Ortoplex familj: B ₅ [4,3 ³ ]
  • 31 enhetliga 5-polytoper
• Demihypercube D ₅ /E ₅ familj: [3 ^2,1,1 ]
  • 23 enhetliga 5-polytoper (8 unika)
• Polykorala prismor:
  • 56 enhetliga 5-polytops (45 unika) konstruktioner baserade på prismatiska familjer: [3,3,3]×[ ], [4,3,3]×[ ], [5,3,3]×[ ], [3] ^1,1,1 ]×[ ].
  • En icke-Wythoffian - Det stora antiprismatprismat är den enda kända icke-Wythoffiska konvexa enhetliga 5-polytopen, konstruerad av två stora antiprismor förbundna med polyedriska prismor.

Det leder till: 19+31+8+45+1=104

Dessutom finns det:

• Oändligt många enhetliga 5-polytopkonstruktioner baserade på duoprismprismatiska familjer: [ p ]×[ q ]×[ ].
• Oändligt många enhetliga 5-polytopkonstruktioner baserade på duoprismatiska familjer: [3,3]×[ p ], [4,3]×[ p ], [5,3]×[ p ].

Familjen A ₅

Ytterligare information: A5 polytop

Det finns 19 former baserade på alla permutationer av Coxeter-diagrammen med en eller flera ringar. (16+4-1 fall)

De är namngivna av Norman Johnson från Wythoffs byggverksamhet på vanlig 5-simplex (hexateron).

A ₅ - familjen har symmetri av ordningen 720 (6 factorial ). 7 av de 19 figurerna, med symmetriskt ringade Coxeter-diagram har dubblerad symmetri, ordning 1440.

Koordinaterna för enhetliga 5-polytoper med 5-simplex symmetri kan genereras som permutationer av enkla heltal i 6-rymden, allt i hyperplan med normal vektor (1,1,1,1,1,1).

#	Baspunkt	Johnsons namnsystem Bowers namn och (akronym) Coxeter-diagram	k-face element räknas					Vertex figur	Fasetträkningar efter plats: [3,3,3,3]
			4	3	2	1	0		[3,3,3] (6)	[3,3,2] (15)	[3,2,3] (20)	[2,3,3] (15)	[3,3,3] (6)	Alt
1	(0,0,0,0,0,1) eller (0,1,1,1,1,1)	5-simplex hexateron (hix)	6	15	20	15	6	{3,3,3}	{3,3,3}	-	-	-	-
2	(0,0,0,0,1,1) eller (0,0,1,1,1,1)	Rektifierad 5-simplex likriktad hexateron (rix)	12	45	80	60	15	t{3,3}×{ }	r{3,3,3}	-	-	-	{3,3,3}
3	(0,0,0,0,1,2) eller (0,1,2,2,2,2)	Trunkerat 5-simplex trunkerat hexateron (tix)	12	45	80	75	30	Tetrah.pyr	t{3,3,3}	-	-	-	{3,3,3}
4	(0,0,0,1,1,2) eller (0,1,1,2,2,2)	Kantellerad 5-simplex liten romberad hexateron (sarx)	27	135	290	240	60	prisma-kil	rr{3,3,3}	-	-	{ }×{3,3}	r{3,3,3}
5	(0,0,0,1,2,2) eller (0,0,1,2,2,2)	Bitruncated 5-simplex bitruncated hexateron (bittix)	12	60	140	150	60		2t{3,3,3}	-	-	-	t{3,3,3}
6	(0,0,0,1,2,3) eller (0,1,2,3,3,3)	Cantitruncated 5-simplex stor romberad hexateron (garx)	27	135	290	300	120		tr{3,3,3}	-	-	{ }×{3,3}	t{3,3,3}
7	(0,0,1,1,1,2) eller (0,1,1,1,2,2)	Runcinerad 5-simplex liten prismaterad hexateron (spix)	47	255	420	270	60		t 0,3 {3,3,3}	-	{3}×{3}	{ }×r{3,3}	r{3,3,3}
8	(0,0,1,1,2,3) eller (0,1,2,2,3,3)	Runcitruncated 5-simplex prismatotruncated hexateron (pattix)	47	315	720	630	180		t 0,1,3 {3,3,3}	-	{6}×{3}	{ }×r{3,3}	rr{3,3,3}
9	(0,0,1,2,2,3) eller (0,1,1,2,3,3)	Runcicantellated 5-simplex prismatorhombated hexateron (pirx)	47	255	570	540	180		t 0,1,3 {3,3,3}	-	{3}×{3}	{ }×t{3,3}	2t{3,3,3}
10	(0,0,1,2,3,4) eller (0,1,2,3,4,4)	Runcicantitruncerad 5-simplex stor prismaterad hexateron (gippix)	47	315	810	900	360	Irr. 5-cell	t 0,1,2,3 {3,3,3}	-	{3}×{6}	{ }×t{3,3}	tr{3,3,3}
11	(0,1,1,1,2,3) eller (0,1,2,2,2,3)	Steritrunkerad 5-simplex celliprismatad hexateron (cappix)	62	330	570	420	120		t{3,3,3}	{ }×t{3,3}	{3}×{6}	{ }×{3,3}	t 0,3 {3,3,3}
12	(0,1,1,2,3,4) eller (0,1,2,3,3,4)	Stericantitruncated 5-simplex celligreatorhombated hexateron (cograx)	62	480	1140	1080	360		tr{3,3,3}	{ }×tr{3,3}	{3}×{6}	{ }×rr{3,3}	t 0,1,3 {3,3,3}
13	(0,0,0,1,1,1)	Birectifierad 5-simplex dodecateron (prick)	12	60	120	90	20	{3}×{3}	r{3,3,3}	-	-	-	r{3,3,3}
14	(0,0,1,1,2,2)	Bikantellerad 5-simplex liten birhomberad dodecateron (sibrid)	32	180	420	360	90		rr{3,3,3}	-	{3}×{3}	-	rr{3,3,3}
15	(0,0,1,2,3,3)	Bicantitruncated 5-simplex stor birhomberad dodecateron (gibrid)	32	180	420	450	180		tr{3,3,3}	-	{3}×{3}	-	tr{3,3,3}
16	(0,1,1,1,1,2)	Stericerad 5-simplex liten cellad dodecateron (scad)	62	180	210	120	30	Irr. 16-celler	{3,3,3}	{ }×{3,3}	{3}×{3}	{ }×{3,3}	{3,3,3}
17	(0,1,1,2,2,3)	Sterikantellerad 5-simplex liten cellirhomberad dodecateron (kort)	62	420	900	720	180		rr{3,3,3}	{ }×rr{3,3}	{3}×{3}	{ }×rr{3,3}	rr{3,3,3}
18	(0,1,2,2,3,4)	Sterirunkat 5-simplex celliprismatotrunket dodecateron (captid)	62	450	1110	1080	360		t 0,1,3 {3,3,3}	{ }×t{3,3}	{6}×{6}	{ }×t{3,3}	t 0,1,3 {3,3,3}
19	(0,1,2,3,4,5)	Omnitruncerad 5-simplex storcellad dodecateron (gocad)	62	540	1560	1800	720	Irr. {3,3,3}	t 0,1,2,3 {3,3,3}	{ }×tr{3,3}	{6}×{6}	{ }×tr{3,3}	t 0,1,2,3 {3,3,3}
Olikformigt		Omnisnub 5-simplex snub dodecateron (snod) snub hexateron (snix)	422	2340	4080	2520	360		ht 0,1,2,3 {3,3,3}	ht 0,1,2,3 {3,3,2}	ht 0,1,2,3 {3,2,3}	ht 0,1,2,3 {3,3,2}	ht 0,1,2,3 {3,3,3}	(360) Irr. {3,3,3}

Familjen B ₅

Ytterligare information: B5 polytop

B ₅ - familjen har symmetri av ordningen 3840 (5!×2 ⁵ ).

Denna familj har 2 ⁵ −1=31 Wythoffian enhetliga polytoper genererade genom att markera en eller flera noder i Coxeter-diagrammet . Dessutom läggs till 8 enhetliga polytoper genererade som alternationer med halva symmetrin, som bildar en fullständig duplikat av D ₅ -familjen som ... = ..... (Det finns fler alternationer som inte är listade eftersom de endast producerar upprepningar, som ... = .... och ... = .... Dessa skulle ge en fullständig duplicering av de enhetliga 5-polytoperna numrerade 20 till 34 med symmetri bruten på mitten.)

För enkelhetens skull är den uppdelad i två undergrupper, var och en med 12 former, och 7 "mellanformer" som hör hemma i båda.

5-kubfamiljen av 5-polytoper ges av de konvexa skroven på baspunkterna som anges i följande tabell, med alla permutationer av koordinater och tecken tagna. Varje baspunkt genererar en distinkt enhetlig 5-polytop. Alla koordinater motsvarar enhetliga 5-polytoper med kantlängd 2.

#	Baspunkt	Namn Coxeter diagram	Element räknas					Vertex figur	Fasetträkningar efter plats: [4,3,3,3]
			4	3	2	1	0		[4,3,3] (10)	[4,3,2] (40)	[4,2,3] (80)	[2,3,3] (80)	[3,3,3] (32)	Alt
20	(0,0,0,0,1)√2	5-ortoplex triacontaditeron (tac)	32	80	80	40	10	{3,3,4}	-	-	-	-	{3,3,3}
21	(0,0,0,1,1)√2	Rektifierad 5-ortoplex rätad triacontaditeron (råtta)	42	240	400	240	40	{ }×{3,4}	{3,3,4}	-	-	-	r{3,3,3}
22	(0,0,0,1,2)√2	Trunkerat 5-ortoplex trunkerat triacontaditeron (tot)	42	240	400	280	80	(Octah.pyr)	{3,3,4}	-	-	-	t{3,3,3}
23	(0,0,1,1,1)√2	Birektifierad 5-kub penteractitriacontaditeron (nit) (Birectified 5-ortoplex)	42	280	640	480	80	{4}×{3}	r{3,3,4}	-	-	-	r{3,3,3}
24	(0,0,1,1,2)√2	Kantellerad 5-ortoplex liten romberad triacontaditeron (sart)	82	640	1520	1200	240	Prism-kil	r{3,3,4}	{ }×{3,4}	-	-	rr{3,3,3}
25	(0,0,1,2,2)√2	Bitruncated 5-ortoplex bitruncated triacontaditeron (bittit)	42	280	720	720	240		t{3,3,4}	-	-	-	2t{3,3,3}
26	(0,0,1,2,3)√2	Cantitruncated 5-ortoplex stor romberad triacontaditeron (gart)	82	640	1520	1440	480		t{3,3,4}	{ }×{3,4}	-	-	t 0,1,3 {3,3,3}
27	(0,1,1,1,1)√2	Rektifierad 5-kubbar rätad penteract (rin)	42	200	400	320	80	{3,3}×{ }	r{4,3,3}	-	-	-	{3,3,3}
28	(0,1,1,1,2)√2	Runcinerad 5-ortoplex liten prismaterad triacontaditeron (spat)	162	1200	2160	1440	320		r{4,3,3}	{ }×r{3,4}	{3}×{4}		t 0,3 {3,3,3}
29	(0,1,1,2,2)√2	Bikantellerad 5-kub liten birhomberad penteractitriacontaditeron (sibrant) (Bicantellated 5-ortoplex)	122	840	2160	1920	480		rr{3,3,4}	-	{4}×{3}	-	rr{3,3,3}
30	(0,1,1,2,3)√2	Runcitruncated 5-ortoplex prismatotruncated triacontaditeron (pattit)	162	1440	3680	3360	960		rr{3,3,4}	{ }×r{3,4}	{6}×{4}	-	t 0,1,3 {3,3,3}
31	(0,1,2,2,2)√2	Bitruncated 5-kub bitruncated penteract (bittin)	42	280	720	800	320		2t{4,3,3}	-	-	-	t{3,3,3}
32	(0,1,2,2,3)√2	Runcicantellated 5-ortoplex prismatorhombated triacontaditeron (pirt)	162	1200	2960	2880	960		2t{4,3,3}	{ }×t{3,4}	{3}×{4}	-	t 0,1,3 {3,3,3}
33	(0,1,2,3,3)√2	Bicantitruncated 5-cube great birhombated triacontaditeron (gibrant) (Bicantitruncated 5-ortoplex)	122	840	2160	2400	960		tr{3,3,4}	-	{4}×{3}	-	rr{3,3,3}
34	(0,1,2,3,4)√2	Runcicantitruncated 5-ortoplex great prismated triacontaditeron (gippit)	162	1440	4160	4800	1920		tr{3,3,4}	{ }×t{3,4}	{6}×{4}	-	t 0,1,2,3 {3,3,3}
35	(1,1,1,1,1)	5-kub penteract (pent)	10	40	80	80	32	{3,3,3}	{4,3,3}	-	-	-	-
36	(1,1,1,1,1) + (0,0,0,0,1)√2	Stericated 5-cube small cellated penteractitriacontaditeron (snålt) (stericated 5-ortoplex)	242	800	1040	640	160	Tetr.antiprm	{4,3,3}	{4,3}×{ }	{4}×{3}	{ }×{3,3}	{3,3,3}
37	(1,1,1,1,1) + (0,0,0,1,1)√2	Runcinerad 5-kub liten prismaterad penterakt (span)	202	1240	2160	1440	320		t 0,3 {4,3,3}	-	{4}×{3}	{ }×r{3,3}	r{3,3,3}
38	(1,1,1,1,1) + (0,0,0,1,2)√2	Steritruncated 5-ortoplex celliprismated triacontaditeron (cappin)	242	1520	2880	2240	640		t 0,3 {4,3,3}	{4,3}×{ }	{6}×{4}	{ }×t{3,3}	t{3,3,3}
39	(1,1,1,1,1) + (0,0,1,1,1)√2	Kantellerad 5-kub liten romberad penterakt (sirn)	122	680	1520	1280	320	Prism-kil	rr{4,3,3}	-	-	{ }×{3,3}	r{3,3,3}
40	(1,1,1,1,1) + (0,0,1,1,2)√2	Stericantellated 5-cube cellirhombated penteractitriacontaditeron (carnit) (stericantellated 5-ortoplex)	242	2080	4720	3840	960		rr{4,3,3}	rr{4,3}×{ }	{4}×{3}	{ }×rr{3,3}	rr{3,3,3}
41	(1,1,1,1,1) + (0,0,1,2,2)√2	Runcikantellerad 5-kubbar prismatorhomberad penteract (prin)	202	1240	2960	2880	960		t 0,2,3 {4,3,3}	-	{4}×{3}	{ }×t{3,3}	2t{3,3,3}
42	(1,1,1,1,1) + (0,0,1,2,3)√2	Stericantitruncated 5-ortoplex celligreatorhombated triacontaditeron (cogart)	242	2320	5920	5760	1920		t 0,2,3 {4,3,3}	rr{4,3}×{ }	{6}×{4}	{ }×tr{3,3}	tr{3,3,3}
43	(1,1,1,1,1) + (0,1,1,1,1)√2	Trunkerad 5-kub stympad penteract (tan)	42	200	400	400	160	Tetrah.pyr	t{4,3,3}	-	-	-	{3,3,3}
44	(1,1,1,1,1) + (0,1,1,1,2)√2	Steritrunkerad 5-kubbar celliprismatad triacontaditeron (capt)	242	1600	2960	2240	640		t{4,3,3}	t{4,3}×{ }	{8}×{3}	{ }×{3,3}	t 0,3 {3,3,3}
45	(1,1,1,1,1) + (0,1,1,2,2)√2	Runcitruncated 5-kuber prismatotruncated penteract (pattin)	202	1560	3760	3360	960		t 0,1,3 {4,3,3}	-	{8}×{3}	{ }×r{3,3}	rr{3,3,3}
46	(1,1,1,1,1) + (0,1,1,2,3)√2	Steriruncruncated 5-cube celliprismatotruncated penteractitriacontaditeron (captint) (Steriruncitruncated 5-ortoplex)	242	2160	5760	5760	1920		t 0,1,3 {4,3,3}	t{4,3}×{ }	{8}×{6}	{ }×t{3,3}	t 0,1,3 {3,3,3}
47	(1,1,1,1,1) + (0,1,2,2,2)√2	Cantitruncated 5-kub stor romberad penteract (girn)	122	680	1520	1600	640		tr{4,3,3}	-	-	{ }×{3,3}	t{3,3,3}
48	(1,1,1,1,1) + (0,1,2,2,3)√2	Stericantitruncated 5-cube celligreatorhombated penteract (cogrin)	242	2400	6000	5760	1920		tr{4,3,3}	tr{4,3}×{ }	{8}×{3}	{ }×rr{3,3}	t 0,1,3 {3,3,3}
49	(1,1,1,1,1) + (0,1,2,3,3)√2	Runcicantitruncated 5-kub stor prismat penteract (gippin)	202	1560	4240	4800	1920		t 0,1,2,3 {4,3,3}	-	{8}×{3}	{ }×t{3,3}	tr{3,3,3}
50	(1,1,1,1,1) + (0,1,2,3,4)√2	Omnitruncerad 5-kub stor cellad penteractitriacontaditeron (gacnet) (omnitruncated 5-ortoplex)	242	2640	8160	9600	3840	Irr. {3,3,3}	tr{4,3}×{ }	tr{4,3}×{ }	{8}×{6}	{ }×tr{3,3}	t 0,1,2,3 {3,3,3}
51		5-demikub hemipenteract (hin) =	26	120	160	80	16	r{3,3,3}	h{4,3,3}	-	-	-	-	(16) {3,3,3}
52		Cantic 5-kub Trunkerad hemipenteract (tunn) =	42	280	640	560	160		h 2 {4,3,3}	-	-	-	(16) r{3,3,3}	(16) t{3,3,3}
53		Runcic 5-kub Liten romberad hemipenteract (sirhin) =	42	360	880	720	160		h 3 {4,3,3}	-	-	-	(16) r{3,3,3}	(16) rr{3,3,3}
54		Sterisk 5-kub Liten prismatad hemipenteract (sifin) =	82	480	720	400	80		h{4,3,3}	h{4,3}×{}	-	-	(16) {3,3,3}	(16) t 0,3 {3,3,3}
55		Runcicantic 5-kub Stor romberad hemipenteract (girhin) =	42	360	1040	1200	480		h 2,3 {4,3,3}	-	-	-	(16) 2t{3,3,3}	(16) tr{3,3,3}
56		Stericantic 5-kub Prismatotruncated hemipenteract (pithin) =	82	720	1840	1680	480		h 2 {4,3,3}	h 2 {4,3}×{}	-	-	(16) rr{3,3,3}	(16) t 0,1,3 {3,3,3}
57		Steriruncic 5-kub Prismatorhombated hemipenteract (pirhin) =	82	560	1280	1120	320		h 3 {4,3,3}	h{4,3}×{}	-	-	(16) t{3,3,3}	(16) t 0,1,3 {3,3,3}
58		Steriruncicantic 5-kub Stor prismaterad hemipenterakt (giphin) =	82	720	2080	2400	960		h 2,3 {4,3,3}	h 2 {4,3}×{}	-	-	(16) tr{3,3,3}	(16) t 0,1,2,3 {3,3,3}
Olikformigt		Alternerad runcicantitruncated 5-ortoplex Snub prismatotriacontaditeron (snippit) Snub hemipenteract (snahin) =	1122	6240	10880	6720	960		sr{3,3,4}	sr{2,3,4}	sr{3,2,4}	-	ht 0,1,2,3 {3,3,3}	(960) Irr. {3,3,3}
Olikformigt		Edge-snub 5-orthoplex Pyritosnub penteract (pysnan)	1202	7920	15360	10560	1920		sr 3 {3,3,4}	sr 3 {2,3,4}	sr 3 {3,2,4}	s{3,3}×{ }	ht 0,1,2,3 {3,3,3}	(960) Irr. {3,3}×{ }
Olikformigt		Snub 5-kub Snub penteract (snan)	2162	12240	21600	13440	960		ht 0,1,2,3 {3,3,4}	ht 0,1,2,3 {2,3,4}	ht 0,1,2,3 {3,2,4}	ht 0,1,2,3 {3,3,2}	ht 0,1,2,3 {3,3,3}	(1920) Irr. {3,3,3}

Familjen D ₅

Ytterligare information: D5 polytop

D ₅ - familjen har symmetri av ordningen 1920 (5! x 2 ⁴ ).

Denna familj har 23 Wythoffian enhetliga polytoper, från 3×8-1 permutationer av D ₅ Coxeter diagrammet med en eller flera ringar. 15 (2×8-1) upprepas från B _5- familjen och 8 är unika för denna familj, även om även de 8 duplicerar växlingarna från B ₅ -familjen.

I de 15 upprepningarna ringas båda noderna som avslutar längd-1-grenarna, så de två typerna av element är identiska och symmetrin fördubblas: relationerna är ... = .... och ... = ... , vilket skapar en fullständig duplicering av de enhetliga 5-polytoperna 20 till 34 ovan. De 8 nya formerna har en sådan nod ringad och en inte, med relationen ... = ... duplicerar enhetliga 5-polytoper 51 till 58 ovan.

#	Coxeter diagram Schläfli symbol symboler Johnson och Bowers namn	Element räknas					Vertex figur	Aspekter efter plats: [3 1,2,1 ]
		4	3	2	1	0		[3,3,3] (16)	[3 1,1,1 ] (10)	[3,3]×[ ] (40)	[ ]×[3]×[ ] (80)	[3,3,3] (16)	Alt
[51]	= h{4,3,3,3}, 5-demikub Hemipenteract (hin)	26	120	160	80	16	r{3,3,3}	{3,3,3}	h{4,3,3}	-	-	-
[52]	= h 2 {4,3,3,3}, kantisk 5-kub Trunkerad hemipenterakt (tunn)	42	280	640	560	160		t{3,3,3}	h 2 {4,3,3}	-	-	r{3,3,3}
[53]	= h 3 {4,3,3,3}, runkad 5-kub Liten romberad hemipenterakt (sirhin)	42	360	880	720	160		rr{3,3,3}	h 3 {4,3,3}	-	-	r{3,3,3}
[54]	= h 4 {4,3,3,3}, sterisk 5-kub Liten prismaterad hemipenterakt (sifin)	82	480	720	400	80		t 0,3 {3,3,3}	h{4,3,3}	h{4,3}×{}	-	{3,3,3}
[55]	= h 2,3 {4,3,3,3}, runcicantic 5-kub Stor romberad hemipenterakt (girhin)	42	360	1040	1200	480		2t{3,3,3}	h 2,3 {4,3,3}	-	-	tr{3,3,3}
[56]	= h 2,4 {4,3,3,3}, sterikantisk 5-kub Prismatotruncated hemipenteract (pithin)	82	720	1840	1680	480		t 0,1,3 {3,3,3}	h 2 {4,3,3}	h 2 {4,3}×{}	-	rr{3,3,3}
[57]	= h 3,4 {4,3,3,3}, steriruncic 5-kub Prismatorhombated hemipenteract (pirhin)	82	560	1280	1120	320		t 0,1,3 {3,3,3}	h 3 {4,3,3}	h{4,3}×{}	-	t{3,3,3}
[58]	= h 2,3,4 {4,3,3,3}, steriruncicantic 5-kub Stor prismaterad hemipenterakt (giphin)	82	720	2080	2400	960		t 0,1,2,3 {3,3,3}	h 2,3 {4,3,3}	h 2 {4,3}×{}	-	tr{3,3,3}
Olikformigt	= ht 0,1,2,3 {3,3,3,4}, alternerad runcicantitruncerad 5-ortoplex Snub hemipenteract (snahin)	1122	6240	10880	6720	960		ht 0,1,2,3 {3,3,3}	sr{3,3,4}	sr{2,3,4}	sr{3,2,4}	ht 0,1,2,3 {3,3,3}	(960) Irr. {3,3,3}

Enhetliga prismatiska former

Det finns 5 ändliga kategoriska enhetliga prismatiska familjer av polytoper baserade på de icke-prismatiska enhetliga 4-polytoperna . För enkelhetens skull visas inte de flesta alternativen.

A ₄ × A ₁

Denna prismatiska familj har 9 former :

A . ₁ x A ₄ -familjen har symmetri av storleksordningen 240 (2*5!)

#	Coxeter diagram och Schläfli symboler Namn	Element räknas
		Fasett	Celler	Ansikten	Kanter	Vertices
59	= {3,3,3}×{ } 5-cellsprisma (penp)	7	20	30	25	10
60	= r{3,3,3}×{ } Riktat 5-cellsprisma (rappip)	12	50	90	70	20
61	= t{3,3,3}×{ } Trunkerat 5-cellsprisma (tippip)	12	50	100	100	40
62	= rr{3,3,3}×{ } Kantellerat 5-cellsprisma (srippip)	22	120	250	210	60
63	= t 0,3 {3,3,3}×{ } Runcinerat 5-cellsprisma (spiddip)	32	130	200	140	40
64	= 2t{3,3,3}×{ } Bitrunkerat 5-cellsprisma (decap)	12	60	140	150	60
65	= tr{3,3,3}×{ } Cantitruncated 5-cells prisma (grippip)	22	120	280	300	120
66	= t 0,1,3 {3,3,3}×{ } Runcitruncated 5-cellsprisma (prippip)	32	180	390	360	120
67	= t 0,1,2,3 {3,3,3}×{ } Omnitruncated 5-cellsprisma (gippiddip)	32	210	540	600	240

B ₄ × A ₁

Denna prismatiska familj har 16 former . (Tre delas med familjen [3,4,3]×[ ])

A . ₁ ×B ₄ -familjen har symmetri av storleksordningen 768 (2 ⁵ 4!)

De sista tre avstötningarna kan realiseras med lika långa kanter, men blir olikformiga ändå eftersom vissa av deras 4-ytor inte är enhetliga 4-polytoper.

#	Coxeter diagram och Schläfli symboler Namn	Element räknas
		Fasett	Celler	Ansikten	Kanter	Vertices
[16]	= {4,3,3}×{ } Tesseraktiskt prisma (pent) (samma som 5-kub )	10	40	80	80	32
68	= r{4,3,3}×{ } Riktat tesserasprisma (rittspets)	26	136	272	224	64
69	= t{4,3,3}×{ } Trunkerat tesseraktiskt prisma (tattip)	26	136	304	320	128
70	= rr{4,3,3}×{ } Kantellerat tesseraktiskt prisma (srittip)	58	360	784	672	192
71	= t 0,3 {4,3,3}×{ } Runcinerat tesserasprisma (sidpithip)	82	368	608	448	128
72	= 2t{4,3,3}×{ } Bitrunkerat tesseraktiskt prisma (tahp)	26	168	432	480	192
73	= tr{4,3,3}×{ } Cantitruncated tesseractic prisma (grittop)	58	360	880	960	384
74	= t 0,1,3 {4,3,3}×{ } Runcitruncated tesseractic prisma (prohp)	82	528	1216	1152	384
75	= t 0,1,2,3 {4,3,3}×{ } Omnitruncated tesseractic prisma (gidpithip)	82	624	1696	1920	768
76	= {3,3,4}×{ } 16-cellsprisma (hexip)	18	64	88	56	16
77	= r{3,3,4}×{ } Riktat 16-cellsprisma (icope) (samma som 24-cellsprisma )	26	144	288	216	48
78	= t{3,3,4}×{ } Trunkerat 16-cellsprisma (thexip)	26	144	312	288	96
79	= rr{3,3,4}×{ } Kantellerat 16-cellsprisma (ricope) (Samma som likriktat 24-cellsprisma )	50	336	768	672	192
80	= tr{3,3,4}×{ } Cantitruncated 16-cells prisma (ticope) (Samma som trunkerat 24-cells prisma )	50	336	864	960	384
81	= t 0,1,3 {3,3,4}×{ } Runcitruncated 16-cellsprisma (prittip)	82	528	1216	1152	384
82	= sr{3,3,4}×{ } snub 24-cellsprisma (sadip)	146	768	1392	960	192
Olikformigt	korrigerad tesseraktisk alterprisma (rita)	50	288	464	288	64
Olikformigt	trunkerad 16-cells alterprisma (thexa)	26	168	384	336	96
Olikformigt	bitruncated tesseractic alterprism (taha)	50	288	624	576	192

F ₄ × A ₁

Denna prismatiska familj har 10 former .

A . ₁ x F ₄ -familjen har symmetri av ordningen 2304 (2*1152) Tre polytoper 85, 86 och 89 (grön bakgrund) har dubbel symmetri [[3,4,3],2], ordning 4608. Den sista, snubbla 24-cellsprisma, (blå bakgrund) har [3 + , ⁴ , 3,2] symmetri, order 1152.

#	Coxeter diagram och Schläfli symboler Namn	Element räknas
		Fasetter	Celler	Ansikten	Kanter	Vertices
[77]	= {3,4,3}×{ } 24-cellsprisma (icope)	26	144	288	216	48
[79]	= r{3,4,3}×{} rätat 24-cellsprisma (rikop)	50	336	768	672	192
[80]	= t{3,4,3}×{ } trunkerat 24-cellsprisma (ticop)	50	336	864	960	384
83	= rr{3,4,3}×{ } kantellerat 24-cellsprisma (sricope)	146	1008	2304	2016	576
84	= t 0,3 {3,4,3}×{ } runcinerat 24-cellsprisma (spiccup)	242	1152	1920	1296	288
85	= 2t{3,4,3}×{ } bitrunkerat 24-cellsprisma (contip)	50	432	1248	1440	576
86	= tr{3,4,3}×{ } cantitruncated 24-cells prisma (gricope)	146	1008	2592	2880	1152
87	= t 0,1,3 {3,4,3}×{ } runcitruncated 24-cellsprisma (pricope)	242	1584	3648	3456	1152
88	= t 0,1,2,3 {3,4,3}×{ } omnitruncerat 24-cellsprisma (gippiccup)	242	1872	5088	5760	2304
[82]	= s{3,4,3}×{ } snub 24-cells prisma (sadip)	146	768	1392	960	192

H ₄ × A ₁

Denna prismatiska familj har 15 former :

Familjen A ₁ x H ₄ . har symmetri av storleksordningen 28800 (2*14400)

#	Coxeter diagram och Schläfli symboler Namn	Element räknas
		Fasetter	Celler	Ansikten	Kanter	Vertices
89	= {5,3,3}×{ } 120-cells prisma (höft)	122	960	2640	3000	1200
90	= r{5,3,3}×{ } Riktat 120-cellsprisma (rahipe)	722	4560	9840	8400	2400
91	= t{5,3,3}×{ } Trunkerat 120-cellsprisma (topp)	722	4560	11040	12 000	4800
92	= rr{5,3,3}×{ } Kantellerat 120-cellsprisma (srahip)	1922	12960	29040	25200	7200
93	= t 0,3 {5,3,3}×{ } Runcinerat 120-cellsprisma (sidpixhip)	2642	12720	22080	16800	4800
94	= 2t{5,3,3}×{ } Bitrunkerat 120-cellsprisma (xhip)	722	5760	15840	18 000	7200
95	= tr{5,3,3}×{ } Cantitruncated 120-cells prisma (grahip)	1922	12960	32640	36 000	14400
96	= t 0,1,3 {5,3,3}×{ } Runcitruncated 120-cells prisma (prixip)	2642	18720	44880	43200	14400
97	= t 0,1,2,3 {5,3,3}×{ } Omnitruncated 120-cells prisma (gidpixhip)	2642	22320	62880	72 000	28800
98	= {3,3,5}×{ } 600-cells prisma (exip)	602	2400	3120	1560	240
99	= r{3,3,5}×{ } Riktat 600-cellsprisma (roxip)	722	5040	10800	7920	1440
100	= t{3,3,5}×{ } Trunkerat 600-cells prisma (texip)	722	5040	11520	10080	2880
101	= rr{3,3,5}×{ } Kantellerat 600-cells prisma (srixip)	1442	11520	28080	25200	7200
102	= tr{3,3,5}×{ } Cantitruncated 600-cells prisma (grixip)	1442	11520	31680	36 000	14400
103	= t 0,1,3 {3,3,5}×{ } Runcitruncated 600-cells prisma (prahip)	2642	18720	44880	43200	14400

Duoprism prismor

Uniforma duoprismprismor, { p }×{ q }×{ }, bildar en oändlig klass för alla heltal p , q >2. {4}×{4}×{ } gör en lägre symmetriform av 5-kuben .

Coxeter diagram	Namn	Element räknas
		4-ansikten	Celler	Ansikten	Kanter	Vertices
	{ p }×{ q }×{ }	p + q +2	3 pq +3 p +3 q	4 pq +2 p +2 q	5 pq	2 pq
	{ p } 2 × { }	2( p +1)	3 p ( p +1)	4 p ( p +1)	5 p 2	2 p 2
	{3} 2 ×{ }	8	36	48	45	18
	{4} 2 ×{ } = 5-kub	10	40	80	80	32

Stora antiprisma prisma

Det stora antiprismatprismat är den enda kända konvexa icke-wythoffska enhetliga 5-polytopen. Den har 200 vertikaler, 1100 kanter, 1940 ansikten (40 pentagoner, 500 rutor, 1400 trianglar), 1360 celler (600 tetrahedra , 40 pentagonala antipler , 700 triangulära prismor , 20 pentagonala prismor ) och 322 hypercells (2 Grand Antiprism , 700 pentagonal , 20 pentagonal antiprismor och 300 tetraedriska prismor ) .

#	namn	Element räknas
		Fasetter	Celler	Ansikten	Kanter	Vertices
104	grand antiprisma prisma (gappip)	322	1360	1940	1100	200

Anteckningar om Wythoff-konstruktionen för de enhetliga 5-polytoperna

Konstruktionen av de reflekterande 5-dimensionella likformiga polytoperna görs genom en Wythoff-konstruktionsprocess och representeras genom ett Coxeter-diagram , där varje nod representerar en spegel. Noder ringas för att antyda vilka speglar som är aktiva. Hela uppsättningen av enhetliga polytoper som genereras är baserade på de unika permutationerna av ringade noder. Uniforma 5-polytoper benämns i förhållande till de vanliga polytoperna i varje familj. Vissa familjer har två vanliga konstruktörer och kan därför ha två sätt att namnge dem.

Här är de primära operatorerna som är tillgängliga för att konstruera och namnge de enhetliga 5-polytoperna.

Den sista operationen, snubben, och mer allmänt alterneringen, är operationen som kan skapa icke-reflekterande former. Dessa är ritade med "ihåliga ringar" vid noderna.

De prismatiska formerna och förgrenade graferna kan använda samma trunkeringsindexeringsnotation, men kräver ett explicit numreringssystem på noderna för tydlighetens skull.

Drift	Utökad Schläfli-symbol		Coxeter diagram	Beskrivning
Förälder	0 t {p,q,r,s}	{p,q,r,s}		Vilken vanlig 5-polytop som helst
Rättad till	t 1 {p,q,r,s}	r{p,q,r,s}		Kanterna är helt trunkerade till enstaka punkter. 5-polytopen har nu de kombinerade ansiktena av förälder och dubbel.
Birectified	t 2 {p,q,r,s}	2r{p,q,r,s}		Birektifiering reducerar ansikten till punkter, celler till sina dualer .
Trekorrigerad	t 3 {p,q,r,s}	3r{p,q,r,s}		Trirectification reducerar celler till poäng. (Dubbel rättelse)
Fyrriktad	t 4 {p,q,r,s}	4r{p,q,r,s}		Fyrrättning reducerar 4-ansikten till poäng. (Dubbel)
Trunkerad	t 0,1 {p,q,r,s}	t{p,q,r,s}		Varje ursprunglig vertex skärs av, med ett nytt ansikte som fyller gapet. Trunkering har en grad av frihet, som har en lösning som skapar en enhetlig trunkerad 5-polytop. 5-polytopen har sina ursprungliga ytor dubblerade på sidorna och innehåller sidorna av dualen.
Kantellerad	t 0,2 {p,q,r,s}	rr{p,q,r,s}		Förutom vertexstympning är varje originalkant avfasad med nya rektangulära ytor som dyker upp på deras plats.
Runcinerad	t 0,3 {p,q,r,s}			Runcination reducerar celler och skapar nya celler vid hörn och kanter.
Sterikerad	t 0,4 {p,q,r,s}	2r2r{p,q,r,s}		Sterikering minskar fasetter och skapar nya fasetter (hyperceller) vid hörn och kanter i mellanrummen. (Samma som expansionsoperation för 5-polytoper.)
Omnitruncerad	t 0,1,2,3,4 {p,q,r,s}			Alla fyra operatorerna trunkering, kantellering, runcinering och sterikering tillämpas.
Halv	h{2p,3,q,r}			Alternering , samma som
Cantic	h 2 {2p,3,q,r}			Samma som
Runcic	h 3 {2p,3,q,r}			Samma som
Runcicantic	h 2,3 {2p,3,q,r}			Samma som
Sterisk	h 4 {2p,3,q,r}			Samma som
Steriruncic	h 3,4 {2p,3,q,r}			Samma som
Sterikantiskt	h 2,4 {2p,3,q,r}			Samma som
Steriruncicantic	h 2,3,4 {2p,3,q,r}			Samma som
Nonchalera	s{p,2q,r,s}			Alternerad trunkering
Snub rättad	sr{p,q,2r,s}			Omväxlande trunkerad rättelse
	ht 0,1,2,3 {p,q,r,s}			Alternerad runcicantruncation
Full snubb	ht 0,1,2,3,4 {p,q,r,s}			Alternerad omnitrunkation

Regelbundna och enhetliga bikakor

Coxeter diagram överensstämmelse mellan familjer och högre symmetri inom diagram. Noder av samma färg i varje rad representerar identiska speglar. Svarta noder är inte aktiva i korrespondensen.

Det finns fem grundläggande affina Coxeter-grupper och 13 prismatiska grupper som genererar regelbundna och enhetliga tesselleringar i euklidiskt 4-rum.

Grundläggande grupper

#	Coxeter grupp			Coxeter diagram	Blanketter
1	${\tilde {A}}_{4}$	[3 [5] ]	[(3,3,3,3,3)]		7
2	${\tilde {C}}_{4}$	[4,3,3,4]			19
3	${\tilde {B}}_{4}$	[4,3,3 1,1 ]	[4,3,3,4,1 + ]	=	23 (8 nya)
4	${\tilde {D}}_{4}$	[3 1,1,1,1 ]	[1 + ,4,3,3,4,1 + ]	=	9 (0 nya)
5	${\tilde {F}}_{4}$	[3,4,3,3]			31 (21 nya)

Det finns tre vanliga bikakor av Euklidisk 4-utrymme:

• tesseractic honeycomb , med symbolerna {4,3,3,4}, = . Det finns 19 enhetliga honeycombs i denna familj.
• 24-cells honungskaka , med symbolerna {3,4,3,3}, . Det finns 31 reflekterande enhetliga bikakor i denna familj, och en omväxlande form.
  • Stympad 24-cells honungskaka med symbolerna t{3,4,3,3},
  • Snub 24-cells honeycomb , med symbolerna s{3,4,3,3}, och konstruerad av fyra snub 24-celler , en 16-cell och fem 5-celler vid varje vertex.
• 16-cells honungskaka , med symbolerna {3,3,4,3},

Andra familjer som genererar enhetliga bikakor:

• Det finns 23 unikt ringade former, 8 nya i 16-cells bikakefamiljen. Med symbolerna h{4,3 ^{2 ,} 4} är ​​den geometriskt identisk med den 16-celliga bikakan , =
• Det finns 7 unikt ringade former från ${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}},$ familjen , helt nya, inklusive:
  • 4-simplex honungskaka
  • Stympad 4-simplex honungskaka
  • Omnitruncerad 4-simplex honungskaka
• Det finns 9 unikt ringade former i ${\tilde {D}}_{4}$ : [3 ^1,1,1,1 ] familjen, två nya, inklusive den fjärde tesseractic honeycomb , = , och den bitrunkerade tesseraktiska honungskakan , = .

Icke-wythoffska likformiga tesselleringar i 4-utrymme existerar också genom förlängning (införande av skikt) och gyration (roterande skikt) från dessa reflekterande former.

Prismatiska grupper

#	Coxeter grupp		Coxeter diagram
1	${\tilde {C}}_{3}$ × ${\tilde {I}}_{1}$	[4,3,4,2,∞]
2	${\tilde {B}}_{3}$ × ${\tilde {I}}_{1}$	[4,3 1,1 ,2,∞]
3	${\tilde {A}}_{3}$ × ${\tilde {I}}_{1}$	[3 [4] , 2,∞]
4	${\tilde {C}}_{2}$ × ${\tilde {I}}_{1}$ x ${\tilde {I} }_{1}$	[4,4,2,∞,2,∞]
5	${\tilde {H}}_{2}$ × ${\tilde {I}}_{1}$ x ${\tilde {I} }_{1}$	[6,3,2,∞,2,∞]
6	${\tilde {A}}_{2}$ × ${\tilde {I}}_{1}$ x ${\tilde {I} }_{1}$	[3 [3] ,2,∞,2,∞]
7	${\tilde {I}}_{1}$ × ${\tilde {I}}_{1}$ x ${\tilde {I} }_{1}$ x ${\tilde {I}}_{1}$	[∞,2,∞,2,∞,2,∞]
8	${\tilde {A}}_{2}$ x ${\tilde {A}}_{2}$	[3 [3] ,2,3 [3] ]
9	${\tilde {A}}_{2}$ × ${\tilde {B}}_{2}$	[3 [3] ,2,4,4]
10	${\tilde {A}}_{2}$ × ${\tilde {G}}_{2}$	[3 [3] ,2,6,3]
11	${\tilde {B}}_{2}$ × ${\tilde {B}}_{2}$	[4,4,2,4,4]
12	${\tilde {B}}_{2}$ × ${\tilde {G}}_{2}$	[4,4,2,6,3]
13	${\tilde {G}}_{2}$ × ${\tilde {G}}_{2}$	[6,3,2,6,3]

Regelbundna och enhetliga hyperboliska bikakor

Hyperboliska kompakta grupper

Det finns 5 kompakta hyperboliska Coxeter-grupper av rang 5, som var och en genererar enhetliga bikakor i hyperboliskt 4-utrymme som permutationer av ringar i Coxeter-diagrammen.

${\widehat {AF}}_{4}$ = [(3,3,3,3,4)]:

${\bar {DH}}_{4}$ = [5,3,3 1,1 ]:

${\bar {H}}_{4}$ = [3,3,3,5]: ${\bar {BH}}_{4}$ = [4,3,3,5]: ${\bar {K}}_{4}$ = [ 5,3,3,5]:

Det finns 5 vanliga kompakta konvexa hyperboliska bikakor i H ⁴ -utrymmet:

Kompakta vanliga konvexa hyperboliska bikakor

Honeycomb namn	Schläfli -symbol {p,q,r,s}	Coxeter diagram	Fasetttyp {p,q,r }	Celltyp {p,q }	Ansiktstyp { p}	Ansiktsfigur {s }	Kantfigur {r,s }	Hönsfigur {q,r , s}	Dubbel
Order-5 5-celler (pente)	{3,3,3,5}		{3,3,3}	{3,3}	{3}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	{5,3,3,3}
Order-3 120-cell (hitte)	{5,3,3,3}		{5,3,3}	{5,3}	{5}	{3}	{3,3}	{3,3,3}	{3,3,3,5}
Order-5 tesseractic (pitest)	{4,3,3,5}		{4,3,3}	{4,3}	{4}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	{5,3,3,4}
Order-4 120-celler (shit)	{5,3,3,4}		{5,3,3}	{5,3}	{5}	{4}	{3,4}	{3,3,4}	{4,3,3,5}
Order-5 120-celler (phitte)	{5,3,3,5}		{5,3,3}	{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	Självdubbel

Det finns också 4 vanliga kompakta hyperboliska stjärnbikakor i H ⁴ -utrymmet:

Kompakta vanliga hyperboliska stjärnhoneycombs

Honeycomb namn	Schläfli -symbol {p,q,r,s}	Coxeter diagram	Fasetttyp {p,q , r}	Celltyp {p,q }	Ansiktstyp { p}	Ansiktsfigur {s }	Kantfigur {r,s }	Hönsfigur {q,r , s}	Dubbel
Order-3 små stellerade 120-celler	{5/2,5,3,3}		{5/2,5,3}	{5/2,5}	{5}	{5}	{3,3}	{5,3,3}	{3,3,5,5/2}
Order-5/2 600-cell	{3,3,5,5/2}		{3,3,5}	{3,3}	{3}	{5/2}	{5,5/2}	{3,5,5/2}	{5/2,5,3,3}
Order-5 icosahedral 120-cell	{3,5,5/2,5}		{3,5,5/2}	{3,5}	{3}	{5}	{5/2,5}	{5,5/2,5}	{5,5/2,5,3}
Order-3 stora 120-celler	{5,5/2,5,3}		{5,5/2,5}	{5,5/2}	{5}	{3}	{5,3}	{5/2,5,3}	{3,5,5/2,5}

Hyperboliska parakompakta grupper

Det finns 9 parakompakta hyperboliska Coxeter-grupper av rang 5, som var och en genererar enhetliga bikakor i 4-mellanrum som permutationer av ringar i Coxeter-diagrammen. Paracompact-grupper genererar bikakor med oändliga facetter eller vertexfigurer .

${\bar {P}}_{4}$ = [3,3 [4] ]: ${\bar {BP}}_{4}$ = [4,3 [4] ]: ${\bar {FR}}_{4}$ = [ (3,3,4,3,4)]: ${\bar {DP}}_{4}$ = [3 [3]×[] ]:

${\bar {N}}_{4}$ = [4,/3\,3,4]: ${\bar {O}}_{4}$ = [3,4,3 1,1 ]: ${\bar {S}}_{4}$ = [4,3 2,1 ]: ${\bar {M }}_{4}$ = [4,3 1,1,1 ]:

${\bar {R}}_{4}$ = [3,4,3,4]:

Anteckningar

• T. Gosset : On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions , Messenger of Mathematics , Macmillan, 1900 (3 reguljära och en semiregular 4-polytop)
• A. Boole Stott : Geometrisk deduktion av semiregular från vanliga polytoper och rymdfyllningar , Verhandelingen av Koninklijke academy van Wetenschappen width unit Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
• HSM Coxeter :
  • HSM Coxeter , Regular Polytopes , 3:e upplagan, Dover New York, 1973 (sid. 297 Grundläggande regioner för irreducerbara grupper genererade av reflektioner, sfäriska och euklidiska)
  • HSM Coxeter , The Beauty of Geometry: Tolv uppsatser (Kapitel 10: Regelbundna bikakor i hyperboliskt utrymme, Sammanfattningstabeller IV s213)
•   Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , redigerad av F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  • (Papper 22) HSM Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  • (Papper 23) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591] (s. 287 5D Euklidiska grupper, s. 298 Fyrdimensionella honeycombs)
  • (Papper 24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• NW Johnson : Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs , Ph.D. Avhandling, University of Toronto, 1966
• James E. Humphreys, Reflection Groups and Coxeter Groups , Cambridge studies in advanced mathematics, 29 (1990) (Sida 141, 6.9 Lista över hyperboliska Coxeter-grupper, figur 2) [2 ]

externa länkar

• Klitzing, Richard. "5D enhetliga polytoper (polytera)" . – inkluderar icke-konvexa former samt dubbla konstruktioner från familjerna B ₅ och D ₅

Fundamentala konvexa regelbundna och enhetliga bikakor i dimensionerna 2–9
Plats	Familj	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\tilde {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / ${\tilde {F}}_{4}$ / ${\tilde { E}}_{n-1}$
E 2	Enhetlig plattsättning	{3 [3] }	δ 3	hδ 3	qδ 3	Hexagonal
E 3	Enhetlig konvex bikaka	{3 [4] }	δ 4	hδ 4	qδ 4
E 4	Uniform 4-honeycomb	{3 [5] }	δ 5	hδ 5	qδ 5	24-cells honungskaka
E 5	Uniform 5-bikaka	{3 [6] }	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	Uniform 6-honeycomb	{3 [7] }	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	Uniform 7-honeycomb	{3 [8] }	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E 8	Uniform 8-honeycomb	{3 [9] }	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	Uniform 9-honeycomb	{3 [10] }	δ 10	hδ 10	qδ 10
E 10	Uniform 10-honeycomb	{3 [11] }	δ 11	hδ 11	qδ 11
E n -1	Uniform ( n -1)- honeycomb	{3 [n] }	5 n	hδ n	qδ n	1 k2 • 2 k1 • k 21