Pronys metod

Pronyanalys av en tidsdomänsignal

Pronyanalys ( Pronys metod ) utvecklades av Gaspard Riche de Prony 1795. Praktisk användning av metoden väntade dock på den digitala datorn. I likhet med Fourier-transformen extraherar Pronys metod värdefull information från en enhetligt samplade signal och bygger en serie dämpade komplexa exponentialer eller dämpade sinusoider . Detta möjliggör uppskattning av frekvens, amplitud, fas och dämpningskomponenter för en signal.

Metoden

Låt $f(t)$ vara en signal som består av $N$ jämnt fördelade sampel. Pronys metod passar en funktion

${\hat {f}}(t)=\summa _{i=1}^ {N}A_{i}e^{\sigma _{i}t}\cos(\omega _{i}t+\phi _{i})$

till det observerade $f(t)$ . Efter lite manipulation med Eulers formel erhålls följande resultat. Detta möjliggör mer direkt beräkning av termer.

${\begin{aligned}{\hat {f}}(t)&=\summa _{i=1}^{N}A_{i}e^{\ sigma _{i}t}\cos(\omega _{i}t+\phi _{i})\\&=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}} A_{i}\left(e^{j\phi _{i}}e^{\lambda _{i}^{+}t}+e^{-j\phi _{i}}e^{\ lambda _{i}^{-}t}\right)\end{aligned}}$

var:

• $\lambda _{i}^{\pm }=\sigma _{i}\pm j\omega _{i}$ är systemets egenvärden,
• $\sigma _{i}=-\omega _{0,i}\xi _{i}$ är dämpningskomponenterna,
• $\omega _{i}=\omega _{0,i}{\sqrt {1-\xi _{i}^{2}}}$ är vinkelfrekvenskomponenter
• $\phi _{i}$ är faskomponenterna,
• $A_{i}$ är amplitudkomponenterna i serien, och
• $j$ är den imaginära enheten ( ${\displaystyle j^{2}=-1} )$ .

Framställningar

Pronys metod är i huvudsak en nedbrytning av en signal med $M$ komplexa exponentialer via följande process:

Sampla regelbundet ${\hat {f}}(t)$ så att de $n$ -th av $N$ sampel kan skrivas som

$F_{n}={\hat {f}}( \Delta _{t}n)=\summa _{m=1}^{M}\mathrm {B} _{m}e^{\lambda _{m}\Delta _{t}n},\quad n=0,\dots ,N-1.$

Om ${\hat {f}}(t)$ råkar bestå av dämpade sinusoider, kommer det att finnas par av komplexa exponentialer så att

${\ start{aligned}\mathrm {B} _{a}&={\frac {1}{2}}A_{i}e^{\phi _{i}j},\\\mathrm {B} _{ b}&={\frac {1}{2}}A_{i}e^{-\phi _{i}j},\\\lambda _{a}&=\sigma _{i}+j\ omega _{i},\\\lambda _{b}&=\sigma _{i}-j\omega _{i},\end{aligned}}$

var

${\begin{aligned}\mathrm {B} _{a}e^{\lambda _{a}t}+\mathrm {B} _{b}e^{\lambda _{b}t} &={\frac {1}{2}}A_{i}e^{\phi _{i}j}e^{(\sigma _{i}+j\omega _{i})t}+{ \frac {1}{2}}A_{i}e^{-\phi _{i}j}e^{(\sigma _{i}-j\omega _{i})t}\\&= A_{i}e^{\sigma _{i}t}\cos(\omega _{i}t+\phi _{i}).\end{aligned}}$

Eftersom summeringen av komplexa exponentialer är den homogena lösningen till en linjär differensekvation , kommer följande differensekvation att existera:

${\hat {f}}(\Delta _{t}n)=\summa _{m=1}^{M}{\hat {f}}[\Delta _{t}(nm)]P_{m},\quad n=M,\dots ,N-1.$

Nyckeln till Pronys metod är att koefficienterna i differensekvationen är relaterade till följande polynom:

$z^{M}-P_{1}z^{M-1}-\dots -P_{M}=\prod _{m=1}^{M}\left(ze^{\lambda _ {m}}\höger).$

Dessa fakta leder till följande tre steg inom Pronys metod:

1) Konstruera och lös matrisekvationen för ${\displaystyle P_{m}}-$ värdena:

${\begin{bmatrix}F_{M}\\\vdots \\F_{N-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{M-1}&\dots &F_{0 }\\\vdots &\ddots &\vdots \\F_{N-2}&\dots &F_{NM-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}P_{1}\\\vdots \\ P_{M}\end{bmatrix}}.$

Observera att om $N\neq 2M$ kan en generaliserad matrisinvers behövas för att hitta värdena $P_{m}$ .

2) Efter att ha hittat ${\displaystyle P_{m}}-$ värdena, hitta rötterna (numeriskt om nödvändigt) för polynomet

${\displaystyle z^{M}-P_{1}z^{M-1}-\dots -P_{M},$

Den $m$ -te roten av detta polynom kommer att vara lika med $e^{\lambda _{m}}$ .

3) Med ${\displaystyle e^{\lambda _{m}}}-$ värdena är ${\displaystyle F_{n}}-$ värdena en del av ett system av linjära ekvationer som kan användas för att lösa $\mathrm {B} _{m}$ värden:

${\begin{bmatrix}F_{k_{1}}\\\vdots \\F_{k_{M}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(e^{\ lambda _{1}})^{k_{1}}&\dots &(e^{\lambda _{M}})^{k_{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\( e^{\lambda _{1}})^{k_{M}}&\dots &(e^{\lambda _{M}})^{k_{M}}\end{bmatrix}}{\begin {bmatrix}\mathrm {B} _{1}\\\vdots \\\mathrm {B} _{M}\end{bmatrix}},$

där $M$ unika värden $k_{i}$ används. Det är möjligt att använda en generaliserad matrisinvers om fler än $M$ sampel används.

Observera att lösning för $\lambda _{m}$ kommer att ge tvetydigheter, eftersom endast $e^{\lambda _{m}}$ löstes för, och $e^{\lambda _{m}}=e^{\lambda _{m}\,+\,q2\pi j}$ för ett heltal $q$ . Detta leder till samma Nyquists urvalskriterier som diskreta Fourier-transformationer är föremål för:

$\left|\operatörsnamn {Im} (\lambda _{m})\right|=\left|\omega _{m}\right|<{\frac {\pi }{\Delta _{t} }}.$

Se även

• Generaliserad pencil-of-function-metod
• Beräkning av Prony-nedbrytning med hjälp av autoregressionsanalys
• Tillämpning av Prony-nedbrytning i tidsfrekvensanalys

Anteckningar

• Carriere, R.; Moses, RL (1992). "Högupplöst radarmålmodellering med hjälp av en modifierad Prony-estimator". IEEE-transaktioner på antenner och spridning . 40 : 13–18. doi : 10.1109/8.123348 .
• Slyusar, VI (1998). "Tolkning av Proni-metoden för att lösa långväga problem" ( PDF) . Radioelektronik och kommunikationssystem . 41 (1): 35–39.