Ortodiagonal fyrhörning

En ortodiagonal fyrhörning (gul). Enligt karaktäriseringen av dessa fyrhörningar har de två röda rutorna på två motsatta sidor av fyrhörningen samma totala yta som de två blå rutorna på det andra paret av motsatta sidor.

I euklidisk geometri är en ortodiagonal fyrhörning en fyrhörning där diagonalerna korsar sig i räta vinklar . Det är med andra ord en fyrsidig figur där linjesegmenten mellan icke-angränsande hörn är ortogonala (vinkelräta) mot varandra.

Speciella fall

En drake är en ortodiagonal fyrhörning där en diagonal är en symmetrilinje . Drakarna är exakt de ortodiagonala fyrhörningarna som innehåller en cirkel som tangerar alla fyra sidorna; det vill säga drakarna är de tangentiella ortodiagonala fyrhörningarna.

En rhombus är en ortodiagonal fyrhörning med två par parallella sidor (det vill säga en ortodiagonal fyrhörning som också är ett parallellogram ).

En kvadrat är ett begränsningsfall för både en drake och en romb.

Ortodiagonala ekvidagonala fyrhörningar där diagonalerna är minst lika långa som alla fyrhörningens sidor har den maximala arean för sin diameter bland alla fyrhörningar, vilket löser fallet n = 4 för det största lilla polygonproblemet . Torget är en sådan fyrhörning, men det finns oändligt många andra. En ortodiagonal fyrhörning som också är lik diagonal är en mellankvadrat fyrhörning eftersom dess Varignon-parallellogram är en kvadrat. Dess område kan uttryckas rent i termer av dess sidor.

Karakteriseringar

För varje ortodiagonal fyrhörning är summan av kvadraterna på två motsatta sidor lika med summan av de andra två motsatta sidorna: för på varandra följande sidor a , b , c och d , har vi

$\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}.$

Detta följer av Pythagoras sats , genom vilken endera av dessa två summor av två kvadrater kan expanderas till att vara lika med summan av de fyra kvadratiska avstånden från fyrhörningens hörn till den punkt där diagonalerna skär varandra. Omvänt måste alla fyrhörningar där a ² + c ² = b ² + d ^{2 vara ortodiagonala.} Detta kan bevisas på ett antal sätt, inklusive genom att använda lagen om cosinus , vektorer , ett indirekt bevis och komplexa tal .

Diagonalerna på en konvex fyrhörning är vinkelräta om och endast om de två bimedianerna är lika långa.

Enligt en annan karaktärisering är diagonalerna för en konvex fyrhörning ABCD vinkelräta om och endast om

$\angle PAB+\angle PBA+\angle PCD+\angle PDC=\pi$

där P är skärningspunkten för diagonalerna. Av denna ekvation följer nästan omedelbart att diagonalerna för en konvex fyrhörning är vinkelräta om och endast om projektionerna av den diagonala skärningspunkten på sidorna av fyrhörningen är hörnen på en cyklisk fyrhörning .

En ortodiagonal fyrsidig ABCD (i blått). Varignon -parallellogrammet (i grönt) som bildas av mittpunkterna på kanterna på ABCD är en rektangel. Dessutom är de fyra mittpunkterna (grå) och de fyra foten av maltituden (röda) samcykliska på 8-punktscirkeln .

En konvex fyrhörning är ortodiagonal om och endast om dess Varignon-parallellogram (vars hörn är mittpunkterna på dess sidor) är en rektangel . En relaterad karaktärisering säger att en konvex fyrhörning är ortodiagonal om och endast om mittpunkterna på sidorna och fötterna på de fyra maltituderna är åtta koncykliska punkter ; åttapunktscirkeln . _ Mitten av denna cirkel är tyngdpunkten för fyrhörningen. Den fyrhörning som bildas av maltitudens fötter kallas den huvudsakliga ortiska fyrhörningen .

En andra 8-punktscirkel kan konstrueras från en ortodiagonal fyrhörning ABCD (i blått). Linjerna vinkelräta mot varje sida genom skärningspunkten mellan diagonalerna skär sidorna i 8 olika punkter, som alla är samcykliska.

Om normalerna till sidorna av en konvex fyrhörning ABCD genom den diagonala skärningspunkten skär de motsatta sidorna i R , S , T , U och K , L , M , N är fötterna för dessa normaler, så är ABCD ortodiagonal om och endast om de åtta punkterna K , L , M , N , R , S , T och U är koncykliska; den andra åttapunktscirkeln . En relaterad karakterisering säger att en konvex fyrhörning är ortodiagonal om och endast om RSTU är en rektangel vars sidor är parallella med diagonalerna i ABCD .

Det finns flera metriska karaktäriseringar angående de fyra trianglarna som bildas av den diagonala skärningspunkten P och hörnen på en konvex fyrhörning ABCD . Beteckna med m ₁ , m ₂ , m ₃ , m ₄ medianerna i trianglarna ABP , BCP , CDP , DAP från P till sidorna AB , BC , CD , DA respektive . Om R ₁ , R ₂ , R ₃ , R ₄ och h ₁ , h ₂ , h ₃ , h ₄ betecknar radierna för de omslutna cirklarna respektive höjderna för dessa trianglar, så är fyrhörningen ABCD ortodiagonal om och endast om någon av följande jämlikheter gäller:

• $m_{1}^{2}+m_{3}^{2}=m_{2}^{2}+m_{4}^ {2}$
• $R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^ {2}$
• ${\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3 }^{2}}}={\frac {1}{h_{2}^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}$

Dessutom är en fyrhörning ABCD med skärningspunkten P av diagonalerna ortodiagonal om och endast om trianglarna ABP , BCP , CDP och DAP är mittpunkterna på fyrhörningens sidor .

Jämförelse med en tangentiell fyrhörning

Några metriska karakteriseringar av tangentiella fyrhörningar och ortodiagonala fyrhörningar är mycket lika till utseendet, vilket kan ses i denna tabell. Beteckningarna på sidorna a , b , c , d , cirkumradii R ₁ , R ₂ , R ₃ , R ₄ och höjderna h ₁ , h ₂ , h ₃ , h ₄ är desamma som ovan i båda typerna av fyrhörningar.

Tangentiell fyrhörning	Ortodiagonal fyrhörning
$a+c=b+d$	$a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}$
$R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}$	$R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^ {2}$
${\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac { 1}{h_{2}}}+{\frac {1}{h_{4}}}$	${\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3 }^{2}}}={\frac {1}{h_{2}^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}$

Område

Arean K av en ortodiagonal fyrhörning är lika med hälften av produkten av längderna på diagonalerna p och q :

$K={\frac {pq}{2}}.$

Omvänt måste varje konvex fyrhörning där arean kan beräknas med denna formel vara ortodiagonal. Den ortodiagonala fyrhörningen har den största arean av alla konvexa fyrhörningar med givna diagonaler.

Övriga fastigheter

• Ortodiagonala fyrhörningar är de enda fyrhörningar för vilka sidorna och vinkeln som bildas av diagonalerna inte entydigt bestämmer arean. Till exempel, två romber som båda har gemensam sida a (och som för alla rombi, båda har en rät vinkel mellan diagonalerna), men den ena som har en mindre spetsig vinkel än den andra, har olika area (ytan av den förra närmar sig noll när den spetsiga vinkeln närmar sig noll).
• Om kvadrater är resta utåt på sidorna av någon fyrhörning (konvex, konkav eller korsad), så är deras mittpunkter ( tyngdpunkter ) hörnen på en ortodiagonal fyrhörning som också är lik diagonal (det vill säga har lika långa diagonaler). Detta kallas Van Aubels teorem .
• Varje sida av en ortodiagonal fyrhörning har minst en gemensam punkt med Pascal-punktcirkeln.

Egenskaper hos ortodiagonala fyrhörningar som också är cykliska

Circumradius och område

För en cyklisk ortodiagonal fyrhörning (en som kan skrivas in i en cirkel), anta att skärningspunkten mellan diagonalerna delar en diagonal i segment med längderna p ₁ och p ₂ och delar upp den andra diagonalen i segment med längderna q ₁ och q ₂ . Sedan (den första likheten är Proposition 11 i Arkimedes ' Lemmas bok )

$D^{2}=p_{1}^{2}+p_{ 2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}$

där D är diametern på den omslutna cirkeln. Detta gäller eftersom diagonalerna är vinkelräta ackord i en cirkel . Dessa ekvationer ger uttrycket circumradius

$R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2 }^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}$

eller, i termer av sidorna av fyrhörningen, som

$R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{ 2}+d^{2}}}.$

Därav följer också

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.$

Således, enligt Eulers fyrsidiga sats , kan cirkumradien uttryckas i termer av diagonalerna p och q , och avståndet x mellan diagonalernas mittpunkter som

$R={\sqrt {\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}\,.$

En formel för arean K av en cyklisk ortodiagonal fyrhörning i termer av de fyra sidorna erhålls direkt när man kombinerar Ptolemaios sats och formeln för arean av en ortodiagonal fyrhörning . Resultatet är

$K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).$

Övriga fastigheter

• I en cyklisk ortodiagonal fyrhörning sammanfaller anticentrum med punkten där diagonalerna skär varandra.
• Brahmaguptas sats säger att för en cyklisk ortodiagonal fyrhörning delar vinkelrät från vilken sida som helst genom skärningspunkten för diagonalerna den motsatta sidan.
• Om en ortodiagonal fyrhörning också är cyklisk, är avståndet från circumcenter (centrum av den omskrivna cirkeln) till vilken sida som helst lika med halva längden av den motsatta sidan.
• I en cyklisk ortodiagonal fyrhörning är avståndet mellan diagonalernas mittpunkter lika med avståndet mellan circumcenter och punkten där diagonalerna skär varandra.

Oändliga uppsättningar av inskrivna rektanglar

$ABCD$ är en ortodiagonal fyrhörning, $P_{1}X_{1}Z_{1}Y_{1}$ och $P_{2}X_{2}Z_{2}Y_{2}$ är rektanglar vars sidor är parallella med diagonalerna på fyrhörningen.

$ABCD$ är en ortodiagonal fyrhörning. $P_{1}$ och $Q_{1}$ är Pascal-punkter som bildas av cirkeln $\omega _{1}$ , $\ sigma _{P_{1}Q_{1}}$ är Pascal-points-cirkeln som definierar rektangeln $P_{1}V_{1}Q_{1}W_{1}$ . $P_{2}$ och $Q_{2}$ är Pascal-punkter som bildas av cirkeln $\omega _{2}$ , $\ sigma _{P_{2}Q_{2}}$ är Pascal-points-cirkeln som definierar rektangeln $P_{2}V_{2}Q_{2}W_{2}$ .

För varje ortodiagonal fyrhörning kan vi skriva in två oändliga uppsättningar av rektanglar:

(i) en uppsättning rektanglar vars sidor är parallella med diagonalerna på fyrhörningen (

ii) en uppsättning rektanglar definierade av Pascal-points cirklar.