Ikosaedrisk symmetri

Valda punktgrupper i tre dimensioner

Involutionssymmetri C s , (*) [ ] =	Cyklisk symmetri C nv , (*nn) [n] =	Dihedral symmetri D nh , (*n22) [n,2] =
Polyedrisk grupp , [n,3], (*n32)
Tetraedrisk symmetri Td , (*332) [3,3] =	Oktaedrisk symmetri O h , (*432) [4,3] =	Ikosaedrisk symmetri I h , (*532) [5,3] =

Icosaedrisk symmetri grundläggande domäner

En fotboll , ett vanligt exempel på en sfärisk trunkerad icosahedron , har full icosahedral symmetri.

Rotationer och reflektioner bildar symmetrigruppen för en stor ikosaeder .

I matematik, och särskilt i geometri, har ett objekt icosahedrisk symmetri om det har samma symmetri som en vanlig icosahedron . Exempel på andra polyedrar med icosahedral symmetri inkluderar den vanliga dodecahedron ( dual av icosahedron) och den rombiska triacontahedron .

Varje polyeder med ikosaedrisk symmetri har 60 rotationssymmetrier (eller orienteringsbevarande) symmetrier och 60 orienteringsreverserande symmetrier (som kombinerar en rotation och en reflektion ), för en total symmetriordning på 120. Den fullständiga symmetrigruppen är Coxeter-gruppen av typ H ₃ . Det kan representeras av Coxeter-notation [5,3] och Coxeter-diagram . Uppsättningen av rotationssymmetrier bildar en undergrupp som är isomorf till den alternerande gruppen A ₅ på 5 bokstäver.

Beskrivning

Icosahedral symmetri är en matematisk egenskap hos objekt som indikerar att ett objekt har samma symmetri som en vanlig icosahedron .

Som poänggrupp

Bortsett från de två oändliga serierna av prismatisk och antiprismatisk symmetri, är rotationsikosaedrisk symmetri eller kiral ikosaedrisk symmetri av kirala objekt och full ikosaedrisk symmetri eller akiral ikosaedrisk symmetri de diskreta punktsymmetrierna (eller motsvarande symmetrierna ) med den största symmetrin på den största symmetrin .

Ikosaedrisk symmetri är inte kompatibel med translationell symmetri , så det finns inga associerade kristallografiska punktgrupper eller rymdgrupper .

Schö.	Coxeter		Klot.	Abstrakt struktur	Beställa
jag	[5,3] +		532	En 5	60
jag h	[5,3]		*532	A 5 × 2	120

Presentationer som motsvarar ovanstående är:

$I:\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5} \rangle \$

$I_{h}:\langle s,t\mid s^{3}(st)^{-2},t^{5}(st)^{-2}\rangle .\$

Dessa motsvarar att de ikosaedriska grupperna (roterande och fulla) är triangelgrupperna (2,3,5) .

Den första presentationen gavs av William Rowan Hamilton 1856, i hans papper om ikonisk kalkyl .

Observera att andra presentationer är möjliga, till exempel som en alternerande grupp (för I ).

Visualiseringar

Den fullständiga symmetrigruppen är Coxeter-gruppen av typ H ₃ . Det kan representeras av Coxeter-notation [5,3] och Coxeter-diagram . Uppsättningen av rotationssymmetrier bildar en undergrupp som är isomorf till den alternerande gruppen A ₅ på 5 bokstäver.

Schoe. ( Orb. )	Coxeter notation	Element	Spegeldiagram
			Ortogonal	Stereografisk projektion
I h (*532)	[5,3]	Spegellinjer : 15
I (532)	[5,3] +	Gyreringspunkter : 12 5 20 3 30 2

Gruppstruktur

Varje polyeder med icosaedrisk symmetri har 60 rotationssymmetrier (eller orienteringsbevarande) symmetrier och 60 orienteringsreverserande symmetrier (som kombinerar en rotation och en reflektion ), för en total symmetriordning på 120.

Kanterna på en sfärisk sammansättning av fem oktaedrar representerar de 15 spegelplanen som färgade storcirklar. Varje oktaeder kan representera 3 ortogonala spegelplan med sina kanter.
Den pyritoedriska symmetrin är en index 5-undergrupp av icosaedrisk symmetri, med 3 ortogonala gröna reflektionslinjer och 8 röda ordnings-3 gyrationspunkter. Det finns 5 olika orienteringar av pyritoedrisk symmetri.

Den ikosaedriska rotationsgruppen I är av ordningen 60. Gruppen I är isomorf till A5 , den alternerande gruppen av jämna permutationer av fem objekt _. Denna isomorfism kan realiseras genom att jag verkar på olika föreningar, särskilt föreningen av fem kuber (som inskrivs i dodekaedern ), föreningen av fem oktaedrar , eller någon av de två föreningarna av fem tetraedrar (som är enantiomorfer , och inskriva i dodekaeder). Gruppen innehåller 5 versioner av T _h med 20 versioner av D ₃ (10 axlar, 2 per axel), och 6 versioner av D ₅ .

Den fullständiga ikosaedriska gruppen Ih _, har ordning 120. Den har I som normal undergrupp av index 2. Gruppen Ih _motsvarar är isomorf till I × Z ₂ , eller A ₅ × Z ₂ med inversionen i mitten som elementet (identitet) ,-1), där Z ₂ skrivs multiplikativt.

I _h verkar på föreningen av fem kuber och sammansättningen av fem oktaedrar , men −1 fungerar som identiteten (eftersom kuber och oktaedrar är centralt symmetriska). Det verkar på föreningen av tio tetraedrar : I verkar på de två kirala halvorna ( föreningar av fem tetraedrar ), och −1 byter ut de två halvorna. Notera att det inte fungerar som S5 _och dessa grupper är inte isomorfa; se nedan för detaljer.

Gruppen innehåller 10 versioner av D _3d och 6 versioner av D _5d (symmetrier som antiprismor).

I är också isomorf till PSL ₂ (5), men Ih är _inte isomorf till SL ₂ (5).

Isomorfism av I med A ₅

Det är användbart att explicit beskriva hur isomorfismen mellan I och A ₅ ser ut. I följande tabell verkar permutationerna Pi _{och Qi} på 5 respektive 12 element, medan rotationsmatriserna Mi _är elementen i I. Om P _k är produkten av att ta permutationen Pi _och applicera P _{j på den, så} är det för samma värden av i , j och k också sant att Q _k är produkten av att ta Q _i och tillämpa Q _j , och även att förmultiplicering av en vektor med Mk _är detsamma som att förmultiplicera den vektorn med Mi och _sedan förmultiplicera det resultatet med Mj, _det vill säga _Mk = _Mj × _Mi. Eftersom permutationerna Pi _är alla de 60 jämna permutationerna av 12345, görs en-till-en-överensstämmelsen explicit, därför också isomorfismen.

Rotationsmatris	Permutation av 5 på 1 2 3 4 5	Permutation av 12 på 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
$M_{1}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$	$P_{1}$ = ()	$Q_{1}$ = ()
$M_{2}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\ frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{ \frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{2}$ = (3 4 5)	$Q_{2}$ = (1 11 8)(2 9 6)(3 5 12)(4 7 10)
$M_{3}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{ \frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{ \frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{3}$ = (3 5 4)	$Q_{3}$ = (1 8 11)(2 6 9)(3 12 5)(4 10 7)
$M_{4}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{ \frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{ \frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{4}$ = (2 3)(4 5)	$Q_{4}$ = (1 12)(2 8)(3 6)(4 9)(5 10)(7 11)
$M_{5}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{ 2\phi }}&-{\frac {\phi}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{5}$ = (2 3 4)	$Q_{5}$ = (1 2 3)(4 5 6)(7 9 8)(10 11 12)
$M_{6}={\begin{bmatrix}-{\frac {1 }{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi}{2}}&-{\frac { 1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac { \phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{6}$ = (2 3 5)	$Q_{6}$ = (1 7 5)(2 4 11)(3 10 9)(6 8 12)
$M_{7}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1} {2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{7}$ = (2 4 3)	$Q_{7}$ = (1 3 2)(4 6 5)(7 8 9)(10 12 11)
$M_{8}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&1\\-1&0&0\end{bmatrix}}$	$P_{8}$ = (2 4 5)	$Q_{8}$ = (1 10 6)(2 7 12)(3 4 8)(5 11 9)
$M_{9}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi } {2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\ phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi}{2}}&-{\frac {1}{ 2}}\end{bmatrix}}$	$P_{9}$ = (2 4)(3 5)	$Q_{9}$ = (1 9)(2 5)(3 11)(4 12)(6 7)(8 10)
$M_{10}={\begin{bmatrix}-{\frac {1 }{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi}{2}}&-{\frac { 1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac { \phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{10}$ = (2 5 3)	$Q_{10}$ = (1 5 7)(2 11 4)(3 9 10)(6 12 8)
$M_{11}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}$	$P_{11}$ = (2 5 4)	$Q_{11}$ = (1 6 10)(2 12 7)(3 8 4)(5 9 11)
$M_{12}={\begin{bmatrix}{\frac { 1}{2\phi }}&-{\frac {\phi}{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi}{2}}&-{\ frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&- {\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{12}$ = (2 5)(3 4)	$Q_{12}$ = (1 4)(2 10)(3 7)(5 8)(6 11)(9 12)
$M_{13}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}$	$P_{13}$ = (1 2)(4 5)	$Q_{13}$ = (1 3)(2 4)(5 8)(6 7)(9 10)(11 12)
$M_{14}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{ 2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\ phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{14}$ = (1 2)(3 4)	$Q_{14}$ = (1 5)(2 7)(3 11)(4 9)(6 10)(8 12)
$M_{15}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}& -{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{ \frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{15}$ = (1 2)(3 5)	$Q_{15}$ = (1 12)(2 10)(3 8)(4 6)(5 11)(7 9)
$M_{16}={\begin{bmatrix}-{\frac {1 }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac { \phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1 }{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{16}$ = (1 2 3)	$Q_{16}$ = (1 11 6)(2 5 9)(3 7 12)(4 10 8)
$M_{17}={\begin{bmatrix}-{\frac {1 }{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi}{2}}&{\frac {1 }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac { \phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{17}$ = (1 2 3 4 5)	$Q_{17}$ = (1 6 5 3 9)(4 12 7 8 11)
$M_{18}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1} {2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{18}$ = (1 2 3 5 4)	$Q_{18}$ = (1 4 8 6 2)(5 7 10 12 9)
$M_{19}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{ \frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&- {\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{19}$ = (1 2 4 5 3)	$Q_{19}$ = (1 8 7 3 10)(2 12 5 6 11)
$M_{20}={\begin{bmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{bmatrix}}$	$P_{20}$ = (1 2 4)	$Q_{20}$ = (1 7 4)(2 11 8)(3 5 10)(6 9 12)
$M_{21}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2 \phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi}{2}}&{\frac {1}{ 2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{ 2}}\end{bmatrix}}$	$P_{21}$ = (1 2 4 3 5)	$Q_{21}$ = (1 2 9 11 7)(3 6 12 10 4)
$M_{22}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{ 2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\ phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi}{2}}&{\frac {1}{ 2}}\end{bmatrix}}$	$P_{22}$ = (1 2 5 4 3)	$Q_{22}$ = (2 3 4 7 5)(6 8 10 11 9)
$M_{23}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{bmatrix}}$	$P_{23}$ = (1 2 5)	$Q_{23}$ = (1 9 8)(2 6 3)(4 5 12)(7 11 10)
$M_{24}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\ frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}} &{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{24}$ = (1 2 5 3 4)	$Q_{24}$ = (1 10 5 4 11)(2 8 9 3 12)
$M_{25}={\begin{bmatrix}-{\frac {1 }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1 }{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{25}$ = (1 3 2)	$Q_{25}$ = (1 6 11)(2 9 5)(3 12 7)(4 8 10)
$M_{26}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{ 2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\ phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi}{2}}&{\frac {1}{ 2}}\end{bmatrix}}$	$P_{26}$ = (1 3 4 5 2)	$Q_{26}$ = (2 5 7 4 3)(6 9 11 10 8)
$M_{27}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\ frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&- {\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{27}$ = (1 3 5 4 2)	$Q_{27}$ = (1 10 3 7 8)(2 11 6 5 12)
$M_{28}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&- {\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{ \frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{28}$ = (1 3)(4 5)	$Q_{28}$ = (1 7)(2 10)(3 11)(4 5)(6 12)(8 9)
$M_{29}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{ \frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}& {\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{29}$ = (1 3 4)	$Q_{29}$ = (1 9 10)(2 12 4)(3 6 8)(5 11 7)
$M_{30}={\begin{bmatrix}{\frac { \phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\ frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}& -{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{30}$ = (1 3 5)	$Q_{30}$ = (1 3 4)(2 8 7)(5 6 10)(9 12 11)
$M_{31}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac { 1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}& -{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{31}$ = (1 3)(2 4)	$Q_{31}$ = (1 12)(2 6)(3 9)(4 11)(5 8)(7 10)
$M_{32}={\begin{bmatrix}{\frac {1} {2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1 }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac { \phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{32}$ = (1 3 2 4 5)	$Q_{32}$ = (1 4 10 11 5)(2 3 8 12 9)
$M_{33}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2 }}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{ 2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\ phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{33}$ = (1 3 5 2 4)	$Q_{33}$ = (1 5 9 6 3)(4 7 11 12 8)
$M_{34}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2 \phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2 }}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{ 2}}\end{bmatrix}}$	$P_{34}$ = (1 3)(2 5)	$Q_{34}$ = (1 2)(3 5)(4 9)(6 7)(8 11)(10 12)
$M_{35}={\begin{bmatrix}-{\frac {\ phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1 }{2\phi }}&{\frac {\phi}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{35}$ = (1 3 2 5 4)	$Q_{35}$ = (1 11 2 7 9)(3 10 6 4 12)
$M_{36}={\begin{bmatrix}{\frac { 1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{ \frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{ \frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{36}$ = (1 3 4 2 5)	$Q_{36}$ = (1 8 2 4 6)(5 10 9 7 12)
$M_{37}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1} {2\phi }}&-{\frac {\phi}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{37}$ = (1 4 5 3 2)	$Q_{37}$ = (1 2 6 8 4)(5 9 12 10 7)
$M_{38}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\1&0&0\end{bmatrix}}$	$P_{38}$ = (1 4 2)	$Q_{38}$ = (1 4 7)(2 8 11)(3 10 5)(6 12 9)
$M_{39}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi}{2}} &{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{39}$ = (1 4 3 5 2)	$Q_{39}$ = (1 11 4 5 10)(2 12 3 9 8)
$M_{40}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{ \frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}& {\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{40}$ = (1 4 3)	$Q_{40}$ = (1 10 9)(2 4 12)(3 8 6)(5 7 11)
$M_{41}={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}$	$P_{41}$ = (1 4 5)	$Q_{41}$ = (1 5 2)(3 7 9)(4 11 6)(8 10 12)
$M_{42}={\begin{bmatrix}{\frac { 1}{2\phi }}&{\frac {\phi}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&- {\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{42}$ = (1 4)(3 5)	$Q_{42}$ = (1 6)(2 3)(4 9)(5 8)(7 12)(10 11)
$M_{43}={\begin{bmatrix}-{\frac {\ phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac { 1}{2\phi }}&{\frac {\phi}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{43}$ = (1 4 5 2 3)	$Q_{43}$ = (1 9 7 2 11)(3 12 4 6 10)
$M_{44}={\begin{bmatrix}{\frac { 1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{ \frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&- {\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{44}$ = (1 4)(2 3)	$Q_{44}$ = (1 8)(2 10)(3 4)(5 12)(6 7)(9 11)
$M_{45}={\begin{bmatrix}{\frac {1} {2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac { \phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1 }{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{45}$ = (1 4 2 3 5)	$Q_{45}$ = (2 7 3 5 4)(6 11 8 9 10)
$M_{46}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2 }}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi } {2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\ phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{46}$ = (1 4 2 5 3)	$Q_{46}$ = (1 3 6 9 5)(4 8 12 11 7)
$M_{47}={\begin{bmatrix}{\frac {1} {2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac { \phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1 }{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{47}$ = (1 4 3 2 5)	$Q_{47}$ = (1 7 10 8 3)(2 5 11 12 6)
$M_{48}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}$	$P_{48}$ = (1 4)(2 5)	$Q_{48}$ = (1 12)(2 9)(3 11)(4 10)(5 6)(7 8)
$M_{49}={\begin{bmatrix}-{\frac {1 }{2\phi }}&{\frac {\phi}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi}{2}}&{\frac {1} {2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac { \phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{49}$ = (1 5 4 3 2)	$Q_{49}$ = (1 9 3 5 6)(4 11 8 7 12)
$M_{50}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\end{bmatrix}}$	$P_{50}$ = (1 5 2)	$Q_{50}$ = (1 8 9)(2 3 6)(4 12 5)(7 10 11)
$M_{51}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2 \phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2 }}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{ 2}}\end{bmatrix}}$	$P_{51}$ = (1 5 3 4 2)	$Q_{51}$ = (1 7 11 9 2)(3 4 10 12 6)
$M_{52}={\begin{bmatrix}{\frac { \phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}& -{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{52}$ = (1 5 3)	$Q_{52}$ = (1 4 3)(2 7 8)(5 10 6)(9 11 12)
$M_{53}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}$	$P_{53}$ = (1 5 4)	$Q_{53}$ = (1 2 5)(3 9 7)(4 6 11)(8 12 10)
$M_{54}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\ frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}& -{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{54}$ = (1 5)(3 4)	$Q_{54}$ = (1 12)(2 11)(3 10)(4 8)(5 9)(6 7)
$M_{55}={\begin{bmatrix}{\frac {1} {2\phi }}&{\frac {\phi}{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi}{2}}&{\frac {1} {2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac { \phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{55}$ = (1 5 4 2 3)	$Q_{55}$ = (1 5 11 10 4)(2 9 12 8 3)
$M_{56}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}& -{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{56}$ = (1 5)(2 3)	$Q_{56}$ = (1 10)(2 12)(3 11)(4 7)(5 8)(6 9)
$M_{57}={\begin{bmatrix}{\frac {1} {2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1 }{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{57}$ = (1 5 2 3 4)	$Q_{57}$ = (1 3 8 10 7)(2 6 12 11 5)
$M_{58}={\begin{bmatrix}{\frac { 1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{ \frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{ \frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{58}$ = (1 5 2 4 3)	$Q_{58}$ = (1 6 4 2 8)(5 12 7 9 10)
$M_{59}={\begin{bmatrix}{\frac {1} {2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac { \phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1 }{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{59}$ = (1 5 3 2 4)	$Q_{59}$ = (2 4 5 3 7)(6 10 9 8 11)
$M_{60}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$	$P_{60}$ = (1 5)(2 4)	$Q_{60}$ = (1 11)(2 10)(3 12)(4 9)(5 7)(6 8)

Vanligtvis förvirrade grupper

Följande grupper har alla ordning 120, men är inte isomorfa:

• S ₅ , den symmetriska gruppen på 5 element
• I _h , den fullständiga icosaedriska gruppen (ämnet för denna artikel, även känd som H ₃ )
• 2 I , den binära ikosaedriska gruppen

De motsvarar följande korta exakta sekvenser (av vilka den senare inte delar sig) och produkt

$1\to A_{5}\to S_{5}\to Z_{2}\to 1$

$I_ {h}=A_{5}\ gånger Z_{2}$

$1\to Z_{2}\to 2I\to A_{5}\to 1$

I ord,

• $A_{5}$ är en normal undergrupp av $S_{5}$
• $A_{5}$ är en faktor av ${\displaystyle I_{h}} ,$ som är en direkt produkt
• $A_{5}$ är en kvotgrupp på $2I$

Observera att $A_{5}$ har en exceptionell irreducerbar 3-dimensionell representation (som den ikosaedriska rotationsgruppen), men $S_{5}$ har inte en irreducerbar 3-dimensionell representation, motsvarande att hela icosaedriska gruppen inte är den symmetriska gruppen.

Dessa kan också relateras till linjära grupper över det finita fältet med fem element, som visar undergrupperna och täckande grupperna direkt; ingen av dessa är den fullständiga icosahedriska gruppen:

• $A_{5}\cong \operatorname {PSL} (2,5),$ den projektiva speciella linjära gruppen , se här för ett bevis;
• $S_{5}\cong \operatorname {PGL} (2,5),$ den projektiva allmänna linjära gruppen ;
• $2I\cong \operatörsnamn {SL} (2,5),$ den speciella linjära gruppen .

Konjugationskurser

De 120 symmetrierna delas in i 10 konjugationsklasser.

konjugationsklasser

jag	ytterligare klasser av I h
identitet, ordning 1 12 × rotation med ±72°, ordning 5, runt de 6 axlarna genom dodekaederns mittpunkter 12 × rotation med ±144°, ordning 5, runt de 6 axlarna genom dodekaederns mittpunkter 20 × rotation med ±120°, ordning 3, runt de 10 axlarna genom hörn av dodekaedern 15 × rotation med 180°, ordning 2, runt de 15 axlarna genom mittpunkterna på kanterna på dodekaedern	central inversion, order 2 12 × rotorreflektion med ±36°, ordning 10, runt de 6 axlarna genom dodekaederns mittpunkter 12 × rotorreflektion med ±108°, ordning 10, runt de 6 axlarna genom dodekaederns mittpunkter 20 × rotorreflektion med ±60°, ordning 6, runt de 10 axlarna genom dodekaederns hörn 15 × reflektion, ordning 2, vid 15 plan genom kanterna på dodekaedern

Undergrupper av den fullständiga icosaedriska symmetrigruppen

Undergruppsrelationer

Kirala undergruppsrelationer

Varje rad i följande tabell representerar en klass av konjugerade (dvs. geometriskt ekvivalenta) undergrupper. Kolumnen "Mult." (multiplicity) ger antalet olika undergrupper i konjugationsklassen.

Förklaring av färger: grönt = grupperna som genereras av reflektioner, rött = de kirala (orienteringsbevarande) grupperna, som endast innehåller rotationer.

Grupperna beskrivs geometriskt i termer av dodekaedern.

Förkortningen "hts(edge)" betyder "halvvarv som byter denna kant med dess motsatta kant", och på samma sätt för "ansikte" och "vertex".

Schön.	Coxeter		Klot.	HM	Strukturera	Cyc.	Beställa	Index	Mult.	Beskrivning
jag h	[5,3]		*532	53 2/m	A 5 × Z 2		120	1	1	hela gruppen
D 2h	[2,2]		*222	mmm	D 4 × D 2 = D 2 3		8	15	5	fixera två motsatta kanter, eventuellt byta ut dem
C 5v	[5]		*55	5m	D 10		10	12	6	fixa ett ansikte
C 3v	[3]		*33	3m	D6 = S 3		6	20	10	fixa en vertex
C 2v	[2]		*22	2 mm	D 4 = D 2 2		4	30	15	fixa en kant
C s	[ ]		*	2 eller m	D 2		2	60	15	reflektion byter två ändpunkter av en kant
T h	[3 + ,4]		3*2	m 3	A 4 × Z 2		24	5	5	pyritoedrisk grupp
D 5d	[2 + ,10]		2*5	10 m2	D 20 = Z 2 × D 10		20	6	6	fixa två motsatta ytor, eventuellt byta ut dem
D 3d	[2 + ,6]		2*3	3 m	D 12 = Z 2 × D 6		12	10	10	fixera två motsatta hörn, eventuellt byta ut dem
Did = C2h _	[2 + ,2]		2*	2/m	D 4 = Z 2 × D 2		4	30	15	halvvarv runt kantens mittpunkt, plus central inversion
S 10	[2 + ,10 + ]		5×	5	Z 10 = Z 2 x Z 5		10	12	6	rotationer av ett ansikte, plus central inversion
S 6	[2 + ,6 + ]		3×	3	Z6 = Z2 × Z3 _		6	20	10	rotationer runt en vertex, plus central inversion
S 2	[2 + ,2 + ]		×	1	Z 2		2	60	1	central inversion
jag	[5,3] +		532	532	En 5		60	2	1	alla rotationer
T	[3,3] +		332	332	A 4		12	10	5	rotationer av en innesluten tetraeder
D 5	[2,5] +		522	522	D 10		10	12	6	rotationer runt mitten av ett ansikte och hts(ansikte)
D 3	[2,3] +		322	322	D6 = S 3		6	20	10	rotationer runt en vertex och hts(vertex)
D 2	[2,2] +		222	222	D4 = Z22 _ _		4	30	15	halvvarv runt kantens mittpunkt och hts(edge)
C 5	[5] +		55	5	Z 5		5	24	6	rotationer runt ett ansiktscentrum
C 3	[3] +		33	3	Z3 = A3 _		3	40	10	rotationer runt en vertex
C 2	[2] +		22	2	Z 2		2	60	15	halvvarv runt kantens mittpunkt
C 1	[ ] +		11	1	Z 1		1	120	1	trivial grupp

Vertex stabilisatorer

Stabilisatorer av ett motsatt par av hörn kan tolkas som stabilisatorer för den axel de genererar.

• vertexstabilisatorer i I ger cykliska grupper C ₃
• vertexstabilisatorer i Ih _{ger dihedriska} grupper D 3
• stabilisatorer av ett motsatt par av hörn i I ger dihedriska grupper D ₃
• stabilisatorer för ett motsatt par av hörn i I _h ger $D_{3}\ gånger \pm 1$

Kantstabilisatorer

Stabilisatorer av ett motsatt par av kanter kan tolkas som stabilisatorer av rektangeln de genererar.

• kantstabilisatorer i I ger cykliska grupper Z ₂
• kantstabilisatorer i I _h ger Klein fyra grupper $Z_{2}\ gånger Z_{2}$
• stabilisatorer av ett par kanter i Jag ger Klein fyra-grupper $Z_{2}\ gånger Z_{2}$ ; det finns 5 av dessa, givna genom rotation med 180° i 3 vinkelräta axlar.
• stabilisatorer av ett par kanter i I _h ger $Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{2}$ ; det finns 5 av dessa, givna av reflektioner i 3 vinkelräta axlar.

Ansiktsstabilisatorer

Stabilisatorer av ett motsatt par av ytor kan tolkas som stabilisatorer av antiprismat de genererar.

• ansiktsstabilisatorer i I ger cykliska grupper C ₅
• ansiktsstabilisatorer i Ih _ger dihedriska grupper D ₅
• stabilisatorer av ett motsatt par ansikten i I ger dihedriska grupper D ₅
• stabilisatorer av ett motsatt par av ytor i I _h ger $D_{5}\ gånger \pm 1$

Polyederstabilisatorer

För var och en av dessa finns det 5 konjugerade kopior, och konjugeringsåtgärden ger en karta, faktiskt en isomorfism, $I{\stackrel {\sim }{\to }}A_{5 <S_{5}$ .

• stabilisatorer av de inskrivna tetraedrarna i I är en kopia av T
• stabilisatorer av de inskrivna tetraedrarna i I _h är en kopia av T
• stabilisatorer av de inskrivna kuberna (eller motsatta par av tetraedrar eller oktaedrar) i I är en kopia av T
• stabilisatorer av de inskrivna kuberna (eller motsatta par av tetraedrar eller oktaedrar) i I _h är en kopia av T _h

Coxeter grupp generatorer

₀₀₀₀ Den fullständiga ikosaedriska symmetrigruppen [5,3] ( ) av ordningen 120 har generatorer representerade av reflektionsmatriserna R , R ₁ , R ₂ nedan, med relationerna R ² = R ₁ ² = R ₂ ² = (R ×R ₁ ) ⁵ = (R ₁ x R ₂ ) ³ = ( R x R ₂ ) ² = Identitet. Gruppen [5,3] ⁺ ( ) av ordning 60 genereras av vilka två som helst av rotationerna S _0,1 , S _1,2 , S _0,2 . En rotorreflektion av storleksordningen 10 genereras av V0,1,2 _, produkten av alla tre reflektionerna. Här $\phi ={\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{2}}$ det gyllene snittet .

[5,3],

	Reflektioner			Rotationer			Rotorreflektion
namn	R0	R 1	R 2	S 0,1	S 1,2	S 0,2	V 0,1,2
Grupp
Beställa	2	2	2	5	3	2	10
Matris	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1 }{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{ 2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2} }&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi } {2}}\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1 }{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1 }{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1 }{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$
	(1,0,0) n	$({\begin{smallmatrix}{\frac {\phi }{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {\ phi -1}{2}}\end{smallmatrix}})$ n	(0,1,0) n	$(0,-1,\phi )$ axel	$(1-\phi ,0,\phi )$ axel	$(0,0,1)$ axel

Grundläggande domän

Grundläggande domäner för den icosahedriska rotationsgruppen och den fullständiga icosaedriska gruppen ges av:

Ikosaedrisk rotationsgrupp I

Full icosahedral grupp I h

Ansikten av disdyakis triacontahedron är den grundläggande domänen

I disdyakis triacontahedron är en hel yta en grundläggande domän; andra fasta ämnen med samma symmetri kan erhållas genom att justera orienteringen av ytorna, t.ex. platta ut valda delmängder av ytor för att kombinera varje delmängd till en yta, eller ersätta varje yta med flera ytor eller en krökt yta.

Polyeder med icosaedrisk symmetri

Ytterligare information: Fasta ämnen med icosaedrisk symmetri

Exempel på andra polyedrar med icosahedral symmetri inkluderar den vanliga dodecahedron ( dual av icosahedron) och den rombiska triacontahedron .

Kirala polyedrar

Klass	Symboler	Bild
Archimedean	sr{5,3}
katalanska	V3.3.3.3.5

Full icosaedrisk symmetri

Platonsk solid	Kepler–Poinsot polyedrar		Arkimedeiska fasta ämnen
{5,3}	{5/2,5}	{5/2,3}	t{5,3}	t{3,5}	r{3,5}	rr{3,5}	tr{3,5}
Platonsk solid	Kepler–Poinsot polyedrar		Katalanska fasta ämnen
{3,5} =	{5,5/2} =	{3,5/2} =	V3.10.10	V5.6.6	V3.5.3.5	V3.4.5.4	V4.6.10

Andra föremål med icosaedrisk symmetri

Exempel på icosaedrisk symmetri

Circogonia icosahedra , en radiolarisk

Kapsid av ett adenovirus

Dodekaboratjonen ^[ B ₁₂ H ₁₂ ] 2−

• Barth-ytor
• Virusstruktur och Capsid
• Inom kemi, dodekaboratjonen ([B ₁₂ H ₁₂ ] ²⁻ ) och dodekaedranmolekylen (C ₂₀ H ₂₀ )

Flytande kristaller med icosaedrisk symmetri

För den mellanliggande materialfasen som kallas flytande kristaller föreslogs förekomsten av ikosaedrisk symmetri av H. Kleinert och K. Maki och dess struktur analyserades först i detalj i den artikeln. Se recensionsartikeln här . I aluminium upptäcktes den icosaedriska strukturen experimentellt tre år efter detta av Dan Shechtman , vilket gav honom Nobelpriset 2011.

Relaterade geometrier

Ikosaedrisk symmetri är på samma sätt den projektiva speciella linjära gruppen PSL(2,5), och är symmetrigruppen för den modulära kurvan X(5), och mer allmänt är PSL(2, p ) symmetrigruppen för den modulära kurvan X( p ) . ). Den modulära kurvan X(5) är geometriskt sett en dodekaeder med en spets i mitten av varje polygonal yta, vilket visar symmetrigruppen.

Denna geometri, och tillhörande symmetrigrupp, studerades av Felix Klein som monodromigrupperna på en Belyi-yta – en Riemann-yta med en holomorf karta till Riemann-sfären, förgrenad endast vid 0, 1 och oändlighet (en Belyi- funktion ) – den spetsar är de punkter som ligger över oändligheten, medan hörnen och mitten av varje kant ligger över 0 och 1; täckningsgraden (antal ark) är lika med 5.

Detta uppstod från hans ansträngningar att ge en geometrisk inställning för varför icosahedral symmetri uppstod i lösningen av den kvintiska ekvationen , med teorin som ges i den berömda ( Klein 1888 ); en modern utläggning ges i ( Tóth 2002 , avsnitt 1.6, Ytterligare ämne: Klein's Theory of the Icosahedron, s. 66 ).

Kleins undersökningar fortsatte med hans upptäckt av ordning 7 och ordning 11 symmetrier i ( Klein & 1878/79b ) och ( Klein 1879 ) (och tillhörande beläggningar av grad 7 och 11) och dessins d'enfants , den första som ger Klein-kvartiken , vars associerade geometri har en plattsättning av 24 heptagoner (med en spets i mitten av varje).

Liknande geometrier förekommer för PSL(2, n ) och mer generella grupper för andra modulära kurvor.

Mer exotiskt finns det speciella kopplingar mellan grupperna PSL(2,5) (ordning 60), PSL(2,7) (ordning 168) och PSL(2,11) (ordning 660), som också tillåter geometriska tolkningar – PSL (2,5) är symmetrierna för icosahedron (släkte 0), PSL(2,7) för Klein-kvartiken (genus 3) och PSL(2,11) buckyballytan ( släkte 70). Dessa grupper bildar en " treenighet " i betydelsen Vladimir Arnold , som ger en ram för de olika relationerna; se treenigheter för detaljer.

Det finns en nära relation till andra platonska solider .

Se även

• Tetraedrisk symmetri
• Oktaedrisk symmetri
• Binär ikosaedrisk grupp
• Ikosisk kalkyl

•   Klein, F. (1878). "Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen" [Om ordningen-sju transformation av elliptiska funktioner]. Matematiska Annalen . 14 (3): 428–471. doi : 10.1007/BF01677143 . S2CID 121407539 . Översatt i    Levy, Silvio, red. (1999). Den åttafaldiga vägen . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66066-2 . MR 1722410 .
•   Klein, F. ( 1879), "Ueber die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen (On the elfte order transformation of elliptic functions)" , Mathematische Annalen , 15 (3–4): 533–555, doi : 10.1007/ BF020862276 120316938 , samlad som s. 140–165 i Oeuvres, Tome 3 {{ citation }} : Extern länk i |postscript= ( hjälp ) CS1 underhåll: postscript ( länk )
•   Klein, Felix (1888), Föreläsningar om Icosahedron och lösningen av ekvationer i den femte graden , Trübner & Co., ISBN 0-486-49528-0 trans . George Gavin Morrice {{ citation }} : CS1 underhåll: efterskrift ( länk )
• Tóth, Gábor (2002), Finita Möbius-grupper, minimala nedsänkningar av sfärer och moduler
• Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), sid. 296
•   The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, ISBN 978-1-56881-220-5
•   Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , redigerad av F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
•   NW Johnson : Geometries and Transformations , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Kapitel 11: Finita symmetrigrupper , 11.5 sfäriska Coxeter-grupper

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Icosahedral group" . MathWorld .
• UNDERGRUPPERNA AV W(H3) Arkiverade 2021-08-30 på Wayback Machine ( Undergrupper till andra Coxeter-grupper Arkiverade 2020-08-02 på Wayback Machine ) Gotz Pfeiffer