Uniform 10-polytop

Grafer över tre regelbundna och relaterade enhetliga polytoper .

10-simplex				Trunkerad 10-simplex				Rättad 10-simplex
Kantellerad 10-simplex						Runcinerad 10-simplex
Stericerad 10-simplex				Pentellerad 10-simplex				Hexicerad 10-simplex
Heptellerad 10-simplex				Oktellerad 10-simplex				Enskild 10-simplex
10-ortoplex				Trunkerad 10-ortoplex				Rättad 10-ortoplex
10-kub				Stympad 10-kub				Rättad 10-kub
10-demikub						Stympad 10-demikub

I tiodimensionell geometri är en 10-polytop en 10-dimensionell polytop vars gräns består av 9- polytopfasetter , exakt två sådana fasetter som möts vid varje 8- polytopås .

En enhetlig 10-polytop är en som är vertextransitiv och konstruerad av enhetliga fasetter .

Vanliga 10-polytoper

Vanliga 10-polytoper kan representeras av Schläfli-symbolen {p,q,r,s,t,u,v,w,x}, med x {p,q,r,s,t,u,v,w} 9-polytopfasetter runt varje topp .

Det finns exakt tre sådana konvexa vanliga 10-polytoper :

1. {3,3,3,3,3,3,3,3,3} - 10-simplex
2. {4,3,3,3,3,3,3,3,3} - 10-kub
3. {3,3,3,3,3,3,3,3,4} - 10-ortoplex

Det finns inga icke-konvexa vanliga 10-polytoper.

Euler-karaktär

Topologin för en given 10-polytop definieras av dess Betti-tal och torsionskoefficienter .

Värdet på Euler-karaktäristiken som används för att karakterisera polyedrar generaliserar inte användbart till högre dimensioner och är noll för alla 10-polytoper, oavsett deras underliggande topologi. Denna otillräcklighet hos Euler-egenskapen för att tillförlitligt skilja mellan olika topologier i högre dimensioner ledde till upptäckten av de mer sofistikerade Betti-talen.

På liknande sätt är begreppet orienterbarhet för en polyeder otillräcklig för att karakterisera ytvridningarna av toroidformade polytoper, och detta ledde till användningen av torsionskoefficienter.

Uniforma 10-polytoper av grundläggande Coxeter-grupper

Uniforma 10-polytoper med reflekterande symmetri kan genereras av dessa tre Coxeter-grupper, representerade av permutationer av ringar i Coxeter- Dynkin-diagrammen :

#	Coxeter grupp		Coxeter-Dynkin diagram
1	10: a	[3 9 ]
2	B 10	[4,3 8 ]
3	D 10	[3 7,1,1 ]

Utvalda vanliga och enhetliga 10-polytoper från varje familj inkluderar:

1. Simplexfamilj : A ₁₀ [3 ⁹ ] -
   • 527 enhetliga 10-polytoper som permutationer av ringar i gruppdiagrammet, inklusive en regelbunden:
     1. {3 ⁹ } - 10-simplex -
2. Hyperkub / ortoplexfamilj : B ₁₀ [4,3 ⁸ ] -
   • 1023 enhetliga 10-polytoper som permutationer av ringar i gruppdiagrammet, inklusive två vanliga:
     1. {4,3 ⁸ } - 10-kub eller dekeract -
     2. {3 ⁸ ,4} - 10-ortoplex eller decacross -
     3. h{4,3 ⁸ } - 10-demikub .
3. Demihypercube D ₁₀ familj: [3 ^7,1,1 ] -
   • 767 enhetliga 10-polytoper som permutationer av ringar i gruppdiagrammet, inklusive:
     1. 1 _7,1 - 10-demicube eller demidekeract -
     2. 7 _1,1 - 10-ortoplex -

Familjen A ₁₀

A _10- familjen har symmetri av ordningen 39 916 800 (11 factorial ).

Det finns 512+16-1=527 former baserade på alla permutationer av Coxeter-Dynkin-diagrammen med en eller flera ringar. 31 visas nedan: alla en och två ringade former, och den slutliga omnitruncerade formen. Bowers-liknande akronymnamn anges inom parentes för korsreferenser.

#	Graf	Coxeter-Dynkin diagram Schläfli symbol Namn	Element räknas
			9-ansikten	8-ansikten	7-ansikten	6-ansikten	5-ansikten	4-ansikten	Celler	Ansikten	Kanter	Vertices
1		0 t {3,3,3,3,3,3,3,3,3} 10-simplex (ux)	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11
2		t 1 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Rättad 10-simplex (ru)									495	55
3		t 2 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Birektifierad 10-simplex (bru)									1980	165
4		t 3 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Trekorrigerad 10-simplex (tru)									4620	330
5		t 4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Quadririktifierad 10-simplex (teru)									6930	462
6		t 0,1 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Trunkerad 10-simplex (tu)									550	110
7		t 0,2 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Kantellerad 10-simplex									4455	495
8		t 1,2 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Bitrunkerad 10-simplex									2475	495
9		t 0,3 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Runcinerad 10-simplex									15840	1320
10		t 1,3 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Bikantellerad 10-simplex									17820	1980
11		t 2,3 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Tritrunkerad 10-simplex									6600	1320
12		t 0,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Stericated 10-simplex									32340	2310
13		t 1,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Biruncinerad 10-simplex									55440	4620
14		t 2,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Trikantellerade 10-simplex									41580	4620
15		t 3,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Quadritruncated 10-simplex									11550	2310
16		t 0,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Pentellerad 10-simplex									41580	2772
17		t 1,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Bistericated 10-simplex									97020	6930
18		t 2,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Triruncinerad 10-simplex									110880	9240
19		t 3,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Quadricantellated 10-simplex									62370	6930
20		t 4,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Quintitruncated 10-simplex									13860	2772
21		t 0,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Hexicerad 10-simplex									34650	2310
22		t 1,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Bipentellerad 10-simplex									103950	6930
23		t 2,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Tristericated 10-simplex									161700	11550
24		t 3,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Quadriruncinated 10-simplex									138600	11550
25		t 0,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Heptellerad 10-simplex									18480	1320
26		t 1,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Bihexicated 10-simplex									69300	4620
27		t 2,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Tripentellerad 10-simplex									138600	9240
28		t 0,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Oktellerad 10-simplex									5940	495
29		t 1,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Biheptellated 10-simplex									27720	1980
30		t 0,9 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Enecated 10-simplex									990	110
31		t 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Omnitruncated 10-simplex									199584000	39916800

Familjen B ₁₀

Det finns 1023 former baserade på alla permutationer av Coxeter-Dynkin-diagrammen med en eller flera ringar.

Tolv fall visas nedan: tio enkelringade ( rätade ) former och två trunkationer. Bowers-liknande akronymnamn anges inom parentes för korsreferenser.

#	Graf	Coxeter-Dynkin diagram Schläfli symbol Namn	Element räknas
			9-ansikten	8-ansikten	7-ansikten	6-ansikten	5-ansikten	4-ansikten	Celler	Ansikten	Kanter	Vertices
1		0 t {4,3,3,3,3,3,3,3,3} 10-kub (deker)	20	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024
2		t 0,1 {4,3,3,3,3,3,3,3,3} Trunkerad 10-kub (tade)									51200	10240
3		t 1 {4,3,3,3,3,3,3,3,3} Rättad 10-kub (rade)									46080	5120
4		t 2 {4,3,3,3,3,3,3,3,3} Birectifierad 10-kub (brade)									184320	11520
5		t 3 {4,3,3,3,3,3,3,3,3} Trekorrigerad 10-kub (handel)									322560	15360
6		t 4 {4,3,3,3,3,3,3,3,3} Fyrriktad 10-kub (terade)									322560	13440
7		t 4 {3,3,3,3,3,3,3,3,4} Quadririktifierad 10-ortoplex (terake)									201600	8064
8		t 3 {3,3,3,3,3,3,3,4} Trirectified 10-ortoplex (trake)									80640	3360
9		t 2 {3,3,3,3,3,3,3,3,4} Birectified 10-ortoplex (broms)									20160	960
10		t 1 {3,3,3,3,3,3,3,3,4} Rättad 10-ortoplex (rake)									2880	180
11		t 0,1 {3,3,3,3,3,3,3,3,4} Trunkerad 10-ortoplex (ta)									3060	360
12		0 t {3,3,3,3,3,3,3,3,4} 10-ortoplex (ka)	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20

Familjen D ₁₀

D ₁₀ -familjen har symmetri i storleksordningen 1 857 945 600 (10 factorial × 2 ⁹ ).

Denna familj har 3×256−1=767 Wythoffian enhetliga polytoper, genererade genom att markera en eller flera noder i D ₁₀ Coxeter-Dynkin-diagrammet . Av dessa är 511 (2×256−1) upprepade från B ₁₀ -familjen och 256 är unika för denna familj, med 2 listade nedan. Bowers-liknande akronymnamn anges inom parentes för korsreferenser.

#	Graf	Coxeter-Dynkin diagram Schläfli symbol Namn	Element räknas
			9-ansikten	8-ansikten	7-ansikten	6-ansikten	5-ansikten	4-ansikten	Celler	Ansikten	Kanter	Vertices
1		10-demikub (hede)	532	5300	24 000	64800	115584	142464	122880	61440	11520	512
2		Trunkerad 10-demikub (den)									195840	23040

Regelbundna och enhetliga bikakor

Det finns fyra grundläggande affina Coxeter-grupper som genererar regelbundna och enhetliga tesselleringar i 9-rum:

#	Coxeter grupp		Coxeter-Dynkin diagram
1	${\tilde {A}}_{9}$	[3 [10] ]
2	${\tilde {B}}_{9}$	[4,3 7 ,4]
3	${\tilde {C}}_{9}$	h[4,3 7 ,4] [4,3 6 ,3 1,1 ]
4	${\tilde {D}}_{9}$	q[4,3 7 ,4] [3 1,1 ,3 5 ,3 1,1 ]

Regelbundna och enhetliga tesseller inkluderar:

• Vanlig 9-hyperkubisk honungskaka , med symbolerna {4,3 ^7,4 },
• Uniform alternerad 9-hyperkubisk honungskaka med symboler h{4,3 ⁷ ,4},

Regelbundna och enhetliga hyperboliska bikakor

Det finns inga kompakta hyperboliska Coxeter-grupper av rang 10, grupper som kan generera bikakor med alla ändliga fasetter och en finit vertexfigur . Det finns dock 3 parakompakta hyperboliska Coxeter-grupper av rang 9, som var och en genererar enhetliga bikakor i 9-utrymme som permutationer av ringar i Coxeter-diagrammen.

${\bar {Q}}_{9}$ = [3 1,1 ,3 4 ,3 2,1 ]:

${\bar {S}}_{9}$ = [4,3 5 ,3 2,1 ]:

$E_{10}$ eller ${\bar {T}}_{9}$ = [3 6,2,1 ]:

Tre bikakor från $E_{10}$ -familjen, genererade av ändringade Coxeter-diagram är:

• 6 ₂₁ honeycomb :
• 2 ₆₁ honeycomb :
• 1 ₆₂ honungskaka :

• T. Gosset : On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions , Messenger of Mathematics , Macmillan, 1900
• A. Boole Stott : Geometrisk deduktion av halvregelbundna från vanliga polytoper och rymdfyllningar , Verhandelingen av Koninklijke academy van Wetenschappen width unit Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
• HSM Coxeter :
  • HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins och JCP Miller: Uniform Polyhedra , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, London, 1954
  • HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3:e upplagan, Dover New York, 1973
•   Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , redigerad av F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  • (Papper 22) HSM Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  • (Papper 23) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Papper 24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• NW Johnson : Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs , Ph.D. Avhandling, University of Toronto, 1966
• Klitzing, Richard. "10D enhetliga polytoper (polyxenna)" .

externa länkar

• Polytopnamn
• Polytopes of Various Dimensions , Jonathan Bowers
• Flerdimensionell ordlista
• Ordlista för hyperrymden , George Olshevsky.