Akuta och trubbiga trianglar

En spetsig triangel (eller spetvinklad triangel ) är en triangel med tre spetsiga vinklar (mindre än 90°). En trubbig triangel (eller trubbvinklad triangel ) är en triangel med en trubbig vinkel (större än 90°) och två spetsiga vinklar. Eftersom en triangels vinklar måste summera till 180° i euklidisk geometri , kan ingen euklidisk triangel ha mer än en trubbig vinkel.

Akuta och trubbiga trianglar är de två olika typerna av sneda trianglar - trianglar som inte är räta trianglar eftersom de inte har en 90° vinkel.

Höger	Trubbig	Akut
	$\quad \underbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } _{}$
	Sned

Egenskaper

I alla trianglar är tyngdpunkten – skärningspunkten mellan medianerna , som var och en förbinder en vertex med mittpunkten på den motsatta sidan – och mittpunkten – mitten av cirkeln som internt tangerar alla tre sidorna – i det inre av triangeln. Men medan ortocenter och circumcenter är i en spetsig triangels inre, är de utanför en trubbig triangel.

Ortocentret är skärningspunkten för triangelns tre höjder , som var och en vinkelrätt förbinder en sida med den motsatta vertexen . I fallet med en spetsig triangel ligger alla dessa tre segment helt och hållet i triangelns inre, och så skärs de i det inre. Men för en trubbig triangel skär höjderna från de två spetsiga vinklarna endast förlängningarna av de motsatta sidorna. Dessa höjder faller helt utanför triangeln, vilket resulterar i att deras skärning med varandra (och därmed med den utökade höjden från den trubbvinklade vertexen) inträffar i triangelns yttre.

Likaså faller en triangels omkretscentrum - skärningspunkten mellan de tre sidornas vinkelräta bisektrar , som är mitten av cirkeln som passerar genom alla tre hörn - inuti en spetsig triangel men utanför en trubbig triangel.

Den högra triangeln är mittemellanfallet: både dess circumcenter och dess ortocenter ligger på dess gräns.

I vilken triangel som helst är två valfria vinkelmått A och B motsatta sidorna a respektive b relaterade enligt

$A>B\quad {\text{if and only if}}\quad a>b.$

Detta innebär att den längsta sidan i en trubbig triangel är den som är motsatt den trubbvinklade vertexen.

En spetsig triangel har tre inskrivna kvadrater , var och en med en sida som sammanfaller med en del av en sida av triangeln och med kvadratens andra två hörn på de återstående två sidorna av triangeln. (I en rätvinklig triangel är två av dessa sammanslagna till samma kvadrat, så det finns bara två distinkta inskrivna kvadrater.) En trubbig triangel har dock bara en inskriven kvadrat, vars ena sidor sammanfaller med en del av den längsta sidan av triangeln .

Alla trianglar där Eulerlinjen är parallell med en sida är spetsiga. Den här egenskapen gäller för sidan BC om och endast om $(\tan B)(\tan C)=3.$

Ojämlikheter

Se även: Lista över triangelojämlikheter

Sidor

Om vinkeln C är trubbig så har vi för sidorna a , b , och c

${\frac {c^{2}}{2}}<a^{2}+b^{2}<c^{2},$

med den vänstra olikheten närmar sig jämlikhet i gränsen endast när spetsvinkeln för en likbent triangel närmar sig 180°, och med den högra olikheten närmar sig jämlikhet endast när den trubbiga vinkeln närmar sig 90°.

Om triangeln är spetsig då

$a^{2}+b^{2}>c^{2},\quad b^{2}+c^{2}>a^{2},\quad c^{2}+a ^{2}>b^{2}.$

Höjd över havet

Om C är den största vinkeln och h _c är höjden från vertex C , då för en spetsig triangel

${\frac {1}{h_{c}^{2}}}<{\frac {1}{a^{2}}}+{ \frac {1}{b^{2}}},$

med motsatt olikhet om C är trubbig.

Medianer

Med längsta sidan c och medianerna m _a och m _b från de andra sidorna,

$4c^{2}+9a^{2}b^{2}>16m_{a}^{2}m_{b}^ {2}$

för en spetsig triangel men med olikheten omvänd för en trubbig triangel.

Medianen m _c från den längsta sidan är större eller mindre än cirkumradien för en spetsig respektive trubbig triangel:

$m_{c}>R$

för spetsiga trianglar, med motsatsen för trubbiga trianglar.

Område

Onos ojämlikhet för området A ,

$27(b^{2 }+c^{2}-a^{2})^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}(a^{2}+b^ {2}-c^{2})^{2}\leq (4A)^{6},$

gäller för alla spetsiga trianglar men inte för alla trubbiga trianglar.

Trigonometriska funktioner

För en spetsig triangel har vi, för vinklarna A , B , och C ,

$\cos ^{2}A+\cos ^{2}B+\cos ^{2}C<1,$

med den omvända ojämlikheten som gäller för en trubbig triangel.

För en spetsig triangel med cirkumradius R ,

$a\cos ^{3}A+b\cos ^{3}B+c\cos ^{ 3}C\leq {\frac {abc}{4R^{2}}}$

och

$\cos ^{3}A+\cos ^{3}B+\cos ^{3}C+\cos A\cos B\cos C\geq {\frac {1}{2}}.$

För en spetsig triangel,

$\sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\sin ^{2}C>2,$

med omvänd olikhet för en trubbig triangel.

För en spetsig triangel,

$\sin A\cdot \sin B+\sin B\cdot \sin C+\sin C\cdot \sin A\leq (\cos A+\cos B+\cos C)^{2}.$

För varje triangel anger trippeltangensidentiteten att summan av vinklarnas tangenter är lika med deras produkt. Eftersom en spetsig vinkel har ett positivt tangentvärde medan en trubbig vinkel har en negativ, visar uttrycket för produkten av tangenterna att

$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\cdot \tan B\cdot \tan C >0$

för spetsiga trianglar, medan den motsatta riktningen av ojämlikhet gäller för trubbiga trianglar.

Vi har

$\tan A+\tan B+\tan C\geq 2(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)$

för spetsiga trianglar och det omvända för trubbiga trianglar.

För alla spetsiga trianglar,

$(\tan A+\tan B+\tan C)^{2}\geq (\sec A+1)^{2}+(\sec B+1)^{2}+(\sec C+1) )^{2}.$

För alla spetsiga trianglar med inradius r och circumradius R ,

$a\tan A+b\tan B+c\tan C\geq 10R-2r.$

För en spetsig triangel med area K ,

$({\sqrt {\cot A}}+{\sqrt {\cot B}}+{\sqrt {\cot C}})^{2}\leq {\frac {K}{r^{ 2}}}.$

Circumradius, inradius och exradii

I en spetsig triangel är summan av cirkumradien R och inradius r mindre än halva summan av de kortaste sidorna a och b :

$R+r<{\frac {a+b}{2}},$

medan den omvända ojämlikheten gäller för en trubbig triangel.

För en spetsig triangel med medianerna m _a , m _b och m _c och cirkumradius R har vi

$m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}>6R^{2}$

medan den motsatta ojämlikheten gäller för en trubbig triangel.

Dessutom uppfyller en spetsig triangel

$r^{2}+r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c} ^{2}<8R^{2},$

i termer av cirkelradierna r _a , r _b , och r _c , återigen med den omvända olikheten som gäller för en trubbig triangel .

För en spetsig triangel med halvperimeter s ,

$sr>2R,$

och den omvända ojämlikheten gäller för en trubbig triangel.

För en spetsig triangel med area K ,

$ab+bc+ca\geq 2R(R+r)+{\frac {8K}{\sqrt {3}}}.$

Avstånd som involverar triangelcentrum

uppfylls avståndet mellan circumcenter O och ortocenter H

$OH<R,$

med motsatt ojämlikhet för en trubbig triangel.

uppfylls avståndet mellan incirkelcentrum I och ortocenter H

$IH<r{\sqrt {2}},$

där r är inradius , med den omvända olikheten för en trubbig triangel.

Inskriven kvadrat

Om en av de inskrivna kvadraterna i en spetsig triangel har sidlängden x _a och en annan har sidlängden x _b med x _a < x _b , då

$1\geq {\frac {x_{a}}{x_{b}}}\geq {\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\approx 0,94.$

Två trianglar

Om två trubbiga trianglar har sidor ( a, b, c ) och ( p, q, r ) där c och r är de respektive längsta sidorna, då

$ap+bq<cr.$

Exempel

Trianglar med speciella namn

Calabi- triangeln , som är den enda icke-liksidiga triangeln för vilken den största kvadraten som passar in i det inre kan placeras på något av tre olika sätt, är trubbig och likbent med basvinklar 39.1320261...° och tredje vinkeln 101.7359477. .°.

Den liksidiga triangeln , med tre 60° vinklar, är spetsig.

Morleytriangeln , som bildas från vilken triangel som helst av skärningspunkterna mellan dess närliggande vinkeltrisektorer, är liksidig och därmed spetsig .

Den gyllene triangeln är den likbenta triangeln där förhållandet mellan den dubblerade sidan och bassidan är lika med det gyllene snittet . Den är spetsig, med vinklarna 36°, 72° och 72°, vilket gör den till den enda triangeln med vinklar i proportionerna 1:2:2.

Den heptagonala triangeln , med sidor som sammanfaller med en sida, den kortare diagonalen och den längre diagonalen av en vanlig heptagon , är trubbig, med vinklarna $\pi /7,2\pi / 7,$ och $4\pi /7.$

Trianglar med heltalssidor

Den enda triangeln med på varandra följande heltal för en höjd och sidorna är spetsig, med sidor (13,14,15) och höjd från sida 14 lika med 12.

Triangeln med minsta omkrets med heltalssidor i aritmetisk progression, och den minsta omkretsen heltalssidiga triangeln med distinkta sidor, är trubbig: nämligen den med sidor (2, 3, 4).

De enda trianglarna där en vinkel är två gånger en annan och har heltalssidor i aritmetisk progression är akuta: nämligen triangeln (4,5,6) och dess multipler.

Det finns inga akuta heltalstrianglar med area = omkrets , men det finns tre trubbiga trianglar med sidor (6,25,29), (7,15,20) och (9,10,17).

Den minsta heltalssidiga triangeln med tre rationella medianer är spetsig, med sidor (68, 85, 87).

Hägertrianglar har heltalssidor och heltalsarea. Den sneda Heron-triangeln med den minsta omkretsen är spetsig, med sidor (6, 5, 5). De två sneda Heron-trianglarna som delar den minsta arean är den spetsiga med sidor (6, 5, 5) och den trubbiga med sidor (8, 5, 5), vars area är 12.

• Weisstein, Eric W. "Akut triangel" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Trubbad triangel" . MathWorld .