Ofullständig gammafunktion

Den övre ofullständiga gammafunktionen för vissa värden på s: 0 (blå), 1 (röd), 2 (grön), 3 (orange), 4 (lila).

Plotta den regulariserade ofullständiga gammafunktionen Q(2,z) i det komplexa planet från -2-2i till 2+2i med färger skapade med Mathematica 13.1-funktionen ComplexPlot3D

Inom matematiken är de övre och nedre ofullständiga gammafunktionerna typer av specialfunktioner som uppstår som lösningar på olika matematiska problem såsom vissa integraler .

Deras respektive namn härrör från deras integraldefinitioner, som definieras på samma sätt som gammafunktionen men med olika eller "ofullständiga" integralgränser. Gammafunktionen definieras som en integral från noll till oändlighet. Detta står i kontrast till den nedre ofullständiga gammafunktionen, som definieras som en integral från noll till en variabel övre gräns. På liknande sätt definieras den övre ofullständiga gammafunktionen som en integral från en variabel nedre gräns till oändlighet.

Definition

Den övre ofullständiga gammafunktionen definieras som:

$$\Gamma (s,x)=\int _{x}^{\infty }t^{s-1}\ ,e^{-t}\,dt,$$

medan den lägre ofullständiga gammafunktionen definieras som:

$$\gamma (s,x)=\int _{0}^{x}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt.$$

I båda fallen är s en komplex parameter, så att den reella delen av s är positiv.

Egenskaper

Genom integrering av delar finner vi återkommande relationer

$$\Gamma (s+1,x)=s\Gamma (s,x)+x^{s}e ^{-x}$$

och

$$\gamma (s+1,x)=s\gamma (s,x)-x^{s}e^{-x}.$$

Eftersom den vanliga gammafunktionen definieras som

$$\Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t }\,dt$$

vi har

$$\Gamma (s)=\Gamma (s,0)=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)$$

och

$$\gamma (s,x)+\Gamma (s,x)=\Gamma (s).$$

Fortsättning till komplexa värden

Den nedre ofullständiga gamma- och den övre ofullständiga gammafunktionen, som definierats ovan för reella positiva s och x , kan utvecklas till holomorfa funktioner , med avseende på både x och s , definierade för nästan alla kombinationer av komplexa x och s . Komplex analys visar hur egenskaperna hos de verkliga ofullständiga gammafunktionerna sträcker sig till deras holomorfa motsvarigheter.

Sänk ofullständig gammafunktion

Holomorf förlängning

Upprepad tillämpning av återfallsrelationen för den lägre ofullständiga gammafunktionen leder till potensserieexpansionen : [2]

$$\gamma (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{s}e^{-x}x^{k}}{s(s+ 1)\cdots (s+k)}}=x^{s}\,\Gamma (s)\,e^{-x}\summa _{k=0}^{\infty }{\frac {x ^{k}}{\Gamma (s+k+1)}}.$$

Med tanke på den snabba tillväxten i absolutvärdet av Γ( z + k ) när k → ∞ , och det faktum att den reciproka av Γ( z ) är en hel funktion , är koefficienterna i summan längst till höger väldefinierade, och lokalt summan konvergerar enhetligt för alla komplexa s och x . Med en sats av Weierstraß, den begränsande funktionen, ibland betecknad som $\gamma ^{*}$ , [3]

$$\gamma ^{*}(s,z):=e^{-z}\summa _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (s+k+1)}}$$

är hel med avseende på både z (för fixerade s ) och s (för fixerade z ) [4] , och därmed holomorf på C × C enligt Hartogs sats [5] . Följande sönderdelning

$\gamma (s,z)=z^{s}\,\Gamma (s)\,\gamma ^{* }(s,z)$ [6] ,

utökar den verkliga lägre ofullständiga gammafunktionen som en holomorf funktion , både gemensamt och separat i z och s . Det följer av egenskaperna hos $z^{s}$ och Γ-funktionen , att de två första faktorerna fångar singulariteterna för γ $\displaystyle \gamma (s,z)}$ ( vid z = 0 eller s ett icke-positivt heltal), medan den sista faktorn bidrar till dess nollor.

Mångvärdighet

Den komplexa logaritmen log z = log | z | + i arg z bestäms upp till en multipel av endast 2 πi , vilket gör den flervärdig . Funktioner som involverar den komplexa logaritmen ärver vanligtvis denna egenskap. Bland dessa är den komplexa makten , och eftersom z ^s uppträder i dess sönderdelning, även γ -funktionen.

Obestämbarheten hos flervärdiga funktioner introducerar komplikationer, eftersom det måste anges hur man väljer ett värde. Strategier för att hantera detta är:

• (det mest allmänna sättet) ersätt domänen C för flervärdiga funktioner med ett lämpligt grenrör i C × C som kallas Riemann-yta . Även om detta tar bort mångvärdighet, måste man känna till teorin bakom det [7] ;
• begränsa domänen så att en funktion med flera värden bryts ned i separata grenar med enstaka värden , som kan hanteras individuellt.

Följande uppsättning regler kan användas för att tolka formler i detta avsnitt korrekt. Om inte annat anges antas följande:

Sektorer

Sektorer i C med sin vertex vid z = 0 visar sig ofta vara lämpliga domäner för komplexa uttryck. En sektor D består av alla komplexa z som uppfyller z ≠ 0 och α − δ < arg z < α + δ med några α och 0 < δ ≤ π . Ofta α väljas godtyckligt och specificeras inte då. Om δ inte anges antas det vara π , och sektorn är i själva verket hela planet C , med undantag för en halvlinje som har sitt ursprung i z = 0 och pekar i riktningen för − α , som vanligtvis fungerar som en gren skära . Notera: I många applikationer och texter tas α tyst som 0, vilket centrerar sektorn kring den positiva reella axeln.

Grenar

I synnerhet existerar en enkelvärdig och holomorf logaritm på varje sådan sektor D som har sin imaginära del bunden till området ( α − δ , α + δ ) . Baserat på en sådan begränsad logaritm z ^s och de ofullständiga gammafunktionerna i sin tur till envärdiga, holomorfa funktioner på D (eller C × D ), kallade grenar av deras motsvarigheter med flera värden på D. Addera en multipel av 2 π till α ger en annan uppsättning av korrelerade grenar på samma uppsättning D . Men i varje givet sammanhang här α vara fixerad och alla inblandade grenar är associerade till den. Om | α | < δ , grenarna kallas principal , eftersom de är lika med sina reella analoger på den positiva reella axeln. Obs: I många tillämpningar och texter gäller formler endast för huvudgrenar.

Relation mellan grenar

Värdena för olika grenar av både den komplexa potensfunktionen och den lägre ofullständiga gammafunktionen kan härledas från varandra genom multiplikation av $e^{2\pi iks}$ [8] , för k ett lämpligt heltal.

Beteende nära grenpunkt

Nedbrytningen ovan visar vidare att γ beter sig nära z = 0 asymptotiskt som:

$$\gamma (s,z)\asymp z^{s}\,\Gamma (s)\,\gamma ^{*}(s,0)=z^{s}\,\Gamma (s) /\Gamma (s+1)=z^{s}/s.$$

För positiva reella x , y och s , x ^y / y → 0 , när ( x , y ) → (0, s ) . Detta verkar motivera inställningen av γ ( s , 0 ) = 0 för reella s > 0 . Saker är dock något annorlunda i det komplexa området. Endast om (a) den reella delen av s är positiv, och (b) värden u ^v tas från bara en ändlig uppsättning grenar, är de garanterade att konvergera till noll som ( u , v ) → (0, s ) , och det gör γ ( u , v ) . På en enda gren av γ ( b ) är naturligt uppfyllt, så där är γ ( s , 0) = 0 för s med positiv reell del en kontinuerlig gräns . Observera också att en sådan fortsättning inte på något sätt är en analytisk sådan .

Algebraiska relationer

Alla algebraiska relationer och differentialekvationer som observeras av den reella γ ( s , z ) gäller också för dess holomorfa motsvarighet. Detta är en konsekvens av identitetssatsen [9] , som säger att ekvationer mellan holomorfa funktioner som är giltiga på ett reellt intervall gäller överallt. Speciellt återfallsrelationen [10] och ∂γ ( s , z )/ ∂z = z ^{s −1} e ^{− z} [11] bevaras på motsvarande grenar.

Integral representation

Den sista relationen säger oss att, för fixerad s , är γ en primitiv eller antiderivata av den holomorfa funktionen z ^{s −1} e ^{− z} . Följaktligen, [12] , för varje komplex u , v ≠ 0 ,

$$\int _{u}^{v}t^{s-1}\,e^ {-t}\,dt=\gamma (s,v)-\gamma (s,u)$$

gäller, så länge integrationens väg helt och hållet finns i domänen för en gren av integranden. Om dessutom den reella delen av s är positiv, gäller gränsen γ ( s , u ) → 0 för u → 0 , vilket slutligen kommer fram till den komplexa integraldefinitionen av γ [13]

$$\gamma (s,z)=\int _{0}^{z}t^{ s-1}\,e^{-t}\,dt,\,\Re (s)>0.$$

0 Varje integrationsväg som innehåller 0 endast i början, annars begränsad till domänen för en gren av integranden, är giltig här, till exempel den räta linjen som förbinder och z .

Gräns ​​för z → +∞

Verkliga värden

Givet den integrala representationen av en huvudgren av γ , gäller följande ekvation för alla positiva reella s , x : [14]

$$\Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{ s-1}\,e^{-t}\,dt=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)$$

s komplex

Detta resultat sträcker sig till komplexa s . Antag först 1 ≤ Re( s ) ≤ 2 och 1 < a < b . Sedan

$$|\gamma (s,b)-\gamma (s,a)|\ leq \int _{a}^{b}|t^{s-1}|e^{-t}\,dt=\int _{a}^{b}t^{\Re s-1}e ^{-t}\,dt\leq \int _{a}^{b}te^{-t}\,dt$$

där [15]

$$|z^{s}|=|z|^{\Re s}\,e^{-\Im s\arg z}$$

har använts i mitten. Eftersom den slutliga integralen blir godtyckligt liten om bara a är tillräckligt stor, konvergerar γ ( s , x ) likformigt för x → ∞ på remsan 1 ≤ Re(s) ≤ 2 mot en holomorf funktion, som måste vara Γ(s) pga. av identitetsteoremet [16] . Om man tar gränsen i återfallsrelationen γ ( s , x ) = ( s − 1) γ ( s − 1, x ) − x ^{s − 1} e ^{− x} och noterar att lim x ⁿ e ^{− x} = 0 för x → ∞ och alla n , visar att γ ( s , x ) konvergerar utanför remsan också mot en funktion som följer Γ-funktionens återkommande relation. Det följer

$$\Gamma (s)=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)$$

för alla komplexa s inte ett icke-positivt heltal, x reellt och γ principal.

Sektoriell konvergens

dig nu vara från sektorn | arg z | < δ < π /2 med någon fast δ ( α = 0 ), γ är huvudgrenen på denna sektor, och titta på

$$\Gamma (s)-\gamma (s,u)=\Gamma (s)-\gamma (s,|u|)+\gamma (s,|u|)-\gamma (s,u) .$$

Som visas ovan kan den första skillnaden göras godtyckligt liten, om | u | är tillräckligt stor. Den andra skillnaden tillåter följande uppskattning:

$$|\gamma (s,|u|)-\gamma (s,u)|\leq \int _{u}^{ |u|}|z^{s-1}e^{-z}|\,dz=\int _{u}^{|u|}|z|^{\Re s-1}\,e^ {-\Im s\,\arg z}\,e^{-\Re z}\,dz,$$

där vi använde oss av integralrepresentationen av γ och formeln om | z ^s | ovan. Om vi ​​integrerar längs bågen med radien R = | u | runt 0 som förbinder u och | u | , då är den sista integralen

$$\left u\right|R^{\Re s-1}\,e^{\Im s\,|\arg u|}\,e^{-R\cos \arg u}\leq \delta \,R^ {\Re s}\,e^{\Im s\,\delta }\,e^{-R\cos \delta }=M\,(R\,\cos \delta )^{\Re s}\ ,e^{-R\cos \delta }}$$

där M = δ (cos δ ) ^{−Re s} e ^{Im sδ} är en konstant oberoende av u eller R . Återigen med hänvisning till beteendet för x ⁿ e ^{− x} för stort x , ser vi att det sista uttrycket närmar sig 0 när R ökar mot ∞ . Totalt har vi nu:

$$\Gamma (s)=\lim _{|z|\to \infty }\gamma (s,z),\quad \left|\arg z\right|<\pi /2-\epsilon ,$$

om s inte är ett icke-negativt heltal, är 0 < ε < π /2 godtyckligt litet, men fixerat, och γ betecknar huvudgrenen på denna domän.

Översikt

$\gamma (s,z)$ är:

• hela i z för fast, positivt heltal s ;
• flervärdig holomorf i z för fast s inte ett heltal, med en grenpunkt vid z = 0 ;
• på varje gren meromorf i s för fixerad z ≠ 0 , med enkla poler vid icke-positiva heltal s.

Övre ofullständig gammafunktion

När det gäller den övre ofullständiga gammafunktionen ges en holomorf förlängning, med avseende på z eller s , av [17]

$$\Gamma (s,z)=\Gamma (s)-\gamma (s,z)$$

vid punkter ( s , z ) , där den högra sidan finns. Eftersom $\gamma$ har flera värden, gäller samma sak för ${\displaystyle \Gamma } ,$ men en begränsning till huvudvärden ger bara den enkelvärdiga huvudgrenen av $\Gamma$ .

När s är ett icke-positivt heltal i ovanstående ekvation, definieras ingen del av skillnaden, och en begränsande process , här utvecklad för s → 0 , fyller i de saknade värdena. Komplex analys garanterar holomorficitet , eftersom $\Gamma (s,z)$ visar sig vara gränsad till ett område av den gränsen för ett fast z [18] .

För att bestämma gränsen är potensserien av $\gamma ^{*}$ vid z = 0 användbar. När man ersätter $e^{-x}$ med dess potensserie i integraldefinitionen av ${\displaystyle \gamma } ,$ får man (antag x , s positiva realer för nu):

$$\gamma (s,x)=\int _{0}^{x}t^{s-1}e^{-t}\,dt=\int _{0}^ {x}\summa _{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,{\frac {t^{s+k-1}}{k!}}\,dt=\ summa _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,{\frac {x^{s+k}}{k!(s+k)}}=x^{s} \,\summa _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!(s+k)}}$$

eller [19]

$$\gamma ^{*}(s,x)=\summa _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!\,\Gamma (s )(s+k)}}.$$

som, som en serierepresentation av hela ${\displaystyle \gamma ^{*}}-$ funktionen, konvergerar för alla komplexa x (och alla komplexa s inte ett icke-positivt heltal).

Med sin begränsning till verkliga värden upphävd tillåter serien expansionen:

$$\gamma (s,z)-{\frac {1}{s}}=-{\frac {1}{s} }+z^{s}\,\summa _{k=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k!(s+k)}}={\frac { z^{s}-1}{s}}+z^{s}\,\summa _{k=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k!( s+k)}},\quad \Re (s)>-1,\,s\neq 0.$$

När s → 0 :

$${\frac {z^{s}-1 }{s}}\to \ln(z),\quad \Gamma (s)-{\frac {1}{s}}={\frac {1}{s}}-\gamma +O(s) -{\frac {1}{s}}\to -\gamma ,$$

( $\gamma$ är Euler–Mascheroni-konstanten här), därför

$$\Gamma (0,z)=\lim _{s\to 0}\left(\Gamma (s)-{\tfrac {1}{s}}-(\gamma (s) ,z)-{\tfrac {1}{s}})\right)=-\gamma -\ln(z)-\summa _{k=1}^{\infty }{\frac {(-z) ^{k}}{k\,(k!)}}$$

är den begränsande funktionen till den övre ofullständiga gammafunktionen som s → 0 , även känd som exponentialintegralen $E_{1}(z)$ .

Med hjälp av återfallsrelationen kan värden på $\Gamma (-n,z)$ för positiva heltal n härledas från detta resultat,

$$\Gamma (-n,z) ={\frac {1}{n!}}\left({\frac {e^{-z}}{z^{n}}}\summa _{k=0}^{n-1}(- 1)^{k}(nk-1)!\,z^{k}+(-1)^{n}\Gamma (0,z)\höger)$$

så den övre ofullständiga gammafunktionen visar sig existera och vara holomorf, med avseende på både z och s , för alla s och z ≠ 0 .

$\Gamma (s,z)$ är:

• hela i z för fixerad, positiv integral s ;
• flervärdig holomorf i z för fast s icke noll och inte ett positivt heltal, med en grenpunkt vid z = 0 ;
• lika med $\Gamma (s)$ för s med positiv reell del och z = 0 (gränsen när $(s_{i}, z_{i})\to (s,0)$ ), men detta är en kontinuerlig förlängning, inte en analytisk ( gäller inte för verkliga s < 0 !);
• på varje gren hela i s för fast z ≠ 0 .

Särskilda värden

• $\Gamma (s+1,1)={\frac {\lfloor es!\rfloor }{e}}$ om s är ett positivt heltal ,
• $\Gamma (s,x)=(s-1)!\,e^{-x}\sum _{k=0}^{s-1}{\frac {x^{k}}{ k!}}$ om s är ett positivt heltal ,
• $\Gamma (s,0)=\Gamma (s),\Re (s)>0$ ,
• $\Gamma (1,x)=e^{-x}$ ,
• $\gamma (1,x)=1-e^{-x}$ ,
• $\Gamma (0,x)=-\operatörsnamn {Ei} (-x)$ för $x>0$ ,
• $\Gamma (s,x)=x^{s}\operatörsnamn {E} _{1-s}(x)$ ,
• $\Gamma \left({\tfrac {1}{2}},x\right)={\sqrt {\pi }}\operatörsnamn {erfc } \left({\sqrt {x}}\right)$ ,
• $\gamma \left({\tfrac {1}{2}},x\right)={\sqrt {\pi }}\operatörsnamn {erf } \left({\sqrt {x}}\right)$ .

Här är $\operatorname {Ei}$ exponentialintegralen , $\operatorname {E} _{n}$ är den generaliserade exponentialintegralen , $\operatorname {erf}$ är felfunktion , och $\operatorname {erfc}$ är den kompletterande felfunktionen , $\operatorname {erfc} (x)=1-\operatörsnamn { erf} (x)$ .

Asymptotiskt beteende

• ${\frac {\gamma (s,x)}{x^{s}}}\to {\frac {1}{s}}$ som $x\to 0$ ,
• ${\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s}}}\to -{\frac {1}{s}}$ som $x\to 0$ och $\Re (s)<0$ (för verkliga s är felet för Γ( s , x ) ~ − x ^s / s på ordningen av O ( x ^{min{ s + 1, 0}} ) om s ≠ −1 och O (ln( x )) om s = −1 ),
  • $\Gamma (s,x)\sim \Gamma (s)-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^ {s+n}}{n!(s+n)}}$ som en asymptotisk serie där $x\to 0^{+}$ och ${\ displaystyle s\neq 0,-1,-2,\dots }$ .
  • ${\displaystyle \Gamma (-N,x)\sim C_{N}+{\frac {(-1)^{N+1}}{N!}}\ln x-\summa _ {n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{nN}}{n!(nN)}}} som en asymptotisk serie där x$ → + { $\ till 0^{+}}$ och $N=1,2,\dots$ , där ${\textstil C_{N}={\frac {(-1)^{N+1}}{N!}}\left(\gamma -\summa _{n =1}^{N}{\frac {1}{n}}\right)}$ , där $\gamma$ är Euler-Mascheroni-konstanten .
• $\gamma (s,x)\to \Gamma (s)$ som $x\to \infty$ ,
• ${\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s-1}e^{-x}}}\to 1$ som $x\to \infty$ ,
• ${\displaystyle \Gamma (s,z)\sim z^{s-1}e ^{-z}\sum _{k=0}{\frac {\Gamma (s)}{\Gamma (sk)}}z^{-k}} som en$ asymptotisk serie där $|z|\to \infty$ och $\left|\arg z\right|<{\tfrac {3}{2}}\pi$ .

Utvärderingsformler

Den lägre gammafunktionen kan utvärderas med hjälp av effektserieexpansionen: [20]

$$\gamma (s,z)=\summa _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{s}e^{-z}z^{k}}{s(s+1)\ prickar (s+k)}}=z^{s}e^{-z}\sum _{k=0}^{\infty }{\dfrac {z^{k}}{s^{\overline { k+1}}}}$$

där $s^{\overline {k+1}}$ är Pochhammer-symbolen .

En alternativ expansion är

$$\displaystyle \gamma (s,z)=\summa _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{\frac {z^{s+k}}{s+k}}={\frac {z^{s}}{s}}M( s,s+1,-z),}$$

där M är Kummers konfluenta hypergeometriska funktion .

Samband med Kummers sammanflytande hypergeometriska funktion

När den verkliga delen av z är positiv,

$$\gamma (s,z)=s^{-1}z^{s}e^{ -z}M(1,s+1,z)$$

var

$$M(1,s+1,z)=1+{\frac {z}{(s+1)}}+{\frac {z^{2}}{(s+1)( s+2)}}+{\frac {z^{3}}{(s+1)(s+2)(s+3)}}+\cdots$$

har en oändlig konvergensradie.

Återigen med sammanflytande hypergeometriska funktioner och användning av Kummers identitet,

$${\begin{aligned}\Gamma (s,z)&=e^{-z}U(1-s,1-s,z)={\frac {z^{s}e^{- z}}{\Gamma (1-s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-u}}{u^{s}(z+u)}}du\ \&=e^{-z}z^{s}U(1,1+s,z)=e^{-z}\int _{0}^{\infty }e^{-u}(z +u)^{s-1}du=e^{-z}z^{s}\int _{0}^{\infty }e^{-zu}(1+u)^{s-1} du.\end{aligned}}$$

För den faktiska beräkningen av numeriska värden ger Gauss fortsatta bråk en användbar expansion:

$$\gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{s-{\cfrac {sz}{s+1+{\cfrac {z}{s+ 2-{\cfrac {(s+1)z}{s+3+{\cfrac {2z}{s+4-{\cfrac {(s+2)z}{s+5+{\cfrac {3z }{s+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}.$$

Denna fortsatta fraktion konvergerar för alla komplexa z , förutsatt att s inte är ett negativt heltal.

Den övre gammafunktionen har den fortsatta bråkdelen

$$\Gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{z+{\cfrac {1-s}{1+{\cfrac {1}{z+{\cfrac {2-s}{1+{\cfrac {2 }{z+{\cfrac {3-s}{1+\ddots }}}}}}}}}}}$$

och

$$\Gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{1+z-s+{\cfrac {s-1}{3+z-s+{\cfrac {2(s-2)}{5+z-s+{\cfrac {3(s-3)}{7+z-s+{\cfrac {4 (s-4)}{9+z-s+\ddots }}}}}}}}}}$$

Multiplikationssats

Följande multiplikationssats stämmer:

$$\Gamma (s,z)={\frac {1}{t^{s}}}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{i}}{i!}}\Gamma (s+i,tz)=\Gamma (s,tz)-(tz)^{s}e^{-tz }\summa _{i=1}^{\infty }{\frac {\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{i}}{i}}L_{i-1 }^{(si)}(tz).$$

Programvaruimplementering

De ofullständiga gammafunktionerna är tillgängliga i olika datoralgebrasystem .

Även om de inte är tillgängliga direkt kan dock ofullständiga funktionsvärden beräknas med hjälp av funktioner som vanligtvis ingår i kalkylblad (och datoralgebrapaket). I Excel kan dessa till exempel beräknas med hjälp av gammafunktionen kombinerad med gammafördelningsfunktionen .

• Den lägre ofullständiga funktionen: $\gamma (s,x)$ = EXP(GAMMALN(s))*GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE) .
• Den övre ofullständiga funktionen: $\Gamma (s,x)$ = EXP(GAMMALN(s))*(1-GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE)) .

Dessa följer av definitionen av gammafördelningens kumulativa fördelningsfunktion .

I python, även om Scipy tillhandahåller implementeringar av ofullständiga gammafunktioner under `scipy.special`, stöder det inte negativa värden för det första argumentet. En lösning i sådana fall är att använda funktionen "gammainc" från biblioteket "mpmath".

Regulariserade gammafunktioner och Poisson-slumpvariabler

Två relaterade funktioner är de reguljära gammafunktionerna:

$$P(s,x)={\frac {\gamma (s,x)}{\Gamma (s)}},$$

$$Q(s,x)={\frac {\Gamma (s,x)}{\Gamma (s)}}=1-P(s,x).$$

$P(s,x)$ är den kumulativa fördelningsfunktionen för gamma-slumpvariabler med formparameter $s$ och skalparameter 1.

När $s$ är ett heltal, är $Q(s,\lambda )$ den kumulativa fördelningsfunktionen för Poissons slumpvariabler : Om $X$ är en $\mathrm {Poi} (\lambda )$ slumpmässig variabel sedan

$$\Pr(X<s)=\sum _{i<s}e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}={\frac {\Gamma ( s,\lambda )}{\Gamma (s)}}=Q(s,\lambda ).$$

Denna formel kan härledas genom upprepad integrering av delar.

I samband med den stabila räknefördelningen kan parametern $s$ betraktas som invers av Lévys stabilitetsparameter $\alpha$ :

$$Q(s,x)=\displaystyle \int _{0} ^{\infty }e^{\left(-{x^{s}}/{\nu}\right)}\,{\mathfrak {N}}_{{1}/{s}}\left( \nu \right)\,d\nu ,\,\,(s>1)$$

där ${\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )$ är en standard stabil räknefördelning av formen $\alpha =1/s <1$ .

$P(s,x)$ och $Q(s,x)$ implementeras som gammainc och gammaincc i scipy .

Derivat

Med hjälp av integralrepresentationen ovan är derivatan av den övre ofullständiga gammafunktionen $\Gamma (s,x)$ med avseende på x

$${\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial x}}=-x^{s-1} e^{-x}$$

Derivatan med avseende på dess första argument $s$ ges av

$${\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial s }}=\ln x\Gamma (s,x)+x\,T(3,s,x)$$

och andraderivatan av

$${\frac {\partial ^{2}\Gamma (s,x)}{\partial s^{2}}}=\ln ^{2}x\Gamma (s,x)+2x[\ln x\ ,T(3,s,x)+T(4,s,x)]$$

där funktionen $T(m,s,x)$ är ett specialfall av Meijer G-funktionen

$$T(m,s,x)=G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,0, \dots ,0\\s-1,-1,\dots ,-1\end{matris}}\;\right|\,x\right).$$

Detta speciella specialfall har sina egna interna stängningsegenskaper eftersom det kan användas för att uttrycka alla på varandra följande derivat. I allmänhet,

$${\frac {\partial ^{m}\Gamma (s,x)}{\partial s^{m}}}=\ln ^{m}x\Gamma (s,x) +mx\,\sum _{n=0}^{m-1}P_{n}^{m-1}\ln ^{mn-1}x\,T(3+n,s,x)$$

där $P_{j}^{n}$ är permutationen som definieras av Pochhammer-symbolen :

$$P_{j}^{n}={\binom {n}{j}}j!={\frac {n!}{(nj)!}}.$$

Alla sådana derivat kan genereras i följd från:

$${\frac {\partial T( m,s,x)}{\partial s}}=\ln x~T(m,s,x)+(m-1)T(m+1,s,x)$$

och

$${\frac {\partial T(m,s ,x)}{\partial x}}=-{\frac {1}{x}}[T(m-1,s,x)+T(m,s,x)]$$

Denna funktion $T(m,s,x)$ kan beräknas från dess serierepresentation som gäller för $|z|<1$ ,

$$T(m,s,z)=-{\frac {(-1)^{m-1}}{(m-2)!}}\vänster.{ \frac {d^{m-2}}{dt^{m-2}}}\left[\Gamma (st)z^{t-1}\right]\right|_{t=0}+\ summa _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{s-1+n}}{n!(-sn)^{m-1}}}$$

med förståelsen att s inte är ett negativt heltal eller noll. I ett sådant fall måste man använda en gräns. Resultat för $|z|\geq 1$ kan erhållas genom analytisk fortsättning . Vissa specialfall av denna funktion kan förenklas. Till exempel, $T(2,s,x)=\Gamma (s,x)/x$ , ${\displaystyle x\,T(3,1,x)=\mathrm {E} _{1}(x)} ,$ där $\mathrm {E } _{1}(x)$ är exponentialintegralen . Dessa derivator och funktionen $T(m,s,x)$ ger exakta lösningar på ett antal integraler genom upprepad differentiering av integraldefinitionen av den övre ofullständiga gammafunktionen. Till exempel,

$${\display {x}^{\infty }{\frac {t^{s-1}\ln ^{m}t}{e^{t}}}dt={\frac {\partial ^{m}}{\ partiell s^{m}}}\int _{x}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{e^{t}}}dt={\frac {\partial ^{m }}{\partial s^{m}}}\Gamma (s,x)}$$

Denna formel kan ytterligare blåses upp eller generaliseras till en stor klass av Laplace-transformers och Mellin-transformers . När det kombineras med ett datoralgebrasystem ger utnyttjandet av specialfunktioner en kraftfull metod för att lösa bestämda integraler, i synnerhet de som möter praktiska tekniska tillämpningar (se Symbolisk integration för mer information).

Obestämda och bestämda integraler

Följande obestämda integraler erhålls lätt med användning av integrering av delar (med integrationskonstanten utelämnad i båda fallen):

$$\int x^{b-1}\gamma (s,x)dx={\frac {1}{b}}\left(x^{b}\gamma (s,x)-\gamma (s+b,x)\right),$$

$$\int x^{b-1}\Gamma (s,x)dx={\frac {1}{b}}\left(x^{b}\Gamma (s,x)-\Gamma ( s+b,x)\höger).$$

Den nedre och den övre ofullständiga gammafunktionen är anslutna via Fouriertransformen :

$$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma \left({\frac {s}{2}},z^{2}\pi \right)}{(z ^{2}\pi )^{\frac {s}{2}}}}e^{-2\pi ikz}dz={\frac {\Gamma \left({\frac {1-s}{2 }},k^{2}\pi \right)}{(k^{2}\pi )^{\frac {1-s}{2}}}}.$$

Detta följer till exempel av lämplig specialisering av ( Gradshteyn & Ryzhik 2015 , §7.642) .

Anteckningar

•      Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , red. (1983) [juni 1964]. "Kapitel 6.5". Handbok för matematiska funktioner med formler, grafer och matematiska tabeller . Serien tillämpad matematik. Vol. 55 (Nionde nytrycket med ytterligare korrigeringar av tionde originaltrycket med korrigeringar (december 1972); första upplagan). Washington DC; New York: USA:s handelsdepartement, National Bureau of Standards; Dover Publikationer. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 . "Ofullständig gammafunktion" . §6.5.
•   Allasia, Giampietro; Besenghi, Renata (1986). "Numerisk beräkning av ofullständiga gammafunktioner med trapetsregeln". Nummer. Matematik . 50 (4): 419–428. doi : 10.1007/BF01396662 . S2CID 121964300 .
•    Amore, Paolo (2005). "Asymptotiska och exakta serierepresentationer för den ofullständiga gammafunktionen". Europhys. Lett . 71 (1): 1–7. arXiv : math-ph/0501019 . Bibcode : 2005EL.....71....1A . doi : 10.1209/epl/i2005-10066-6 . MR 2170316 . S2CID 1921569 .
• G. Arfken och H. Weber. Matematiska metoder för fysiker . Harcourt/Academic Press, 2000. (Se kapitel 10.)
•   DiDonato, Armido R.; Morris, Jr., Alfred H. (dec. 1986). "Beräkning av de ofullständiga gammafunktionsförhållandena och deras inversa". ACM-transaktioner på matematisk programvara . 12 (4): 377–393. doi : 10.1145/22721.23109 . S2CID 14351930 .
•   Barakat, Richard (1961). "Utvärdering av den ofullständiga gammafunktionen hos imaginära argument av Chebyshev-polynom" . Matematik. Comp . 15 (73): 7–11. doi : 10.1090/s0025-5718-1961-0128058-1 . MR 0128058 .
•   Carsky, Petr; Polasek, Martin (1998). "Ofullständiga Gamma F_m(x) -funktioner för verkliga och komplexa argument". J. Comput. Phys . 143 (1): 259–265. Bibcode : 1998JCoPh.143..259C . doi : 10.1006/jcph.1998.5975 . MR 1624704 .
•   Chaudhry, M. Aslam; Zubair, SM (1995). "Om nedbrytningen av generaliserade ofullständiga gammafunktioner med applikationer till Fourier-transformer" . J. Comput. Appl. Matematik . 59 (101): 253–284. doi : 10.1016/0377-0427(94)00026-w . MR 1346414 .
•   DiDonato, Armido R.; Morris, Jr., Alfred H. (sep 1987). "ALGORITHM 654: FORTRAN-subrutiner för att beräkna de ofullständiga gammafunktionsförhållandena och deras inversa" . ACM-transaktioner på matematisk programvara . 13 (3): 318–319. doi : 10.1145/29380.214348 . S2CID 19902932 . (Se även www.netlib.org/toms/654 ).
•   Früchtl, H.; Otto, P. (1994). "En ny algoritm för utvärdering av den ofullständiga gammafunktionen på vektordatorer". ACM Trans. Matematik. Softw . 20 (4): 436–446. doi : 10.1145/198429.198432 . S2CID 16737306 .
•   Gautschi, Walter (1998). "Den ofullständiga gammafunktionen sedan Tricomi". Atti Convegni Lincei . 147 : 203–237. MR 1737497 .
•    Gautschi, Walter (1999). "En anmärkning om den rekursiva beräkningen av ofullständiga gammafunktioner" . ACM Trans. Matematik. Softw . 25 (1): 101–107. doi : 10.1145/305658.305717 . MR 1697463 . S2CID 36469885 .
•    Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [oktober 2014]. "8.35.". I Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (red.). Tabell över integraler, serier och produkter . Översatt av Scripta Technica, Inc. (8 uppl.). Academic Press, Inc. s. 908–911. ISBN 978-0-12-384933-5 . LCCN 2014010276 .
•   Jones, William B.; Thron, WJ (1985). "Om beräkningen av ofullständiga gammafunktioner i den komplexa domänen" . J. Comput. Appl. Matematik . 12–13: 401–417. doi : 10.1016/0377-0427(85)90034-2 . MR 0793971 .
• "Ofullständig gammafunktion" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
•    Mathar, Richard J. (2004). "Numerisk representation av den ofullständiga gammafunktionen för ett komplext värderat argument". Numeriska algoritmer . 36 (3): 247–264. arXiv : math/0306184 . Bibcode : 2004NuAlg..36..247M . doi : 10.1023/B:NUMA.0000040063.91709.58 . MR 2091195 . S2CID 30860614 .
• Miller, Allen R.; Moskowitz, Ira S. (1998). "På vissa generaliserade ofullständiga gammafunktioner" . J. Comput. Appl. Matematik . 91 (2): 179–190. doi : 10.1016/s0377-0427(98)00031-4 .
•    Paris, RB (2010), "Ofullständig gammafunktion" , i Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248
•   Paris, RB (2002). "En enhetlig asymptotisk expansion för den ofullständiga gammafunktionen" . J. Comput. Appl. Matematik . 148 (2): 323–339. Bibcode : 2002JCoAM.148..323P . doi : 10.1016/S0377-0427(02)00553-8 . MR 1936142 .
•   Tryck, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Avsnitt 6.2. Ofullständig gammafunktion och felfunktion" . Numeriska recept: The Art of Scientific Computing (3:e upplagan). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8 .
•   Takenaga, Roy (1966). "Om utvärderingen av den ofullständiga gammafunktionen" . Matematik. Comp . 20 (96): 606–610. doi : 10.1090/S0025-5718-1966-0203911-3 . MR 0203911 .
•   Temme, Nico (1975). "Enhetliga asymptotiska expansioner av de ofullständiga gammafunktionerna och den ofullständiga betafunktionen" . Matematik. Comp . 29 (132): 1109–1114. doi : 10.1090/S0025-5718-1975-0387674-2 . MR 0387674 .
•   Terras, Riho (1979). "Bestämning av ofullständiga gammafunktioner genom analytisk integration". J. Comput. Phys . 31 (1): 146–151. Bibcode : 1979JCoPh..31..146T . doi : 10.1016/0021-9991(79)90066-4 . MR 0531128 .
•    Tricomi, Francesco G. (1950). "Sulla funzione gamma incompleta". Ann. Matta. Pura Appl . 31 : 263-279. doi : 10.1007/BF02428264 . MR 0047834 . S2CID 120404791 .
•    Tricomi, FG (1950). "Asymptotische Eigenschaften der unvollst. Gammafunktion". Matematik. Z . 53 (2): 136–148. doi : 10.1007/bf01162409 . MR 0045253 . S2CID 121234109 .
•    van Deun, Joris; Cools, Ronald (2006). "En stabil upprepning för den ofullständiga gammafunktionen med imaginärt andra argument". Nummer. Matematik . 104 (4): 445–456. doi : 10.1007/s00211-006-0026-1 . MR 2249673 . S2CID 43780150 .
•    Winitzki, Serge (2003). "Beräknar den ofullständiga gammafunktionen till godtycklig precision". Lect. Inte. Comp. Sci . Föreläsningsanteckningar i datavetenskap. 2667 : 790–798. doi : 10.1007/3-540-44839-x_83 . ISBN 978-3-540-40155-1 . MR 2110953 .
• Weisstein, Eric W. "Ofullständig gammafunktion" . MathWorld .

externa länkar

• $P(a,x)$ — Regularized Lower Incomplet Gamma Function Calculator
• $Q(a,x)$ — Regularized Upper Incomplete Gamma Function Calculator
• $\gamma (a,x)$ — Kalkylator för lägre ofullständig gammafunktion
• $\Gamma (a,x)$ — Upper Incomplete Gamma Function Calculator
• formler och identiteter för den ofullständiga gammafunktionen functions.wolfram.com