Pentagon

Den här artikeln handlar om den geometriska figuren. För högkvarteret för USA:s försvarsdepartement, se Pentagon . För annan användning, se Pentagon (disambiguation) .

Pentagon
En cyklisk femhörning
Kanter och hörn	5

I geometri är en femhörning (från grekiskans πέντε pente som betyder fem och γωνία gonia som betyder vinkel ) vilken femsidig polygon eller 5-gon som helst. Summan av de inre vinklarna i en enkel femhörning är 540°.

En femhörning kan vara enkel eller självkorsande . En självskärande regelbunden femhörning (eller stjärnfemhörning . ) kallas ett pentagram

Vanliga femhörningar

Vanlig femhörning
En vanlig femhörning
Typ	Vanlig polygon
Kanter och hörn	5
Schläfli symbol	{5}
Coxeter–Dynkin-diagram
Symmetrigrupp	Dihedral (D 5 ), beställning 2×5
Inre vinkel ( grader )	108°
Egenskaper	Konvex , cyklisk , liksidig , isogonal , isotoxal
Dubbel polygon	Själv

Sida ( $t$ ), circumradius ( $R$ ), inskriven cirkelradie ( $r$ ), höjd ( $R+r$ ) , bredd/diagonal ( $\varphi t$ )

En vanlig femhörning har Schläfli-symbolen {5} och inre vinklar på 108°.

En regelbunden femhörning har fem linjer av reflektionssymmetri och rotationssymmetri av ordning 5 (till och med 72°, 144°, 216° och 288°). Diagonalerna för en konvex regelbunden femhörning är i det gyllene snittet till dess sidor. Givet dess sidolängd $t,$ dess höjd $H$ (avstånd från en sida till motsatt vertex), bredd $W$ (avståndet mellan två längst åtskilda punkter, vilket är lika med diagonalen längd $D$ ) och circumradius $R$ ges av:

${\begin{aligned}H&={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}~t\approx 1.539~t,\\W=D&={\ frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}~t\approx 1,618~t,\\W&={\sqrt {2-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}} \cdot H\approx 1,051~H,\\R&={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}t\approx 0,8507~t,\\D&=R\ {\ sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}}{2}}}=2R\cos 18^{\circ }=2R\cos {\frac {\pi}{10}}\approx 1.902~R .\end{aligned}}$

Arean av en konvex regelbunden femhörning med sidolängd $t$ ges av

${\begin{aligned}A&={\frac {t^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}={\frac {5t^{2 }\tan 54^{\circ }}{4}}\\&={\frac {{\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}\;t^{2}}{ 4}}\approx 1.720~t^{2}.\end{aligned}}$

Om cirkumradien $R$ för en vanlig femhörning anges, hittas dess kantlängd ${\displaystyle t} av uttrycket$

$t=R\ {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{ 2}}}=2R\sin 36^{\circ }=2R\sin {\frac {\pi }{5}}\approx 1.176~R,$

och dess område är

$A={\frac {5R^{2}}{4}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}};$

eftersom arean av den omskrivna cirkeln är $\pi R^{2},$ fyller den reguljära femhörningen ungefär 0,7568 av sin omskrivna cirkel.

Härledning av areaformeln

Arean av en vanlig polygon är:

$A={\frac {1}{2}}Pr$

där P är polygonens omkrets och r är inradius (motsvarande apotem ). Genom att ersätta den reguljära pentagonens värden med P och r får man formeln

$A={\frac {1}{2}}\cdot 5t\cdot { \frac {t\tan {\mathord {\left({\frac {3\pi }{10}}\right)}}}{2}}={\frac {5t^{2}\tan {\mathord {\left({\frac {3\pi }{10}}\right)}}}{4}}$

med sidolängd t .

Inradius

I likhet med varje vanlig konvex polygon har den regelbundna konvexa femhörningen en inskriven cirkel . Apotem , som är radien r för den inskrivna cirkeln , för en regelbunden femhörning är relaterad till sidolängden t med

$r={\frac {t}{2\tan {\mathord {\left({\frac {\pi }{5}}\right)}}}}={\frac {t}{2{ \sqrt {5-{\sqrt {20}}}}}}\approx 0,6882\cdot t.$

Ackord från den omskrivna cirkeln till hörnen

Som varje vanlig konvex polygon har den regelbundna konvexa femhörningen en omskriven cirkel . För en regelbunden femhörning med på varandra följande hörn A, B, C, D, E, om P är någon punkt på cirkeln mellan punkterna B och C, då PA + PD = PB + PC + PE.

Punkt i planet

För en godtycklig punkt i planet för en vanlig femhörning med cirkumradius ${\displaystyle R} ,$ vars avstånd till den reguljära femhörningens tyngdpunkt och dess fem hörn är $L$ och $d_{i}$ respektive, vi har

${\begin{aligned}\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{2}&=5\left(R^{2}+L^{2}\right ),\\\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{4}&=5\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^ {2}+2R^{2}L^{2}\höger),\\\textstil \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{6}&=5\left(\left (R^{2}+L^{2}\höger)^{3}+6R^{2}L^{2}\vänster(R^{2}+L^{2}\höger)\höger) ,\\\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{8}&=5\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{ 4}+12R^{2}L^{2}\vänster(R^{2}+L^{2}\höger)^{2}+6R^{4}L^{4}\höger).\ end{aligned}}$

Om $d_{i}$ är avstånden från hörnen på en regelbunden femhörning till någon punkt på dess omkrets, då

$3\left(\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{2}\right)^{2}=10\textstyle \sum _{i=1}^{ 5}d_{i}^{4}.$

Geometriska konstruktioner

Den vanliga femhörningen kan konstrueras med kompass och rätsida , eftersom 5 är en Fermat prime . En mängd olika metoder är kända för att konstruera en vanlig femhörning. Några diskuteras nedan.

Richmonds metod

En metod för att konstruera en vanlig femhörning i en given cirkel beskrivs av Richmond och diskuteras vidare i Cromwells Polyhedra .

Den övre panelen visar konstruktionen som används i Richmonds metod för att skapa sidan av den inskrivna femhörningen. Cirkeln som definierar femhörningen har enhetsradie. Dess centrum ligger vid punkt C och en mittpunkt M är markerad halvvägs längs dess radie. Denna punkt är förenad med periferin vertikalt ovanför mitten vid punkt D . Vinkel CMD halveras och bisektrisen skär den vertikala axeln i punkten Q . En horisontell linje genom Q skär cirkeln i punkten P , och ackordet PD är den obligatoriska sidan av den inskrivna femhörningen.

För att bestämma längden på denna sida avbildas de två rätvinkliga trianglarna DCM och QCM under cirkeln. Med hjälp av Pythagoras sats och två sidor hittas hypotenusan för den större triangeln som ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {5}}/$ . Sidan h på den mindre triangeln hittas då med hjälp av halvvinkelformeln :

$\tan(\phi /2)={\frac {1-\cos(\phi )}{\sin( \phi )}}\ ,$

där cosinus och sinus för ϕ är kända från den större triangeln. Resultatet är:

$h={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\ .$

Om DP verkligen är sidan av en vanlig femhörning, ${\displaystyle m\angle \mathrm {CDP} =54^{\circ }} ,$ så DP = 2 cos(54°), QD = DP cos(54°) = 2cos ² (54°), och CQ = 1 − 2cos ² (54°), vilket är lika med -cos(108°) med cosinusdubbelvinkelformeln . Detta är cosinus för 72°, vilket är lika med $\left({\sqrt {5}}-1\right)/4$ enligt önskemål.

Carlyle cirklar

Huvudartikel: Carlyle cirkel

Metod med Carlyle-cirklar

Carlyle-cirkeln uppfanns som en geometrisk metod för att hitta rötterna till en andragradsekvation . Denna metod leder till en procedur för att konstruera en vanlig pentagon. Stegen är följande:

1. Rita en cirkel där du ska skriva in femhörningen och markera mittpunkten O .
2. Rita en horisontell linje genom cirkelns mitt. Markera den vänstra skärningspunkten med cirkeln som punkt B .
3. Konstruera en vertikal linje genom mitten. Markera en skärningspunkt med cirkeln som punkt A .
4. Konstruera punkten M som mittpunkten av O och B .
5. Rita en cirkel centrerad vid M genom punkten A . Markera dess skärningspunkt med den horisontella linjen (inuti den ursprungliga cirkeln) som punkten W och dess skärningspunkt utanför cirkeln som punkten V .
6. Rita en cirkel med radien OA och mitten W . Den skär den ursprungliga cirkeln vid två av femhörningens hörn.
7. Rita en cirkel med radien OA och centrum V . Den skär den ursprungliga cirkeln vid två av femhörningens hörn.
8. Den femte spetsen är skärningspunkten längst till höger mellan den horisontella linjen och den ursprungliga cirkeln.

Steg 6–8 motsvarar följande version, som visas i animationen:

6a. Konstruera punkt F som mittpunkten för O och W.

7a. Konstruera en vertikal linje genom F. Den skär den ursprungliga cirkeln vid två av femhörningens hörn. Den tredje spetsen är skärningspunkten längst till höger mellan den horisontella linjen och den ursprungliga cirkeln.

8a. Konstruera de andra två hörnen med hjälp av kompassen och längden på hörnet som finns i steg 7a.

Euklides metod

Euklids metod för femhörning vid en given cirkel, med hjälp av den gyllene triangeln , animation 1 min 39 s

En vanlig femhörning kan konstrueras med hjälp av en kompass och en rätsida , antingen genom att skriva in en i en given cirkel eller konstruera en på en given kant. Denna process beskrevs av Euklid i hans Elements cirka 300 f.Kr.

Fysiska byggmetoder

Överhandsknut av en pappersremsa

• En vanlig femhörning kan skapas av bara en pappersremsa genom att knyta en överhandsknut i remsan och försiktigt platta till knuten genom att dra i ändarna på pappersremsan. Om du viker en av ändarna tillbaka över femhörningen kommer ett pentagram att avslöjas vid bakgrundsbelysning.
• Konstruera en vanlig hexagon på styvt papper eller kartong. Vik längs de tre diametrarna mellan motsatta hörn. Klipp från en vertex till mitten för att göra en liksidig triangulär flik. Fixa den här fliken under sin granne för att göra en femkantig pyramid . Basen av pyramiden är en vanlig femhörning.

Symmetri

Symmetrier av en vanlig femhörning. Vertices färgas av deras symmetripositioner. Blå spegellinjer ritas genom hörn och kanter. Gyration order ges i mitten.

Den vanliga femhörningen har Dih ₅ -symmetri , ordning 10. Eftersom 5 är ett primtal finns det en undergrupp med dihedrisk symmetri: Dih ₁ och 2 cykliska gruppsymmetrier : Z ₅ , och Z ₁ .

Dessa 4 symmetrier kan ses i 4 distinkta symmetrier på femhörningen. John Conway märker dessa med en bokstav och grupporder. Full symmetri av den vanliga formen är r10 och ingen symmetri är märkt a1 . De dihedriska symmetrierna är uppdelade beroende på om de passerar genom hörn ( d för diagonal) eller kanter ( p för vinkelräta), och i när reflektionslinjer går genom både kanter och hörn. Cykliska symmetrier i mittkolumnen är märkta som g för deras centrala gyrationsordningar.

Varje undergruppssymmetri tillåter en eller flera frihetsgrader för oregelbundna former. Endast g5 -undergruppen har inga frihetsgrader utan kan ses som riktade kanter .

Vanligt pentagram

Huvudartikel: Pentagram

Ett pentagram eller pentangel är en vanlig stjärnfemhörning . Dess Schläfli-symbol är {5/2}. Dess sidor bildar diagonalerna av en regelbunden konvex femhörning - i detta arrangemang är sidorna av de två femhörningarna i det gyllene snittet .

Liksidiga femhörningar

Huvudartikel: Liksidig femhörning

Liksidig femhörning byggd med fyra lika cirklar placerade i en kedja.

En liksidig femhörning är en polygon med fem lika långa sidor. Dess fem inre vinklar kan dock ta ett antal uppsättningar värden, vilket gör att den kan bilda en familj av femhörningar. Däremot är den reguljära femhörningen unik upp till likhet, eftersom den är liksidig och den är likkantig (dess fem vinklar är lika).

Cykliska femhörningar

En cyklisk femhörning är en där en cirkel som kallas den omslutna cirkeln går genom alla fem hörn. Den vanliga femhörningen är ett exempel på en cyklisk femhörning. Arean av en cyklisk femhörning, oavsett om den är regelbunden eller inte, kan uttryckas som en fjärdedel av kvadratroten ur en av rötterna i en septisk ekvation vars koefficienter är funktioner av femhörningens sidor.

Det finns cykliska femhörningar med rationella sidor och rationell yta; dessa kallas Robbins femhörningar . Det har bevisats att diagonalerna för en Robbins femhörning måste vara antingen alla rationella eller alla irrationella, och det antas att alla diagonaler måste vara rationella.

Allmänna konvexa femhörningar

För alla konvexa femhörningar är summan av kvadraterna på diagonalerna mindre än 3 gånger summan av kvadraterna på sidorna.

Pentagoner i plattsättning

Huvudartikel: Pentagon kakel

Den mest kända packningen av lika stora regelbundna femhörningar på ett plan är en dubbel gitterstruktur som täcker 92,131 % av planet.

En vanlig femhörning kan inte förekomma i någon plattsättning av vanliga polygoner. För det första, för att bevisa att en femhörning inte kan bilda en vanlig plattsättning (en där alla ytor är kongruenta, vilket kräver att alla polygoner är femhörningar), observera att 360° / 108° = 3 1 ⁄ 3 (där 108° är den inre vinkeln ), som inte är ett heltal; därför finns det inget heltal av femhörningar som delar en enda vertex och lämnar inga luckor mellan dem. Svårare är att bevisa att en femhörning inte kan vara i någon kant-till-kant-plattsättning gjord av vanliga polygoner:

Den maximala kända packningsdensiteten för en vanlig femhörning är ungefär 0,921, uppnådd genom den visade dubbla gitterpackningen. I ett förtryck som släpptes 2016 tillkännagav Thomas Hales och Wöden Kusner ett bevis på att den dubbla gitterpackningen av den vanliga femhörningen (som de kallar förpackningen för "pentagonal isstråle" och som de spårar till kinesiska hantverkares arbete 1900) har den optimala tätheten bland alla packningar av vanliga femhörningar i planet. Från och med 2020 har deras bevis ännu inte granskats och publicerats.

Det finns inga kombinationer av vanliga polygoner med 4 eller fler som möts vid en vertex som innehåller en femhörning. För kombinationer med 3, om 3 polygoner möts vid en vertex och en har ett udda antal sidor, måste de andra 2 vara kongruenta. Anledningen till detta är att polygonerna som berör femhörningens kanter måste växla runt femhörningen, vilket är omöjligt på grund av femhörningens udda antal sidor. För femhörningen resulterar detta i en polygon vars vinklar är alla ( 360 − 108) / 2 = 126° . För att hitta antalet sidor denna polygon har, är resultatet 360 / (180 − 126) = 6 2 ⁄ 3 , vilket inte är ett heltal. Därför kan en femhörning inte förekomma i någon plattsättning gjord av vanliga polygoner.

Det finns 15 klasser av femhörningar som monohedriskt kan belägga planet . Ingen av femkanterna har någon symmetri i allmänhet, även om vissa har speciella fall med spegelsymmetri.

15 monohedriska femkantiga plattor

1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
11	12	13	14	15

Pentagoner i polyedrar

jag h	T h	T d	O	jag	D 5d
Dodekaeder	Pyritohedron	Tetartoid	Pentagonal icositetrahedron	Pentagonal hexecontahedron	Stympad trapezhedron

Pentagoner i naturen

Växter

• 

  Femkantigt tvärsnitt av okra .

• 

  Morning glories , liksom många andra blommor, har en femkantig form.

• 

  Perigone tub av Rafflesia blomma.

• 

  Gynoecium av ett äpple innehåller fem fruktblad, arrangerade i en femuddig stjärna

• 

  Starfruit är en annan frukt med femfaldig symmetri.

Djur

• 

  En havsstjärna . Många tagghudingar har femfaldig radiell symmetri.

• 

  Ett annat exempel på tagghuding, ett endoskelett av sjöborre .

• 

  En illustration av spröda stjärnor , även tagghudingar med femkantig form.

Mineraler

• 

  En Ho-Mg-Zn ikosaedrisk kvasikristall bildad som en femkantig dodekaeder . Ansiktena är riktiga vanliga femhörningar.

• 

  En pyritoedrisk kristall av pyrit . En pyritoeder har 12 identiska femkantiga ytor som inte är begränsade till att vara regelbundna.

Andra exempel

• 

  Pentagon , högkvarter för USA:s försvarsdepartement .

• 

  Hem tallrik av en basebollplan

Se även

• Associahedron ; En femhörning är en ordning 4 associahedron
• Dodekaeder , en polyeder vars regelbundna form består av 12 femkantiga ytor
• gyllene snittet
• Lista över geometriska former
• Pentagonala nummer
• Pentagram
• Pentagram karta
• Pentastar , Chryslers logotyp
• Pythagoras sats#Liknande figurer på de tre sidorna
• Trigonometriska konstanter för en femhörning

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Pentagon" . MathWorld .
• Animerad demonstration som konstruerar en inskriven femhörning med kompass och rakled.
• Hur man konstruerar en vanlig femhörning med endast en kompass och rätsida.
• Hur man viker en vanlig femhörning med bara en pappersremsa
• Definition och egenskaper för femhörningen , med interaktiv animation
• Renässanskonstnärers ungefärliga konstruktioner av vanliga femhörningar
• Pentagon. Hur man beräknar olika dimensioner av vanliga femhörningar.