8-kub

8-kubers Octeract
Ortogonal projektion inuti Petrie polygon
Typ	Vanlig 8-polytop
Familj	hyperkub
Schläfli symbol	{4,3 6 }
Coxeter-Dynkin diagram
7-ansikten	16 {4,3 5 }
6-ansikten	112 {4,3 4 }
5-ansikten	448 {4,3 3 }
4-ansikten	1120 {4,3 2 }
Celler	1792 {4,3}
Ansikten	1792 {4}
Kanter	1024
Vertices	256
Vertex figur	7-simplex
Petrie polygon	hexadekagon
Coxeter grupp	C8 , [3 6,4 ]
Dubbel	8-ortoplex
Egenskaper	konvex , Hanner polytop

I geometri är en 8-kub en åttadimensionell hyperkub . Den har 256 hörn , 1024 kanter , 1792 kvadratiska ytor , 1792 kubiska celler , 1120 tesserakt 4-sidor , 448 5-kuber 5-sidor , 112 6-kuber 6-sidor och 16 7 -kuber .

Den representeras av Schläfli-symbolen {4,3 ⁶ }, som består av 3 7-kuber runt varje 6-sida. Det kallas en octeract , en portmanteau av tesseract ( 4-kuben ) och okt för åtta (dimensioner) på grekiska . Det kan också kallas en vanlig hexdeca-8-top eller hexadecazetton , som är en 8-dimensionell polytop konstruerad av 16 vanliga fasetter .

Det är en del av en oändlig familj av polytoper, kallade hyperkuber . Dualen av en 8-kub kan kallas en 8-ortoplex och är en del av den oändliga familjen av korspolytoper .

kartesiska koordinater

Kartesiska koordinater för hörn av en 8-kub centrerad vid origo och kantlängd 2 är

(±1,±1,±1,±1,±1,±1,±1,±1)

₀ medan det inre av densamma består av alla punkter (x , x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ , x ₅ , x ₆ , x ₇ ) med -1 < x _i < 1.

Som en konfiguration

Denna konfigurationsmatris representerar 8-kuben. Raderna och kolumnerna motsvarar hörn, kanter, ytor, celler, 4-ytor, 5-ytor, 6-ytor och 7-ytor. Diagonaltalen säger hur många av varje element som förekommer i hela 8-kuben. De icke-diagonala talen säger hur många av kolumnens element som förekommer i eller vid radens element.

${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}256&8&28&56&70&56&28&8\\2&1024&7&21&35&35&21&7\\4&4&1792&6&15&20&15&6\\8&12&6&1792&5&10&10&5\\16&32&24&8&1120&4&6&4\\32&80&80&40&10&448&3&3\\64&192&240&160&60&12&112&2\\128&448&672&560&280&84&14&16\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

De diagonala f- vektortalen härleds genom Wythoff-konstruktionen , som dividerar hela gruppordningen för en undergruppsordning genom att ta bort en spegel åt gången.

B 8		k-ansikte	f k	f0	f 1	f 2	f 3	f 4	f 5	f 6	f 7	k -figur	anteckningar
En 7		( )	f0	256	8	28	56	70	56	28	8	{3,3,3,3,3,3}	B 8 /A 7 = 2^8*8!/8! = 256
A 6 A 1		{ }	f 1	2	1024	7	21	35	35	21	7	{3,3,3,3,3}	B 8 /A 6 A 1 = 2^8*8!/7!/2 = 1024
A 5 B 2		{4}	f 2	4	4	1792	6	15	20	15	6	{3,3,3,3}	B 8 /A 5 B 2 = 2^8*8!/6!/4/2 = 1792
A 4 B 3		{4,3}	f 3	8	12	6	1792	5	10	10	5	{3,3,3}	B 8 /A 4 B 3 = 2^8*8!/5!/8/3! = 1792
A 3 B 4		{4,3,3}	f 4	16	32	24	8	1120	4	6	4	{3,3}	B 8 /A 3 B 4 = 2^8*8!/4!/2^4/4! = 1120
A 2 B 5		{4,3,3,3}	f 5	32	80	80	40	10	448	3	3	{3}	B 8 /A 2 B 5 = 2^8*8!/3!/2^5/5! = 448
A 1 B 6		{4,3,3,3,3}	f 6	64	192	240	160	60	12	112	2	{ }	B 8 /A 1 B 6 = 2^8*8!/2/2^6/6!= 112
B 7		{4,3,3,3,3,3}	f 7	128	448	672	560	280	84	14	16	( )	B 8 /B 7 = 2^8*8!/2^7/7! = 16

Projektioner

Denna 8-kubsgraf är en ortogonal projektion . Denna orientering visar kolumner av hörn placerade ett avstånd från en vertex till vänster till en hörn till höger, och kanter som fäster angränsande kolumner av hörn. Antalet hörn i varje kolumn representerar rader i Pascals triangel , som är 1:8:28:56:70:56:28:8:1.

ortografiska projektioner

B 8			B 7
[16]			[14]
B 6			B 5
[12]			[10]
B 4		B 3		B 2
[8]		[6]		[4]
En 7		En 5		A 3
[8]		[6]		[4]

Härledda polytoper

Genom att tillämpa en alterneringsoperation , ta bort alternerande hörn av okterakten, skapas en annan enhetlig polytop , kallad en 8-demikub , (del av en oändlig familj som kallas demihyperkuber ), som har 16 demihepteraktiska och 128 8-simplexa aspekter.

Besläktade polytoper

8 -kuben är 8:e i en oändlig serie av hyperkuber :

Petrie polygon ortografiska projektioner

Linjesegmentet	Fyrkant	Kub	4-kub	5-kub	6-kub	7-kub	8-kub

• HSM Coxeter :
  •   Coxeter, Regular Polytopes , (3:e upplagan, 1973), Dover-upplagan, ISBN 0-486-61480-8 , sid. 296, Tabell I (iii): Regelbundna polytoper, tre vanliga polytoper i n-dimensioner (n≥5)
  •   Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , redigerad av F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
    • (Papper 22) HSM Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (Papper 23) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Papper 24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Norman Johnson Uniform Polytopes , Manuscript (1991)
  • NW Johnson: Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs , Ph.D. (1966)
• Klitzing, Richard. "8D enhetliga polytoper (polyzetta) o3o3o3o3o3o3o4x - octo" .

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Hypercube" . MathWorld .
• Olshevsky, George. "Mät polytop" . Ordlista för Hyperspace . Arkiverad från originalet den 4 februari 2007.
• Flerdimensionell ordlista: hyperkub Garrett Jones