Champernowne distribution

I statistik är Champernowne -fördelningen en symmetrisk, kontinuerlig sannolikhetsfördelning , som beskriver slumpvariabler som tar både positiva och negativa värden. Det är en generalisering av den logistiska distributionen som infördes av GD Champernowne . Champernowne utvecklade fördelningen för att beskriva inkomstens logaritm.

Definition

Champernowne-fördelningen har en sannolikhetstäthetsfunktion som ges av

$f(y;\alpha ,\lambda ,y_{0}) ={\frac {n}{\cosh[\alpha (y-y_{0})]+\lambda }},\qquad -\infty <y<\infty ,$

där $\alpha ,\lambda ,y_{0}$ är positiva parametrar, och n är normaliseringskonstanten, som beror på parametrarna. Densiteten kan skrivas om som

$f(y)={\frac {n}{1/2e^ {\alpha (y-y_{0})}+\lambda +1/2e^{-\alpha (y-y_{0})}}},$

med det faktum att $\cosh y=(e^{y}+e^{-y})/2.$

Egenskaper

₀ Densiteten f ( y ) definierar en symmetrisk fördelning med median y , som har svansar något tyngre än en normalfördelning.

Speciella fall

I specialfallet $\lambda =1$ är det Burr Type XII- densiteten.

När $y_{0}=0,\alpha =1,\lambda =1$ ,

$f(y)={\frac {1}{e^{y}+2+e^ {-y}}}={\frac {e^{y}}{(1+e^{y})^{2}}},$

vilket är tätheten för den vanliga logistiska distributionen .

Inkomstfördelning

Om fördelningen av Y , inkomstens logaritm, har en Champernowne-fördelning, så är densitetsfunktionen för inkomsten X = exp( Y )

$f(x)={\frac {n}{ x[1/2(x/x_{0})^{-\alpha }+\lambda +a/2(x/x_{0})^{\alpha }]}},\qquad x>0,$

₀₀ där x = exp( y ) är medianinkomsten. Om λ = 1 kallas denna fördelning ofta för Fisk-fördelningen , som har densitet

$f(x)={\frac {\alpha x^{\alpha -1} }{x_{0}^{\alpha [1+(x/x_{0})^{\alpha }]^{2}}},\qquad x>0.$

Se även

• Generaliserad logistisk distribution