8-demikubisk honungskaka

8-demikubisk honungskaka
(ingen bild)
Typ	Uniform 8-honeycomb
Familj	Alternerad hyperkub honeycomb
Schläfli symbol	h{4,3,3,3,3,3,3,4}
Coxeter diagram	= =
Fasett	{3,3,3,3,3,3,4} h{4,3,3,3,3,3,3}
Vertex figur	Rättad 8-ortoplex
Coxeter grupp	${\tilde {B}}_{8}$ [4,3,3,3,3,3,3 ^1,1 ] ${\tilde {D}}_ {8}$ [3 ^1,1 ,3,3,3,3,3 ^1,1 ]

Den 8-demikubiska honeycomb , eller demiocteractic honeycomb, är en enhetlig rymdfyllande tessellation (eller honeycomb ) i det euklidiska 8-utrymmet. Den är konstruerad som en växling av den vanliga 8-kubiska honungskakan .

Den är sammansatt av två olika typer av fasetter . De 8-kuberna blir alternerade till 8-demicubes h{4,3,3,3,3,3,3} och de alternerade hörnen skapar 8-ortoplexa {3,3,3,3,3,3,4} fasetter .

D8 galler

Spetsarrangemanget för den 8-demikubiska bikakan är D ₈ gittret - . De 112 hörnen av den rätade 8-ortoplexa vertexfiguren av den 8-demikubiska bikakan återspeglar kyssningstalet 112 på detta gitter. Den mest kända är 240, från E ₈ gallret och 5 ₂₁ honeycomb .

${\tilde {E}}_{8}$ innehåller ${\tilde {D}}_{8}$ som en undergrupp av index 270. Båda ${\ displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$ och ${\tilde {D}}_{8}$ kan ses som affina förlängningar av $D_{8}$ från olika noder:

D
⁺₈ -gittret (även kallat D
²₈ ) kan konstrueras genom föreningen av två D8-gitter. Denna packning är endast ett galler för jämna dimensioner. Kysstalet är 240. (2 ^n-1 för n<8, 240 för n=8 och 2n(n-1) för n>8). Det är identiskt med E8 gallret . Vid 8-dimensioner innehåller de 240 kontakterna både 27 ⁼ 128 från lägre dimensionskontaktprogression (2n ^-1 ) och 16*7=112 från högre dimensioner (2n(n-1)).

∪ = .

D
^*₈ -gittret (även kallat D
⁴₈ och C
²₈ ) kan konstrueras genom föreningen av alla fyra D8-gittren : Det är också den 7-dimensionella kroppen centrerad kubisk , föreningen av två 7-kubiga bikakor i dubbla positioner .

∪ ∪ ∪ = ∪ .

Kysstalet för D
^*₈ -gittret är 16 ( 2n för n≥5) . och dess Voronoi tessellation är en fyrriktad 8-kubisk honungskaka , , som innehåller alla trirectifierade 8-ortoplex Voronoi-celler , .

Symmetrikonstruktioner

Det finns tre enhetliga konstruktionssymmetrier för denna tessellation. Varje symmetri kan representeras av arrangemang av olika färger på de 256 8-demikubfasetterna runt varje vertex.

Coxeter grupp	Schläfli symbol	Coxeter-Dynkin diagram	Vertex figur Symmetri	Fasetter /verf
${\tilde {B}}_{8}$ = [3 ^1,1 ,3,3,3,3,3,4] = [1 ⁺ ,4,3,3,3, 3,3,3,4]	h{4,3,3,3,3,3,3,4}	=	[3,3,3,3,3,3,4]	256: 8-demikub 16: 8-ortoplex
${\tilde {D}}_{8}$ = [3 ^1,1 ,3,3,3,3 ^1,1 ] = [1 ⁺ ,4,3,3,3,3 ,3 ^1,1 ]	h{4,3,3,3,3,3,3 ^1,1 }	=	[3 ^6,1,1 ]	128+128: 8-demikub 16: 8-ortoplex
2×½ ${\tilde {C}}_{8}$ = [[(4,3,3,3,3,3,4,2 ⁺ )]]	ht _0,8 {4,3,3,3,3,3,3,4}			128+64+64: 8-demikub 16: 8-ortoplex

Se även

Anteckningar

Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3:e upplagan, 1973), Dover-upplagan, ISBN 0-486-61480-8
- s. 154–156: Partiell trunkering eller alternering, representerad av h- prefix: h{4,4}={4, 4}; h{4,3,4}={3 ^1,1 ,4}, h{4,3,3,4}={3,3,4,3}, ...
Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , redigerad av F. Arthur Sherk, Peter McMullen , Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
- (Paper 24) ) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
NW Johnson : Geometries and Transformations , (2018)
Conway JH, Sloane NJH (1998). Sphere Packings, Lattices and Groups (3:e upplagan). ISBN 0-387-98585-9 .

externa länkar

Grundläggande konvexa regelbundna och enhetliga bikakor i dimensionerna 2–9
Plats	Familj	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\tilde {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / ${\tilde {F}}_{4}$ / ${\tilde { E}}_{n-1}$
E ²	Enhetlig plattsättning	{3 ^[3] }	δ ₃	hδ ₃	qδ ₃	Hexagonal
E ³	Enhetlig konvex bikaka	{3 ^[4] }	δ ₄	hδ ₄	qδ ₄
E ⁴	Uniform 4-honeycomb	{3 ^[5] }	δ ₅	hδ ₅	qδ ₅	24-cells honungskaka
E ⁵	Uniform 5-bikaka	{3 ^[6] }	δ ₆	hδ ₆	qδ ₆
E ⁶	Uniform 6-honeycomb	{3 ^[7] }	δ ₇	hδ ₇	qδ ₇	2 ₂₂
E ⁷	Uniform 7-honeycomb	{3 ^[8] }	δ ₈	hδ ₈	qδ ₈	1 ₃₃ • 3 ₃₁
E ⁸	Uniform 8-honeycomb	{3 ^[9] }	δ ₉	hδ ₉	qδ ₉	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
E ⁹	Uniform 9-honeycomb	{3 ^[10] }	δ ₁₀	hδ ₁₀	qδ ₁₀
E ¹⁰	Uniform 10-honeycomb	{3 ^[11] }	δ ₁₁	hδ ₁₁	qδ ₁₁
E ^{n -1}	Uniform ( n -1)- honeycomb	{3 ^[n] }	5 _n	hδ _n	qδ _n	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁