Gyllene triangeln (matematik)

En gyllene triangel. Förhållandet a/b är det gyllene snittet φ. Hönsvinkeln är $\theta =36^{\circ }$ . Basvinklarna är 72° vardera.

Gyllene gnomon, med sidlängderna 1, 1 och $\phi$

En gyllene triangel , även kallad en sublim triangel , är en likbent triangel där den duplicerade sidan är i det gyllene snittet $\varphi$ till bassidan:

${a \over b}=\varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}\approx 1,618~034~.$

Vinklar

• 2 Spetsvinkeln är

$\theta =2\arcsin {b \over 2a}=2\arcsin {1 \over 2\varphi }=2\arcsin {{{\sqrt {5}}-1} \over 4}={\ pi \over 5}~{\text{rad}}=36^{\circ }.$

Därför är den gyllene triangeln en spetsig (likbent) triangel.

• Eftersom vinklarna för en triangel summeras till $\pi$ radianer, är var och en av basvinklarna (CBX och CXB):

$\beta ={{\pi -{\pi \over 5}} \over 2}~{\text{rad}}={2\pi \over 5}~{\text{rad}}=72 ^{\circ }.$

Obs:

$\beta =\arccos \left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\right)\,{\text{rad}}={2\pi \over 5} ~{\text{rad}}=72^{\circ }.$

• Den gyllene triangeln identifieras unikt som den enda triangeln som har sina tre vinklar i förhållandet 1 : 2 : 2 (36°, 72°, 72°) .

I andra geometriska figurer

• Gyllene trianglar kan hittas i spikarna på vanliga pentagram .
• Gyllene trianglar kan också hittas i ett regelbundet dekagon , en likkantig och liksidig tiosidig polygon , genom att ansluta två angränsande hörn till mitten. Detta beror på att: 180(10−2)/10 = 144° är den inre vinkeln, och halverar den genom spetsen till mitten: 144/2 = 72°.
• Dessutom finns gyllene trianglar i näten av flera stellationer av dodekaedrar och ikosaeder .

Logaritmisk spiral

Gyllene trianglar inskrivna i en logaritmisk spiral

Den gyllene triangeln används för att bilda några punkter i en logaritmisk spiral . Genom att halvera en av basvinklarna skapas en ny punkt som i sin tur bildar ytterligare en gyllene triangel. Bisektionsprocessen kan fortsätta i det oändliga, vilket skapar ett oändligt antal gyllene trianglar. En logaritmisk spiral kan dras genom hörnen. Denna spiral är också känd som en ekvikantig spiral, en term som myntats av René Descartes . "Om en rät linje dras från polen till någon punkt på kurvan, skär den kurvan i exakt samma vinkel," därav equiangular .

Gyllene gnomon

Gyllene triangel delas i Robinson-trianglar: en gyllene triangel och en gyllene gnomon.

Vanligt pentagram . Varje hörn är en gyllene triangel. Figuren innehåller också fem "stora" gyllene gnomoner, gjorda genom att sammanfoga till den "lilla" centrala femhörningen två hörn som inte ligger intill varandra. Att rita de fem sidorna av den "stora" femhörningen runt pentagrammet gör fem "små" gyllene gnomoner.

Nära besläktad med den gyllene triangeln är den gyllene gnomon , som är den likbenta triangeln där förhållandet mellan de lika sidlängderna och baslängden är den reciproka ${\tfrac {1}{\varphi }}$ av det gyllene snittet $\varphi$ .

"Den gyllene triangeln har ett förhållande mellan baslängden och sidlängden lika med det gyllene snittet φ, medan den gyllene gnomonen har förhållandet mellan sidlängden och baslängden lika med det gyllene snittet φ."

${a' \over b'}={1 \over \varphi }={{{\sqrt {5}}-1} \over 2}\approx 0,618034.$

Vinklar

(Avstånden AX och CX är båda a ′ = a = φ , och avståndet AC är b ′ = φ², som ses i figuren.)

• Spetsvinkeln AXC är

${\displaystyle \theta '=2\arcsin {b' \over {2a'}}=2\arcsin {{\varphi ^{2}} \over {2\varphi }}=2\arcsin {{1+{ \sqrt {5}}} \over 4}={3\pi \over 5}~{\text{rad}}=108^{\circ }.} Därför är den gyllene gnomonen en trubbig (likbent$

) triangel .

$($ Obs: $\theta '=\arccos \left({\frac {1-{\ sqrt {5}}}{4}}\right)\,{\text{rad}}={3\pi \over 5}~{\text{rad}}=108^{\circ }.)$

• Sedan vinklarna för triangeln AXC summeras till $\pi$ radianer, var och en av basvinklarna CAX och ACX är:

$\beta '=\theta ={\pi -{3\pi \over 5} \over 2}~{\text{rad}}={\pi \over 5}~{\text{rad}} =36^{\circ }.$

Obs: $\beta '=\theta =\arccos \left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}\right)\,{\text{rad}}={\pi \ över 5}~{\text{rad}}=36^{\circ }.$

• Den gyllene gnomonen identifieras unikt som en triangel med sina tre vinklar i förhållandet 1 : 1 : 3 (36°, 36°, 108°) ). Dess basvinklar är 36° vardera, vilket är samma som spetsen på den gyllene triangeln.

Bisektioner

• Genom att dela en av dess basvinklar kan en gyllene triangel delas upp i en gyllene triangel och en gyllene gnomon.
• Genom att treskära dess spetsvinkel kan en gyllene gnomon delas upp i en gyllene triangel och en gyllene gnomon.
• En gyllene gnomon och en gyllene triangel med sina lika sidor som matchar varandra i längd, kallas också trubbiga och spetsiga Robinson-trianglar.

Kakelplattor

• En gyllene triangel och två gyllene gnomoner bricker en vanlig femhörning .
• Dessa likbenta trianglar kan användas för att tillverka Penrose-plattor . Penrose-plattor är gjorda av drakar och pilar. En drake är gjord av två gyllene trianglar och en pil är gjord av två gnomoner.

Se även

• Gyllene rektangel
• Gyllene romb
• Kepler triangel
• Kimberlings gyllene triangel
• Luta av Pythagoras
• Pentagram
• Gyllene triangel (komposition)

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Gyllene triangeln" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Golden gnomon" . MathWorld .
• Robinson trianglar på Tilings Encyclopedia
• Gyllene triangeln enligt Euklid
• Den extraordinära ömsesidigheten mellan gyllene trianglar vid Tartapelago av Giorgio Pietrocola