Sammandragning (operatorteori)

I operatorteorin sägs en begränsad operator T : X → Y mellan normerade vektorrum X och Y vara en sammandragning om dess operatornorm || T || ≤ 1. Detta begrepp är ett specialfall av begreppet en kontraktionsmappning , men varje bounded operator blir en kontraktion efter lämplig skalning. Analysen av sammandragningar ger insikt i strukturen hos operatörer, eller en familj av operatörer. Teorin om sammandragningar på Hilbert-rymden beror till stor del på Béla Szőkefalvi-Nagy och Ciprian Foias .

Sammandragningar på ett Hilbert-utrymme

"Operatorvinkel" omdirigerar hit. För annan användning, se Kameravinkel .

Om T är en kontraktion som verkar på ett Hilbert-utrymme ${\mathcal {H}}$ , kan följande grundläggande objekt associerade med T definieras.

De defekta operatorerna för T är operatorerna D _T = (1 − T*T ) ^½ och D _T* = (1 − TT* ) ^½ . Kvadratroten är den positiva halvdefinita som ges av spektralsatsen . Defektutrymmena ${\mathcal {D}}_{T}}$ displaystyle och ${\mathcal {D}}_{T*}$ är stängningen av intervallen Ran( D _T ) och Ran( DT _* ) respektive. Den positiva operatorn D _T inducerar en inre produkt på ${\mathcal {H}}$ . Det inre produktutrymmet kan identifieras naturligt med Ran( D _T ). Ett liknande uttalande gäller för ${\mathcal {D}}_{T*}$ .

Defektindexen för T är paret

$(\dim {\mathcal {D}}_{T},\dim {\mathcal {D}}_{T^{*}}).$

Defektoperatorerna och defektindexen är ett mått på icke-enheten hos T .

En sammandragning T på ett Hilbert-utrymme kan kanoniskt dekomponeras till en ortogonal direkt summa

$T=\Gamma \oplus U$

där U är en enhetlig operator och Γ är helt icke-enhetlig i den meningen att den inte har några reducerande delrum som inte är noll på vilka dess begränsning är enhetlig. Om U = 0, sägs T vara en helt icke-enhetlig sammandragning . Ett specialfall av denna sönderdelning är Wold-sönderdelningen för en isometri , där Γ är en riktig isometri.

Sammandragningar på Hilbert-utrymmen kan ses som operatoranalogerna av cos θ och kallas operatorvinklar i vissa sammanhang. Den explicita beskrivningen av kontraktioner leder till (operator-)parametrisering av positiva och enhetliga matriser.

Dilatationssats för sammandragningar

Sz.-Nagys utvidgningssats , bevisad 1953, säger att för varje sammandragning T på ett Hilbertrum H , finns det en enhetlig operator U på ett större Hilbertrum K ⊇ H så att om P är den ortogonala projektionen av K på H då T ⁿ = P U ⁿ P för alla n > 0. Operatören U kallas en utvidgning av T och bestäms unikt om U är minimal, dvs. K är den minsta slutna subrymdsinvarianten under U och U * innehållande H .

I själva verket definiera

$\displaystyle {{\mathcal {H}}=H\oplus H\oplus H\oplus \cdots ,}$

den ortogonala direkta summan av ortogonalt många kopior av H .

Låt V vara isometrin på ${\mathcal {H}}$ definierad av

$\displaystyle {V(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\dots )=(T\xi _{1},{\sqrt {IT^{* }T}}\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\dots ).}$

Låta

$\displaystyle {{\mathcal {K}}={\mathcal {H}}\oplus {\mathcal {H}}.}$

Definiera ett enhetligt W på ${\mathcal {K}}$ med

$\displaystyle {W(x,y)=(Vx+(I-VV^{*})y,-V^{*}y).}$

W är då en enhetlig utvidgning av T med H betraktad som den första komponenten av ${\mathcal {H}}\subset {\mathcal {K}}$ .

Den minimala utvidgningen U erhålls genom att ta begränsningen av W till det slutna delutrymmet som genereras av W- potenser som appliceras på H .

Dilatationssats för kontraktionssemigrupper

Det finns ett alternativt bevis för Sz.-Nagys utvidgningssats, som tillåter betydande generalisering.

Låt G vara en grupp, U ( g ) en enhetlig representation av G på ett Hilbertrum K och P en ortogonal projektion på ett slutet delrum H = PK av K .

Den operatörsvärde funktionen

$\displaystyle {\Phi (g)=PU(g)P,$

med värden i operatorer på K uppfyller villkoret för positiv-definititet

$\sum \lambda _{i}{\overline {\lambda _{j}}}\Phi (g_ {j}^{-1}g_{i})=PT^{*}TP\geq 0,$

var

$\displaystyle {T=\sum \lambda _{i}U(g_{i}).}$

Dessutom,

$\displaystyle {\Phi (1)=P.}$

Omvänt uppstår varje operatörsvärd positiv-definitiv funktion på detta sätt. Kom ihåg att varje (kontinuerlig) skalärt värderad positiv-definitiv funktion på en topologisk grupp inducerar en inre produkt- och grupprepresentation φ( g ) = 〈 U _g v , v 〉 där U _g är en (starkt kontinuerlig) enhetsrepresentation (se Bochners teorem ). Att ersätta v , en rank-1-projektion, med en generell projektion ger det operatörsvärderade uttalandet. Faktum är att konstruktionen är identisk; detta skissas nedan.

Låt ${\mathcal {H}}$ vara utrymmet för funktioner på G för ändligt stöd med värden i H med inre produkt

$\displaystyle {(f_{1},f_{2})=\sum _{g,h}(\Phi (h^{-1}g)f_{1}(g),f_{2} (h)).}$

G agerar enhetligt på ${\mathcal {H}}$ av

$\displaystyle {U(g)f(x)=f(g^{-1}x).}$

Dessutom kan H identifieras med ett slutet delrum av ${\mathcal {H}}$ genom att använda den isometriska inbäddningen som skickar v i H till f _v med

$f_{v}(g)=\delta _{g,1}v.\,$

Om P är projektionen av ${\mathcal {H}}$ på H , då

$\displaystyle {PU(g)P=\Phi (g),}$

med hjälp av ovanstående identifiering.

När G är en separerbar topologisk grupp är Φ kontinuerlig i den starka (eller svaga) operatortopologin om och endast om U är det.

I det här fallet är funktioner som stöds på en räknebar tät undergrupp av G täta i ${\displaystyle {\mathcal {H}}} ,$ så att ${\mathcal {H}}$ är separerbar.

När G = Z definierar vilken kontraktionsoperator T som helst en sådan funktion Φ genom

$\displaystyle \Phi (0)=I,\,\,\,\Phi (n) =T^{n},\,\,\,\Phi (-n)=(T^{*})^{n},$

för n > 0. Ovanstående konstruktion ger då en minimal enhetlig utvidgning.

Samma metod kan användas för att bevisa en andra dilatationssats av Sz._Nagy för en enparameters starkt kontinuerlig kontraktionssemigrupp T ( t ) ( t ≥ 0) på ett Hilbert-utrymme H . Cooper (1947) hade tidigare bevisat resultatet för enparameters semigrupper av isometrier,

Satsen säger att det finns ett större Hilbertrum K som innehåller H och en enhetsrepresentation U ( t ) av R så att

$\displaystyle {T(t)=PU(t)P$

och translaterarna U ( t ) H genererar K.

Faktum är att T ( t ) definierar en kontinuerlig operatorvärderad positiv-definitiv funktion Φ på R till och med

$\displaystyle {\Phi (0)=I,\,\,\,\Phi (t)=T(t),\,\,\,\Phi (-t)=T(t)^{*},}$

för t > 0. Φ är positivt-definitivt på cykliska undergrupper av R , genom argumentet för Z , och därmed på R självt genom kontinuitet.

Den tidigare konstruktionen ger en minimal enhetsrepresentation U ( t ) och projektion P.

Hille -Yosida-satsen tilldelar en sluten obegränsad operator A till varje kontraktiv enparameterhalvgrupp T' ( t ) till och med

$\displaystyle {A\xi =\lim _{t\downarrow 0}{1 \over t}(T(t)-I )\xi ,}$

där domänen på A består av alla ξ för vilka denna gräns finns.

A kallas halvgruppens generator och uppfyller

$\displaystyle {-\Re (A\xi ,\xi )\geq 0}$

på sin domän. När A är en självadjoint operatör

$\displaystyle {T(t)=e^{At},}$

i betydelsen av spektralsatsen och denna notation används mer allmänt inom semigruppteorin.

Kogeneratorn för halvgruppen är sammandragningen som definieras av

$\displaystyle {T=(A+I)(AI)^{-1}.}$

A kan återvinnas från T med hjälp av formeln

$\displaystyle {A=(T+I)(TI)^{-1}.}$

I synnerhet ger en utvidgning av T på K ⊃ H omedelbart en utvidgning av halvgruppen.

Funktionell kalkyl

Låt T vara totalt icke-enhetlig kontraktion på H . Då är den minimala enhetsutvidgningen U av T på K ⊃ H enhetligt ekvivalent med en direkt summa av kopior av bilaterala skiftoperatorn, dvs multiplikation med z på L ² ( S ¹ ).

Om P är den ortogonala projektionen på H så för f i L ^∞ = L ^∞ ( S ¹ ) följer att operatorn f ( T ) kan definieras av

$\displaystyle {f(T)\xi =Pf(U)\xi .}$

Låt H ^∞ vara utrymmet för avgränsade holomorfa funktioner på enhetsskivan D . Varje sådan funktion har gränsvärden i L ^∞ och bestäms unikt av dessa, så att det finns en inbäddning av H ^∞ ⊂ L ^∞ .

För f i H ^∞ , kan f ( T ) definieras utan hänvisning till den enhetliga dilatationen.

I själva verket om

$\displaystyle {f(z)=\summa _{n\geq 0}a_{n}z^{n}}$

för | z | < 1, sedan för r < 1

$\displaystyle {f_{r}(z))=\summa _{n\geq 0}r^{n}a_{n}z ^{n}}$

är holomorf på | z | < 1/ r .

I det fallet definieras f _r ( T ) av den holomorfa funktionella kalkylen och f ( T ) kan definieras av

$\displaystyle {f(T)\xi =\lim _{r\rightarrow 1}f_{r}(T)\xi .}$

Kartan som skickar f till f ( T ) definierar en algebrahomomorfism av H ^∞ till avgränsade operatorer på H. Dessutom, om

$\displaystyle {f^{\sim }(z)=\summa _{n\geq 0}a_{n}{\overline {z} }^{n},}$

sedan

$\displaystyle {f^{\sim }(T)=f(T^{*})^{*}.}$

Denna karta har följande kontinuitetsegenskap: om en likformigt avgränsad sekvens f _n tenderar nästan överallt till f , så tenderar f _n ( T ) till f ( T ) i den starka operatortopologin.

För t ≥ 0, låt e _t vara den inre funktionen

$\displaystyle {e_{t}(z)=\exp t{z+1 \over z-1}.}$

Om T är samgeneratorn för en enparameters semigrupp av helt icke-enhetliga kontraktioner T ( t ), då

$\displaystyle {T(t)=e_{t}(T)}$

och

$\displaystyle {T={1 \over 2}I-{1 \over 2}\int _{0}^{\infty }e^{-t}T(t)\,dt.}$

₀ C sammandragningar

₀ En helt icke-enhetlig kontraktion T sägs tillhöra klassen C om och endast om f ( T ) = 0 för någon icke-noll f i H ^∞ . I detta fall bildar mängden av sådana f ett ideal i H ^∞ . Den har formen φ ⋅ H ^∞ där g är en inre funktion , dvs sådan att |φ| = 1 på S ¹ : φ bestäms unikt fram till multiplikation med ett komplext tal med modul 1 och kallas den minimala funktionen av T . Den har egenskaper som är analoga med det minimala polynomet i en matris.

Den minimala funktionen φ tillåter en kanonisk faktorisering

$\displaystyle {\varphi (z)=cB(z)e^{-P(z)},}$

där | c |=1, B ( z ) är en Blaschke-produkt

$\displaystyle {B(z)=\prod \left[{|\lambda _{i}| \over \lambda _{i}}{\lambda _{i}-z \over 1-{\overline {\lambda }}_{i}}\right]^{m_{i}},}$

med

$\displaystyle {\sum m_{i}(1-|\lambda _{i}|)<\infty ,}$

och P ( z ) är holomorf med icke-negativ reell del i D. Genom Herglotz representationssats ,

$\displaystyle {P(z)=\int _{0}^{2\pi } {1+e^{-i\theta }z \över 1-e^{-i\theta }z}\,d\mu (\theta )}$

för något icke-negativt ändligt mått μ på cirkeln: i detta fall, om det inte är noll, måste μ vara singular med avseende på Lebesgue-måttet. I ovanstående sönderdelning av φ kan någon av de två faktorerna vara frånvarande.

Den minimala funktionen φ bestämmer spektrumet för T . Inom enhetsskivan är spektralvärdena nollorna för φ. Det finns som mest uträkneligt många sådana λ _i , alla egenvärden för T , nollorna till B ( z ). En punkt i enhetscirkeln ligger inte i spektrumet av T om och endast om φ har en holomorf fortsättning till en grannskap av den punkten.

φ reducerar till en Blaschke-produkt exakt när H är lika med slutningen av den direkta summan (inte nödvändigtvis ortogonal) av de generaliserade egenrymden

$\displaystyle {H_{i}=\{\xi :(T-\lambda _{i}I)^{m_{i}}\xi =0\}.}$

Kvasilikhet

Två kontraktioner T ₁ och T ₂ sägs vara nästan lika när det finns gränsade operatorer A , B med trivial kärna och tätt område så att

$\displaystyle {AT_{1}=T_{2}A,\,\,\,BT_{2}=T_{1}B.}$

Följande egenskaper hos en sammandragning T bevaras under kvasi-likhet:

• vara enhetlig
• vara helt oenhetlig
• att vara i klassen C₀
• att vara multiplicitetsfri , dvs ha en kommutativ kommutant

₀ Två ungefär lika C- kontraktioner har samma minimala funktion och därmed samma spektrum.

Klassificeringssatsen för C- kontraktioner säger att två multiplicitetsfria C- kontraktioner är kvasilika om och bara om de har samma minimala funktion (upp till en skalär multipel) . ₀₀

₀ En modell för multiplicitetsfria C- kontraktioner med minimal funktion φ ges genom att ta

$\displaystyle {H=H^{2}\ominus \varphi H^{2},}$

där H ² är cirkelns hårda rymd och låter T vara multiplikation med z .

Sådana operatorer kallas Jordan-block och betecknas S (φ).

Som en generalisering av Beurlings sats består kommutanten för en sådan operator exakt av operatorer ψ( T ) med ψ i H ^≈ , dvs multiplikationsoperatorer på H ² motsvarande funktioner i H ^≈ .

₀ AC kontraktionsoperatör T är multiplicitetsfri om och endast om den är nästan lik ett Jordan-block (nödvändigtvis motsvarande den som motsvarar dess minimala funktion).

Exempel.

• Om en sammandragning T är nästan lik en operator S med

$\displaystyle {Se_{i}=\lambda _{i}e_{i}}$

med λ _i :s distinkta, med modul mindre än 1, så att

$\displaystyle {\summa (1-|\lambda _{i}|)<1}$

₀ och ( ei ) är en ortonormal bas, då är S , och följaktligen T _, C och multiplicitetsfri. Följaktligen H stängningen av den direkta summan av λ _i -egenrymden av T , vart och ett med multiplicitet ett. Detta kan också ses direkt med hjälp av definitionen av kvasilikhet.

• Resultaten ovan kan appliceras lika bra på semigrupper med en parameter, eftersom, från funktionskalkylen, två semigrupper är kvasilika om och endast om deras samgeneratorer är kvasilika.

₀ Klassificeringssats för C- kontraktioner: ₀ Varje C- kontraktion är kanoniskt nästan lik en direkt summa av Jordan-block.

₀ Faktum är att varje C- kontraktion är nästan lik en unik operatör av formen

$\displaystyle {S=S(\varphi _{1})\oplus S(\varphi _{1}\varphi _{2})\oplus S(\varphi _{1}\varphi _{2}\varphi _{3})\oplus \cdots }$

där φ _n är unikt bestämda inre funktioner, med φ ₁ den minimala funktionen av S och därmed T .

Se även

• Sammandragningsmappning – Funktionsreducerande avstånd mellan alla punkter
• Kallman–Rota ojämlikhet
• Stinespring dilatation theorem
• Hille-Yosidas teorem för kontraktionssemigrupper

Anteckningar

•   Bercovici, H. (1988), Operatörsteori och aritmetik i H ^∞ , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 26, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1528-8
•   Cooper, JLB (1947), "Enparameters semigroups of isometric operators in Hilbert space", Ann. av matte. , 48 (4): 827–842, doi : 10.2307/1969382 , JSTOR 1969382
• Gamelin, TW (1969), Uniform algebras , Prentice-Hall
• Hoffman, K. (1962), Banach spaces of analytic functions , Prentice-Hall
•   Sz.-Nagy, B.; Foias, C.; Bercovici, H.; Kérchy, L. (2010), Harmonic analysis of operators on Hilbert space , Universitext (andra upplagan), Springer, ISBN 978-1-4419-6093-1
•   Riesz, F.; Sz.-Nagy, B. (1995), Funktionsanalys. Omtryck av 1955 års original , Dover Books on Advanced Mathematics, Dover, s. 466–472, ISBN 0-486-66289-6