Robbins femhörning
Kan en Robbins femhörning ha irrationella diagonaler?
Inom geometrin är en Robbins femhörning en cyklisk femhörning vars sidolängder och area alla är rationella tal .
Historia
Robbins femhörningar döptes av Buchholz & MacDougall (2008) efter David P. Robbins , som tidigare hade gett en formel för arean av en cyklisk femhörning som en funktion av dess kantlängder. Buchholz och MacDougall valde detta namn i analogi med namngivningen av Heron-trianglar efter Hero of Alexandria , upptäckaren av Herons formel för arean av en triangel som en funktion av dess kantlängder.
Yta och omkrets
Varje Robbins femhörning kan skalas så att dess sidor och area är heltal. Mer starkt, Buchholz och MacDougall visade att om sidolängderna är heltal och arean är rationell, så är arean nödvändigtvis också ett heltal, och omkretsen är nödvändigtvis ett jämnt tal .
Diagonaler
Buchholz och MacDougall visade också att i varje Robbins femhörning är antingen alla fem inre diagonalerna rationella tal eller så är ingen av dem. Om de fem diagonalerna är rationella (fallet kallat en Brahmagupta femhörning av Sastry (2005) ), måste radien för dess omskrivna cirkel också vara rationell, och femhörningen kan delas upp i tre Heron-trianglar genom att skära den längs två valfria icke- korsar diagonaler, eller till fem Heron-trianglar genom att skära den längs de fem radierna från cirkelcentrum till dess hörn.
Buchholz och MacDougall utförde beräkningssökningar efter Robbins femhörningar med irrationella diagonaler men kunde inte hitta några. På basis av detta negativa resultat föreslog de att Robbins femhörningar med irrationella diagonaler kanske inte existerar.
- Buchholz, Ralph H.; MacDougall, James A. (2008), "Cyclic polygons with rational sides and area" , Journal of Number Theory , 128 (1): 17–48, doi : 10.1016/j.jnt.2007.05.005 , MR 2382768 .
- Robbins, David P. (1994), "Areas of polygons inscribed in a circle", Discrete and Computational Geometry , 12 (2): 223–236, doi : 10.1007/BF02574377 , MR 1283889
- Robbins, David P. (1995), "Areas of polygons inscribed in a circle", The American Mathematical Monthly , 102 (6): 523–530, doi : 10.2307/2974766 , JSTOR 2974766 , MR 1336638 .
- Sastry, KRS (2005), "Construction of Brahmagupta n-gons" (PDF) , Forum Geometricorum , 5 : 119–126, MR 2195739 .