Kvadratroten ur en matris

I matematik utökar kvadratroten ur en matris begreppet kvadratrot från tal till matriser . En matris B sägs vara en kvadratrot ur A om matrisprodukten BB är lika med A .

Vissa författare använder namnet kvadratrot eller notationen A ^1/2 endast för det specifika fallet när A är positiv halvdefinit , för att beteckna den unika matrisen B som är positiv halvdefinit och sådan att BB = B ^T B = A (för verkligt värde matriser, där B ^T är transponeringen av B ).

Mer sällan kan namnet kvadratrot användas för valfri faktorisering av en positiv semidefinit matris A som B ^T B = A , som i Cholesky-faktoriseringen , även om BB ≠ A . Denna distinkta betydelse diskuteras i Positiv bestämd matris § Nedbrytning .

Exempel

I allmänhet kan en matris ha flera kvadratrötter. I synnerhet om $A=B^{2}$ så är $A=(-B)^{2}$ också.

Identitetsmatrisen 2×2 $\textstyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ har oändligt många kvadratrötter. De ges av

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\pm 1&0\\0&\pm 1\end{pmatrix}}} och ($ a $displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\ \c&-a\end{pmatrix}}}$

där $(a,b,c)$ är alla tal (reella eller komplexa) så att $a^{2}+bc=1$ . I synnerhet om $(a,b,t)$ är vilken pytagoreisk trippel som helst — det vill säga vilken uppsättning positiva heltal som helst så att $a^{ 2}+b^{2}=t^{2}$ , sedan ${\frac {1}{t}}{\begin{pmatrix}a&b\\b&- a\end{pmatrix}}$ är en kvadratrotsmatris av $I$ som är symmetrisk och har rationella poster. Således

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}{\frac {4}{5}}&{\frac {3}{5}}\\{\frac {3}{5}}&-{\frac {4}{5}}\end{pmatrix}}^{ 2}.$

Minusidentitet har en kvadratrot, till exempel:

$-{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix }}^{2},$

som kan användas för att representera den imaginära enheten i och därmed alla komplexa tal med 2×2 reella matriser, se Matrisrepresentation av komplexa tal .

Precis som med de reella talen kan en reell matris misslyckas med att ha en reell kvadratrot, men har en kvadratrot med komplexa värden. Vissa matriser har ingen kvadratrot. Ett exempel är matrisen ${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.$

Medan kvadratroten av ett icke-negativt heltal antingen återigen är ett heltal eller ett irrationellt tal , kan däremot en heltalsmatris ha en kvadratrot vars poster är rationella, men ändå icke-integrala, som i exemplen ovan.

Positiva semidefinita matriser

Se även: Positiv bestämd matris § Nedbrytning

En symmetrisk reell n × n matris kallas positiv semidefinit om $x^{\textsf {T}}Ax\geq 0$ för alla $x\in \mathbb {R } ^{n}$ (här betecknar $x^{\textsf {T}}$ transponeringen , ändring av en kolumnvektor x till en radvektor). En kvadratisk reell matris är positiv halvdefinitiv om och endast om $A=B^{\textsf {T}}B$ för någon matris B . Det kan finnas många olika sådana matriser B . En positiv semidefinitiv matris A kan också ha många matriser B så att $A=BB$ . Men A har alltid exakt en kvadratrot B som är positiv semidefinit (och därmed symmetrisk). I synnerhet, eftersom B måste vara symmetrisk, $B=B^{\textsf {T}}$ , så de två villkoren $A=BB$ eller $A=B^{\textsf {T}}B$ är ekvivalenta.

För matriser med komplexa värden används istället konjugattransponeringen ${\displaystyle B^{*}} och positiva semidefinita matriser är$ hermitiska , vilket betyder $B^{*}=B$ .

Sats — Låt A vara en positiv halvdefinitiv matris (reell eller komplex). Då finns det exakt en positiv halvdefinitiv matris B så att $A=B^{*}B$ .

Denna unika matris kallas den huvudsakliga , icke-negativa eller positiva kvadratroten (den senare i fallet med positiva bestämda matriser ) .

Den huvudsakliga kvadratroten av en verklig positiv halvdefinit matris är verklig. Den huvudsakliga kvadratroten av en positiv bestämd matris är positiv definitiv; mer allmänt är rangordningen för den huvudsakliga kvadratroten av A densamma som rangordningen för A .

Operationen att ta den huvudsakliga kvadratroten är kontinuerlig på denna uppsättning matriser. Dessa egenskaper är konsekvenser av den holomorfa funktionella kalkylen som tillämpas på matriser. Existensen och unikheten hos den huvudsakliga kvadratroten kan härledas direkt från Jordans normalform (se nedan).

Matriser med distinkta egenvärden

En n × n matris med n distinkta egenvärden som inte är noll har 2 ⁿ kvadratrötter. En sådan matris, A , har en egenuppdelning VDV ⁻¹ där V är matrisen vars kolumner är egenvektorer till A och D är den diagonala matrisen vars diagonala element är motsvarande n egenvärden λ _i . Sålunda ges kvadratrötterna av A av VD ^1/2 V ⁻¹ , där D ^1/2 är vilken kvadratrotsmatris som helst av D , som, för distinkta egenvärden, måste vara diagonal med diagonala element lika med kvadratrötter från diagonalelementen av D ; eftersom det finns två möjliga val för en kvadratrot av varje diagonalelement av D , finns det 2 ⁿ val för matrisen D ^1/2 .

Detta leder också till ett bevis på ovanstående observation, att en positiv-definitiv matris har exakt en positiv-definitiv kvadratrot: en positiv bestämd matris har bara positiva egenvärden, och vart och ett av dessa egenvärden har bara en positiv kvadratrot; och eftersom egenvärdena för kvadratrotsmatrisen är de diagonala elementen av D ^1/2 , för att kvadratrotsmatrisen ska vara positiv i sig själv, måste endast de unika positiva kvadratrötterna av de ursprungliga egenvärdena användas.

Lösningar i sluten form

Se även: Kvadratroten ur en 2 gånger 2 matris

Om en matris är idempotent , vilket betyder $A^{2}=A$ , så är per definition en av dess kvadratrötter själva matrisen.

Diagonala och triangulära matriser

Om D är en diagonal n × n matris $D=\operatörsnamn {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$ , då är några av dess kvadratrötter diagonala matriser $\operatorname {diag} (\mu _{1},\dots ,\mu _{n})$ , där $\mu _{i}=\pm {\sqrt {\lambda _{i}}}$ . Om de diagonala elementen i D är reella och icke-negativa är de positiva semidefinite, och om kvadratrötterna tas med icke-negativt tecken, är den resulterande matrisen huvudroten av D . En diagonal matris kan ha ytterligare icke-diagonala rötter om några poster på diagonalen är lika, vilket exemplifieras av identitetsmatrisen ovan.

Om U är en övre triangulär matris (vilket betyder att dess poster är $u_{i,j}=0$ för $i>j$ ) och högst en av dess diagonala poster är noll, då kan en övre triangulär lösning av ekvationen $B^{2}=U$ hittas enligt följande. Eftersom ekvationen $u_{i,i}=b_{i,i}^{2}$ ska vara uppfylld, låt $b_{i, i}$ vara den huvudsakliga kvadratroten av det komplexa talet $u_{i,i}$ . Med antagandet $u_{i,i}\neq 0$ , garanterar detta att $b_{i,i}+b_{j,j }\neq 0$ för alla i,j (eftersom de huvudsakliga kvadratrötterna av komplexa tal alla ligger på ena halvan av det komplexa planet). Från ekvationen

$u_{i,j}=b_{i,i}b_{i,j}+b_{i,i+1}b_{i+1,j}+b_{i,i+2}b_{ i+2,j}+\dots +b_{i,j}b_{j,j}$

vi härleder att $b_{i,j}$ kan beräknas rekursivt för $ji$ som ökar från 1 till n -1 som:

$b_{i,j}={\frac {1}{b_{i,i}+b_{j,j}}}\left(u_{i,j}-b_{i,i+1} b_{i+1,j}-b_{i,i+2}b_{i+2,j}-\dots -b_{i,j-1}b_{j-1,j}\höger).$

Om U är övre triangulär men har flera nollor på diagonalen, kanske en kvadratrot inte existerar, vilket exemplifieras av $\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\ höger)$ . Observera att de diagonala ingångarna i en triangulär matris är exakt dess egenvärden (se Triangulär matris#Egenskaper ) .

Genom diagonalisering

En n × n matris A är diagonaliserbar om det finns en matris V och en diagonal matris D så att A = VDV ⁻¹ . Detta händer om och endast om A har n egenvektorer som utgör en bas för C ⁿ . I detta fall V väljas att vara matrisen med de n egenvektorerna som kolumner, och därmed är kvadratroten ur A

${\displaystyle R=VSV^{-1}~,$

där S är en kvadratrot av D . Verkligen,

$\left(VD^{\frac {1}{2}}V^{-1}\right)^{2}=VD^{\frac {1}{2}}\left(V^{ -1}V\right)D^{\frac {1}{2}}V^{-1}=VDV^{-1}=A~.$

Till exempel kan matrisen ${\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}33&24\\48&57\end{smallmatrix}}\right)} diagonaliseras$ som VDV ⁻¹ , där

$V={\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}}$ och $D={\begin{pmatrix }81&0\\0&9\end{pmatrix}}$ .

D har huvudsaklig kvadratrot

$D^{\frac {1}{2}}={\begin{pmatrix}9&0\\0&3\end{pmatrix}}$ ,

ger kvadratroten

$A^{\frac {1}{2}}=VD^{\frac {1}{2}}V^{- 1}={\begin{pmatrix}5&2\\4&7\end{pmatrix}}$ .

När A är symmetrisk kan den diagonaliserande matrisen V göras till en ortogonal matris genom att på lämpligt sätt välja egenvektorerna (se spektralsats ) . Då är inversen av V helt enkelt transponeringen, så att

$R=VSV^{\textsf {T}}~.$

Genom Schur-nedbrytning

$A$ med komplext värde , oavsett diagonaliserbarhet, har en Schur-nedbrytning som ges av $A=QUQ^{*}$ där $U$ är övre triangulär och $Q$ är enhetlig (vilket betyder ${\displaystyle Q^{*}=Q^{-1}} )$ . Egenvärdena för $A$ är exakt de diagonala ingångarna för $\displaystyle U}$ { ; om högst en av dem är noll, är följande en kvadratrot

$A^{\frac {1}{2}}=QU^{\frac {1}{2}}Q^{*}.$

där en kvadratrot $U^{\frac {1}{2}}$ av den övre triangulära matrisen $U$ kan hittas enligt beskrivningen ovan.

Om $A$ är positiv definitivt, så är egenvärdena alla positiva realer, så den valda diagonalen för $U^{\frac {1}{2}}$ består också av positiva realer. Därför är egenvärdena för $QU^{\frac {1}{2}}Q^{*}$ positiva realer, vilket betyder att den resulterande matrisen är huvudroten av $A$ .

Genom Jordans nedbrytning

På samma sätt som för Schur-sönderdelningen, kan varje kvadratisk matris $A$ dekomponeras som $A=P^{-1}JP$ där P är inverterbar och J är i Jordanien normal form .

För att se att en komplex matris med positiva egenvärden har en kvadratrot av samma form, räcker det att kontrollera detta för ett Jordan-block. Varje sådant block har formen λ( I + N ) med λ > 0 och N nilpotent . Om (1 + z ) ^1/2 = 1 + a ₁ z + a ₂ z ² + ⋯ är den binomiska expansionen för kvadratroten (giltigt i | z | < 1), så är dess kvadrat som en formell potensserie lika med 1 + z . Om du ersätter z med N , kommer bara ändligt många termer att vara icke-noll och S = √λ ( I + a ₁ N + a ₂ N ² + ⋯) ger en kvadratrot av Jordan-blocket med egenvärde √λ .

Det räcker med att kontrollera unikhet för ett Jordan-block med λ = 1. Den kvadrat som konstruerats ovan har formen S = I + L där L är polynom i N utan konstant term. Varje annan kvadratrot T med positiva egenvärden har formen T = I + M med M nilpotent, pendlande med N och därmed L . Men då är 0 = S ² − T ² = 2( L − M )( I + ( L + M )/2) . Eftersom L och M pendlar är matrisen L + M nilpotent och I + ( L + M )/2 är inverterbar med invers given av en Neumann-serie . Alltså L = M .

Om A är en matris med positiva egenvärden och minimalt polynom p ( t ) , så kan Jordan-sönderdelningen till generaliserade egenrum för A härledas från den partiella fraktionsexpansionen av p ( t ) ⁻¹ . Motsvarande projektioner på de generaliserade egenrymden ges av reella polynom i A . På varje egenrum A formen λ ( I + N ) enligt ovan. Potensserieuttrycket för kvadratroten på egenrummet visar att den huvudsakliga kvadratroten av A har formen q ( A ) där q ( t ) är ett polynom med reella koefficienter.

Power-serien

Kom ihåg den formella potensserien ${\textstyle (1-z)^{\frac {1}{2}}= \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\binom {1/2}{n}}z^{n}} , som konvergerar förutsatt att$ ‖ $\ displaystyle \|z\|\leq 1}$ (eftersom koefficienterna för potensserien är summerbara). Att plugga in $z=IA$ i detta uttryck ger

$A^{\frac {1}{2}}:=\summa _{n=0} ^{\infty }(-1)^{n}{{\frac {1}{2}} \choose n}(IA)^{n}$

förutsatt att ${\textstyle \limsup _{n}\|(IA)^{n}\|^{\frac {1}{n}}<1 }$ . Enligt Gelfands formel är det villkoret ekvivalent med kravet att spektrumet för $A$ finns inom disken $D(1,1)\subseteq \mathbb { C}$ . Denna metod för att definiera eller beräkna $A^{\frac {1}{2}}$ är särskilt användbar i fallet där $A$ är positiv halvdefinitiv. I så fall har vi ${\textstil \left\|I-{\frac {A}{\|A\|}}\right\|\leq 1} och$ därför ${\textstil \left\|\left(I-{\frac {A}{\|A\|}}\right )^{n}\right\|\leq \left\|I-{\frac {A}{\|A\|}}\right\|^{n}\leq 1} , så att$ uttrycket ${\textstil \|A\|^{\frac {1}{2}}\vänster (\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\binom {1/2}{n}}\left(I-{\frac {A}{\|A\ |}}\right)^{n}\right)}$ definierar en kvadratrot av $A$ som dessutom visar sig vara den unika positiva halvdefinita roten. Denna metod förblir giltig för att definiera kvadratrötter av operatorer på oändligt dimensionella Banach- eller Hilbert-rum eller vissa element i (C*) Banach-algebror.

Iterativa lösningar

Av Denman–Beavers iteration

Ett annat sätt att hitta kvadratroten ur en n × n matris A är kvadratrotsiterationen Denman–Beavers.

₀₀ Låt Y = A och Z = I , där I är n × n identitetsmatrisen . Iterationen definieras av

${\begin{aligned}Y_{k+1}&={\frac {1}{2}}\left(Y_{k}+Z_{k}^{-1}\right),\\ Z_{k+1}&={\frac {1}{2}}\left(Z_{k}+Y_{k}^{-1}\right).\end{aligned}}$

Eftersom detta använder ett par sekvenser av matrisinverser vars senare element förändras relativt lite, har bara de första elementen en hög beräkningskostnad eftersom resten kan beräknas från tidigare element med bara några få pass av en variant av Newtons metod för att beräkna inverser ,

$X_{n+1}=2X_{n}-X_{n}BX_{n}.$

Med detta, för senare värden på k skulle man sätta $X_{0}=Z_{k-1}^{-1}$ och $B= Z_{k},$ och använd sedan $Z_{k}^{-1}=X_{n}$ för några små $n$ (kanske bara 1), och på samma sätt för $Y_{k}^{-1}.$

Konvergens är inte garanterad, inte ens för matriser som har kvadratrötter, men om processen konvergerar konvergerar matrisen $Y_{k}$ kvadratiskt till en kvadratrot A ^1/2 , medan $Z_ {k}$ konvergerar till sin invers, A ^−1/2 .

Med den babyloniska metoden

₀ Ännu en iterativ metod erhålls genom att ta den välkända formeln för den babyloniska metoden för att beräkna kvadratroten ur ett reellt tal, och tillämpa den på matriser. Låt X = I , där I är identitetsmatrisen . Iterationen definieras av

$X_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(X_{k}+AX_{k}^{-1}\right)\,.$

Återigen är konvergens inte garanterad, men om processen konvergerar konvergerar matrisen $X_{k}$ kvadratiskt till en kvadratrot A ^1/2 . Jämfört med Denman–Beavers iteration är en fördel med den babyloniska metoden att endast en matrisinvers behöver beräknas per iterationssteg. Å andra sidan, eftersom Denman–Beavers iteration använder ett par sekvenser av matrisinverser vars senare element förändras relativt lite, har bara de första elementen en hög beräkningskostnad eftersom resten kan beräknas från tidigare element med bara några få pass av en variant av Newtons metod för att beräkna inverser (se Denman–Beavers iteration ovan); naturligtvis kan samma tillvägagångssätt användas för att få den enda sekvens av inverser som behövs för den babyloniska metoden. Men till skillnad från Denman–Beavers iteration är den babyloniska metoden numeriskt instabil och mer sannolikt att den misslyckas med att konvergera.

Den babyloniska metoden följer av Newtons metod för ekvationen $X^{2}-A=0$ och använder $AX_{k}=X_{k}A$ för alla $k.$

Kvadratrötter av positiva operatorer

I linjär algebra och operatorteori , givet en avgränsad positiv semidefinit operator (en icke-negativ operator) T på ett komplext Hilbertrum, är B en kvadratrot ur T om T = B* B , där B* betecknar den hermitiska adjointen till B . Enligt spektralsatsen kan den kontinuerliga funktionella kalkylen tillämpas för att erhålla en operator T ^1/2 så att T ^1/2 i sig själv är positiv och ( T ^1/2 ) ² = T. Operatorn T ^1/2 är den unika icke-negativa kvadratroten av T .

En avgränsad icke-negativ operator på ett komplext Hilbert-utrymme är per definition självtillgränsande. Så T = ( T ^1/2 )* T ^1/2 . Omvänt är det trivialt sant att varje operator av formen B*B är icke-negativ. Därför är en operator T icke-negativ om och endast om T = B* B för något B (motsvarande T = CC* för något C ).

Cholesky -faktoriseringen ger ett annat särskilt exempel på kvadratrot, som inte bör förväxlas med den unika icke-negativa kvadratroten.

Enhetsfrihet för kvadratrötter

Om T är en icke-negativ operator på ett finitdimensionellt Hilbert-rum, så är alla kvadratrötter av T relaterade genom enhetliga transformationer. Närmare bestämt, om T = A*A = B*B , så finns det ett enhetligt U så att A = UB .

Ta faktiskt B = T ^{1 / 2} för att vara den unika icke-negativa kvadratroten av T . Om T är strikt positivt, är B inverterbar, och så U = AB ⁻¹ är enhetlig:

${\begin{aligned}U^{*}U&=\left(\left(B^{*}\right)^{-1}A^{*}\right)\left(AB^{- 1}\right)=\left(B^{*}\right)^{-1}T\left(B^{-1}\right)\\&=\left(B^{*}\right) ^{-1}B^{*}B\left(B^{-1}\right)=I.\end{aligned}}$

Om T är icke-negativ utan att vara strikt positiv, kan inversen av B inte definieras, men Moore–Penrose pseudoinvers B ⁺ kan vara det. I det fallet är operatorn B ⁺ A en partiell isometri , det vill säga en enhetlig operator från området T till sig själv. Detta kan sedan utökas till en enhetlig operator U på hela utrymmet genom att sätta det lika med identiteten på kärnan av T . Mer generellt gäller detta på ett oändligt dimensionellt Hilbert-utrymme om T dessutom har ett stängt område . I allmänhet, om A , B är slutna och tätt definierade operatorer på ett Hilbert-utrymme H , och A* A = B* B , då A = UB där U är en partiell isometri.

Vissa applikationer

Kvadratrötter, och kvadratrötters enhetliga frihet, har tillämpningar genom funktionell analys och linjär algebra.

Polär nedbrytning

Huvudartikel: Polär nedbrytning

Om A är en inverterbar operator på ett ändligt dimensionellt Hilbert-rum, så finns det en unik enhetlig operator U och positiv operator P så att

$A=UPP;$

detta är den polära nedbrytningen av A . Den positiva operatorn P är den unika positiva kvadratroten ur den positiva operatorn A ^∗ A , och U definieras av U = AP ⁻¹ .

Om A inte är inverterbar, så har den fortfarande en polär sammansättning där P definieras på samma sätt (och är unik). Enhetsoperatören U är inte unik. Det är snarare möjligt att bestämma en "naturlig" enhetlig operator enligt följande: AP ⁺ är en enhetlig operator från intervallet A till sig själv, som kan utökas med identiteten på kärnan av A ^∗ . Den resulterande enhetsoperatorn U ger sedan den polära sönderdelningen av A .

Kraus operatörer

Huvudartikel: Chois sats om helt positiva kartor

Efter Chois resultat, en linjär karta

$\Phi :C^{n\times n}\to C^{m\times m}$

är helt positivt om och bara om det är av formen

$\Phi (A)=\summa _{i}^{k}V_{i}AV_{i}^{*}$

där k ≤ nm . Låt { E _pq } ⊂ C ^{n × n} vara de n ² elementära matrisenheterna. Den positiva matrisen

$M_{\Phi }=\left(\Phi \left(E_{pq}\right)\right)_{pq }\in C^{nm\times nm}$

kallas Choi-matrisen för Φ. Kraus- Vi _operatorerna motsvarar, inte nödvändigtvis kvadratrötterna av M Φ _: För varje kvadratrot B av M _Φ kan man erhålla en familj av Kraus-operatorer genom att ångra Vec-operationen till varje kolumn bi _av B . Således är alla uppsättningar Kraus-operatorer relaterade till partiella isometrier.

Blandade ensembler

Huvudartikel: Densitetsmatris

Inom kvantfysiken är en densitetsmatris för ett n -nivå kvantsystem en n × n komplex matris ρ som är positiv semidefinit med spår 1. Om ρ kan uttryckas som

$\rho =\sum _{i}p_{i}v_{i}v_{i}^{*}$

där $p_{i}>0$ och Σ p _i = 1, mängden

$\left\{p_{i},v_{i}\right\}$

sägs vara en ensemble som beskriver det blandade tillståndet ρ . Observera att { v _i } inte krävs för att vara ortogonal. Olika ensembler som beskriver tillståndet ρ är relaterade av enhetsoperatorer, via kvadratrötterna av ρ . Anta till exempel

$\rho =\sum _{j}a_{j}a_{j}^{*}.$

Spår 1-villkoret betyder

$\sum _{j}a_{j}^{*}a_{j}=1.$

Låta

$p_{i}=a_{i}^{*}a_{i},$

och v _i vara den normaliserade ai _. Vi ser det

$\left\{p_{i},v_{i}\right\}$

ger det blandade tillståndet ρ .

Se även

• Matrisfunktion
• Holomorf funktionell kalkyl
• Logaritm av en matris
• Sylvesters formel
• Kvadratroten ur en 2 gånger 2 matris

Anteckningar

•   Bourbaki, Nicolas (2007), Théories spectrales, chapitres 1 et 2 , Springer, ISBN 978-3540353317
•   Conway, John B. (1990), A Course in Functional Analysis , Graduate Texts in Mathematics, vol. 96, Springer, s. 199–205, ISBN 978-0387972459 , Kapitel IV, Reisz funktionell kalkyl
•   Cheng, Sheung Hun; Higham, Nicholas J .; Kenney, Charles S.; Laub, Alan J. (2001), "Approximating the Logarithm of a Matrix to Specified Accuracy" (PDF) , SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications , 22 (4): 1112–1125, CiteSeerX 10.1.1.230.912 , doi : doi 10.1137/S0895479899364015 , arkiverad från originalet (PDF) 2011-08-09
• Burleson, Donald R., Beräkna kvadratroten av en Markov-matris: egenvärden och Taylor-serien
• Denman, Eugene D.; Beavers, Alex N. (1976), "The matrix sign function and computations in systems", Applied Mathematics and Computation , 2 (1): 63–94, doi : 10.1016/0096-3003(76)90020-5
•   Higham, Nicholas (2008), Funktioner av matriser. Teori och beräkning , SIAM , ISBN 978-0-89871-646-7
•   Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrisanalys (2:a upplagan). Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-54823-6 .
•   Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1994), Ämnen i matrisanalys , Cambridge University Press, ISBN 978-0521467131
•    Rudin, Walter (1991). Funktionsanalys . Internationell serie i ren och tillämpad matematik. Vol. 8 (andra upplagan). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .