Hyperbolisk distribution

hyperbolisk

Parametrar	$\mu$ plats ( real ) $\alpha$ (real) $\beta$ asymmetriparameter (real) $\delta$ skalaparameter (real) $\gamma ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}$
Stöd	$x\in (-\infty ;+\infty )\!$
PDF	${\frac {\gamma }{2\alpha \delta K_{1}( \delta \gamma )}}\;e^{-\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}+\beta (x-\mu )}$$K_{\lambda }$ betecknar en modifierad Bessel-funktion av det andra slaget
Betyda	$\mu +{\frac {\delta \beta K_{2}(\delta \gamma )}{\gamma K_{1}( \delta \gamma )}}$
Läge	$\mu +{\frac {\delta \beta }{\gamma }}$
Variation	${\frac {\delta K_{2}(\delta \gamma )}{\gamma K_{1}(\delta \gamma )}}+{\frac {\beta ^{2}\delta ^{ 2}}{\gamma ^{2}}}\left({\frac {K_{3}(\delta \gamma )}{K_{1}(\delta \gamma )}}-{\frac {K_{ 2}^{2}(\delta \gamma )}{K_{1}^{2}(\delta \gamma )}}\right)$
MGF	${\frac {e^{\mu z }\gamma K_{1}(\delta {\sqrt {(\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2})}})}{{\sqrt {(\alpha ^{2}- (\beta +z)^{2})}}K_{1}(\delta \gamma )}}$

Den hyperboliska fördelningen är en kontinuerlig sannolikhetsfördelning som kännetecknas av att logaritmen för sannolikhetstäthetsfunktionen är en hyperbel . Således minskar fördelningen exponentiellt, vilket är långsammare än normalfördelningen . Det är därför lämpligt att modellera fenomen där numeriskt stora värden är mer sannolika än vad som är fallet för normalfördelningen. Exempel är avkastning från finansiella tillgångar och turbulenta vindhastigheter. De hyperboliska fördelningarna utgör en underklass av de generaliserade hyperboliska fördelningarna .

Ursprunget till fördelningen är observationen av Ralph Bagnold , publicerad i hans bok The Physics of Blown Sand and Desert Dunes ( 1941), att logaritmen för histogrammet av den empiriska storleksfördelningen av sandavlagringar tenderar att bilda en hyperbel. Denna observation formaliserades matematiskt av Ole Barndorff-Nielsen i en artikel 1977, där han också introducerade den generaliserade hyperboliska fördelningen, med hjälp av det faktum att en hyperbolisk fördelning är en slumpmässig blandning av normalfördelningar.