Trapets


Trapes (AmE) Trapes (BrE)
Trapezoid.svg
Trapets eller trapets
Typ fyrsidig
Kanter och hörn 4
Område
Egenskaper konvex

I geometri är en trapets ( / ˈ t r æ p ə z ɔɪ d / ) på amerikansk och kanadensisk engelska, eller trapezium ( / t r ə ˈ p z i ə m / ) på brittisk och andra former av engelska, en fyrhörning där den har minst ett par parallella sidor.

En trapets är nödvändigtvis en konvex fyrhörning i euklidisk geometri . De parallella sidorna kallas för trapetsens baser . De andra två sidorna kallas benen (eller sidosidorna ) om de inte är parallella; annars är trapetsen ett parallellogram och det finns två par baser. En skalen trapets är en trapets utan sidor av samma storlek, till skillnad från specialfallen nedan .

Etymologi och trapets kontra trapets

Huttons misstag 1795

Den antika grekiske matematikern Euklid definierade fem typer av fyrhörningar, varav fyra hade två uppsättningar parallella sidor (känd på engelska som kvadrat, rektangel, romb och romboid) och den sista inte hade två uppsättningar parallella sidor - en τραπέζια ( trapets bokstavligen " ett bord", själv från τετράς ( tetrás ), "fyra" + πέζα ( péza ), "en fot; slut, bård, kant").

Två typer av trapezer introducerades av Proclus (412 till 485 e.Kr.) i hans kommentar till den första boken av Euklids element :

  • ett par parallella sidor – en trapets (τραπέζιον), uppdelad i likbent (lika ben) och skalen (ojämn) trapets
  • inga parallella sidor – trapets (τραπεζοειδή, trapezoeidé , bokstavligen trapetsliknande ( εἶδος betyder "liknar"), på samma sätt som kuboid betyder kubliknande och romboid betyder rombliknande )

Alla europeiska språk följer Procluss struktur, liksom engelska fram till slutet av 1700-talet, tills en inflytelserik matematisk ordbok publicerad av Charles Hutton 1795 utan förklaring stödde en införlivande av termerna. Detta misstag korrigerades på brittisk engelska omkring 1875, men behölls på amerikansk engelska in i nutiden.

Följande är en tabell som jämför användningar, med de mest specifika definitionerna överst till de mest allmänna längst ner.

Typ Uppsättningar av parallella sidor Bild Ursprunglig terminologi Modern terminologi
Euklid (Definition 22) Proclus (Definitioner 30-34, citerar Posidonius) Euclid / Proclus definition Brittisk engelska (och europeiska språk) amerikansk engelska
Parallellogram 2 Rhombus 2 (PSF).png ῥόμβος (rombos) liksidig men inte rätvinklig Romb/Parallelogram
Rhomboid 2 (PSF).png ῥομβοειδὲς (romboider) motsatta sidor och vinklar lika med varandra men inte liksidiga eller rätvinkliga Romboid/Parallelogram
Icke-parallellogram 1 Trapezoid 2 (PSF).png τραπέζια (trapets) τραπέζιον ἰσοσκελὲς ( trapezjonisoskeléer ) Två parallella sidor och en symmetrilinje Isoceles Trapez ium Isoceles Trapez oid
Trapezoid 3 (PSF).png τραπέζιον σκαληνὸν ( trapezjon ) skalinón Två parallella sidor och ingen symmetrilinje Trapez ium Trapez oid
0 Trapezium (PSF).png τραπέζοειδὲς ( trapez oides ) Inga parallella sidor trapezoid fyrsidig / Trapez ium

Inkluderande kontra exklusiv definition

Det råder oenighet om huruvida parallellogram , som har två par parallella sidor, ska betraktas som trapetser. Vissa definierar en trapets som en fyrhörning med bara ett par parallella sidor (den exklusiva definitionen), och utesluter därmed parallellogram. Andra definierar en trapets som en fyrhörning med minst ett par parallella sidor (den inkluderande definitionen), vilket gör parallellogrammet till en speciell typ av trapets. Den senare definitionen överensstämmer med dess användning i högre matematik som kalkyl . Den här artikeln använder den inkluderande definitionen och betraktar parallellogram som specialfall av en trapets. Detta förespråkas också i taxonomin av fyrhörningar .

Under den inkluderande definitionen är alla parallellogram (inklusive romber , kvadrater och icke-kvadratiska rektanglar ) trapetser. Rektanglar har spegelsymmetri på mitten av kanterna; romber har spegelsymmetri på hörn, medan rutor har spegelsymmetri på både mittkanter och hörn.

Speciella fall

Trapets specialfall. De orangea siffrorna kvalificerar också som parallellogram.

En rät trapets (även kallad rätvinklig trapets ) har två intilliggande räta vinklar . Höger trapetser används i trapetsregeln för att uppskatta arean under en kurva.

En spetsig trapets har två intilliggande spetsiga vinklar på sin längre baskant , medan en trubbig trapets har en spetsig och en trubbig vinkel på varje bas .

En likbent trapets är en trapets där basvinklarna har samma mått. Som en konsekvens är de två benen också lika långa och har reflektionssymmetri . Detta är möjligt för akuta trapetser eller högra trapetser (rektanglar).

Ett parallellogram är en trapets med två par parallella sidor. Ett parallellogram har central 2-faldig rotationssymmetri (eller punktreflektionssymmetri ). Det är möjligt för trubbiga trapezoider eller rätta trapetser (rektanglar).

En tangentiell trapets är en trapets som har en incirkel .

En Saccheri-fyrhörning liknar en trapets i det hyperboliska planet, med två intilliggande räta vinklar, medan det är en rektangel i det euklidiska planet. En Lambert-fyrhörning i det hyperboliska planet har 3 räta vinklar.

existensvillkor

Fyra längder a , c , b , d kan utgöra de på varandra följande sidorna av en icke-parallellogram trapets med a och b parallella endast när

Fyrhörningen är ett parallellogram när , men det är en extangentiell fyrhörning (som inte är en trapets) när .

Karakteriseringar






allmän trapets/trapez: parallella sidor: med ben: diagonaler: mittsegment: höjd/höjd:
trapets/trapez med motstående trianglar som bildas av diagonalerna

Givet en konvex fyrhörning är följande egenskaper ekvivalenta, och var och en antyder att fyrhörningen är en trapets:

  • Den har två intilliggande vinklar som är kompletterande , det vill säga de summerar till 180 grader .
  • Vinkeln mellan en sida och en diagonal är lika med vinkeln mellan den motsatta sidan och samma diagonal.
  • Diagonalerna skär varandra i inbördes samma förhållande (detta förhållande är detsamma som mellan längderna på de parallella sidorna) .
  • Diagonalerna skär fyrhörningen i fyra trianglar varav ett motstående par har lika stora arealer.
  • Produkten av arean av de två trianglarna som bildas av en diagonal är lika med produkten av arean av de två trianglarna som bildas av den andra diagonalen.
  • Ytorna S och T för ungefär två motsatta trianglar av de fyra trianglarna som bildas av diagonalerna uppfyller ekvationen
där K är arean av fyrhörningen.
  • Mittpunkterna på två motsatta sidor och skärningspunkten mellan diagonalerna är kolinjära .
  • Vinklarna i fyrhörningen ABCD uppfyller
  • Cosinus för två angränsande vinklar summerar till 0, liksom cosinus för de två andra vinklarna.
  • Cotangenserna för två intilliggande vinklar summerar till 0, liksom kotangenserna för de andra två intilliggande vinklarna.
  • En bimedian delar upp fyrhörningen i två fyrhörningar med lika stora arealer.
  • Två gånger längden på den bimedian som förbinder mittpunkterna på två motsatta sidor är lika med summan av längderna på de andra sidorna.

Dessutom är följande egenskaper ekvivalenta, och var och en antyder att motsatta sidor a och b är parallella:

  • De på varandra följande sidorna a , c , b , d och diagonalerna p , q uppfyller ekvationen
  • Avståndet v mellan diagonalernas mittpunkter uppfyller ekvationen

Mittsegment och höjd

Mittsegmentet (även kallat median eller mittlinje) av en trapets är det segment som förenar benens mittpunkter . Den är parallell med baserna. Dess längd m är lika med genomsnittet av längderna på baserna a och b i trapetsen,

Mittsegmentet av en trapets är en av de två bimedianerna (den andra bimedianen delar trapetsen i lika stora områden).

Höjden (eller höjden) är det vinkelräta avståndet mellan baserna . Om de två baserna har olika längd ( a b ), kan höjden på en trapets h bestämmas av längden på dess fyra sidor med hjälp av formeln

där c och d är längden på benen.

Område

Arean K för en trapets är given av

där a och b är längden på de parallella sidorna, h är höjden (det vinkelräta avståndet mellan dessa sidor) och m är det aritmetiska medelvärdet av längderna på de två parallella sidorna. År 499 AD Aryabhata , en stor matematiker - astronom från den klassiska tidsåldern av indisk matematik och indisk astronomi , använde denna metod i Aryabhatiya (avsnitt 2.8). Detta ger som ett specialfall den välkända formeln för arean av en triangel , genom att betrakta en triangel som en degenererad trapets där en av de parallella sidorna har krympt till en punkt.

Bhāskara I från 700-talet härledde följande formel för arean av en trapets med på varandra följande sidor a , c , b , d :

där a och b är parallella och b > a . Denna formel kan inkluderas i en mer symmetrisk version

När en av de parallella sidorna har krympt till en punkt (säg a = 0), reduceras denna formel till Herons formel för arean av en triangel.

En annan likvärdig formel för området, som mer liknar Herons formel, är

där är trapetsens halvperimeter . (Denna formel liknar Brahmaguptas formel , men den skiljer sig från den genom att en trapets kanske inte är cyklisk (inskriven i en cirkel). Formeln är också ett specialfall av Bretschneiders formel för en allmän fyrhörning ).

Av Bretschneiders formel följer det

Linjen som förenar mittpunkterna på de parallella sidorna delar området.

Diagonaler

Trapezium.svg

Längden på diagonalerna är

där a är den korta basen, b är den långa basen och c och d är trapetsbenen.

Om trapetsen är uppdelad i fyra trianglar med sina diagonaler AC och BD (som visas till höger), som skär varandra vid O , då är arean för AOD lika med den för BOC , och produkten av områdena AOD och BOC är lika med AOB och COD . Förhållandet mellan områdena för varje par av intilliggande trianglar är detsamma som mellan längderna på de parallella sidorna.

Låt trapetsen ha hörn A , B , C och D i följd och ha parallella sidor AB och DC . Låt E vara skärningspunkten mellan diagonalerna, och låt F vara på sidan DA och G vara på sidan BC så att FEG är parallell med AB och CD . Då FG det harmoniska medelvärdet av AB och DC :

Linjen som går genom både skärningspunkten för de förlängda icke-parallella sidorna och skärningspunkten för diagonalerna, delar varje bas.

Övriga fastigheter

Ytcentrum (massacentrum för en enhetlig lamina ) ligger längs linjesegmentet som förenar mittpunkterna på de parallella sidorna, på ett vinkelrätt avstånd x från den längre sidan b givet av

Områdets mitt delar upp detta segment i förhållandet (när det tas från kortsidan till långsidan)

Om vinkelhalvledarna till vinklarna A och B skär vid P och vinkelhalveringslinjerna till vinklarna C och D skär vid Q , då

Ansökningar

Arkitektur

I arkitekturen används ordet för att hänvisa till symmetriska dörrar, fönster och byggnader byggda bredare vid basen, avsmalnande mot toppen, i egyptisk stil. Om dessa har raka sidor och skarpa kantiga hörn, är deras former vanligtvis likbenta trapetser . Detta var standardstilen för dörrar och fönster i Inka .

Geometri

Problemet med korsade stegar är problemet med att hitta avståndet mellan de parallella sidorna av en höger trapets, givet de diagonala längderna och avståndet från det vinkelräta benet till den diagonala skärningen.

Biologi

Exempel på en trapetsformad pronotum skisserad på en spurge bug

Inom morfologi , taxonomi och andra beskrivande discipliner där en term för sådana former är nödvändig, är termer som trapets eller trapetsform vanligtvis användbara i beskrivningar av särskilda organ eller former.

Datorteknik

Inom datorteknik, speciellt digital logik och datorarkitektur, används trapetser vanligtvis för att symbolisera multiplexorer . Multiplexorer är logiska element som väljer mellan flera element och producerar en enda utsignal baserat på en valsignal. Typiska konstruktioner kommer att använda trapetser utan att specifikt ange att de är multiplexorer eftersom de är universellt likvärdiga.

Se även

  • Frustum , ett fast ämne med trapetsformade ytor
  • Artigt nummer , även känt som ett trapetsformat tal
  • Wedge , en polyeder som definieras av två trianglar och tre trapetsformade ytor.

Vidare läsning

externa länkar