Dilatation (operatorteori)

I operatorteorin är en utvidgning av en operator T på ett Hilbert -utrymme H en operator på ett större Hilbert-utrymme K , vars begränsning till H sammansatt med den ortogonala projektionen på H är T.

Mer formellt, låt T vara en avgränsad operator på något Hilbertrum H , och H vara ett delrum till ett större Hilbertrum H' . En avgränsad operator V på H' är en dilatation av T if

$P_{H}\;V|_{H}=T$

där $P_{H}$ är en ortogonal projektion H .

V sägs vara en enhetlig utvidgning (respektive normal, isometrisk, etc.) om V är enhetlig (respektive normal, isometrisk, etc.). T sägs vara en komprimering av V . Om en operator T har en spektral uppsättning $X$ , säger vi att V är en normal gränsdilatation eller en normal $\partial X$ -dilatation om V är en normal dilatation av T och $\sigma (V)\subseteq \partial X$ .

Vissa texter ställer ett ytterligare villkor. Nämligen att en dilatation uppfyller följande (kalkyl) egenskap:

$P_{H}\;f(V)|_{H}=f(T)$

där f(T) är någon specificerad funktionell kalkyl (till exempel polynomet eller H ^∞ kalkylen). Nyttan med en dilatation är att den tillåter "lyftning" av föremål som är associerade med T till nivån V , där de lyfta föremålen kan ha bättre egenskaper. Se till exempel kommutantlyftsatsen .

Ansökningar

Vi kan visa att varje sammandragning på Hilbert-utrymmen har en enhetlig utvidgning. En möjlig konstruktion av denna utvidgning är som följer. För en sammandragning T , operatören

$D_{T}=(IT^{*}T)^{\frac {1}{2}}$

är positiv, där den kontinuerliga funktionskalkylen används för att definiera kvadratroten. Operatören D _T kallas den defekta operatorn för T . Låt V vara operatören på

$H\oplus H$

definieras av matrisen

$V={\begin{bmatrix}T&D_{T^{*}}\\\ D_{T}&-T^{*}\end{bmatrix}}.$

V är helt klart en utvidgning av T . Dessutom T ( I - T*T ) = ( I - TT* ) T och ett gränsargument

$TD_{T}=D_{T^{*}}T.$

Genom att använda detta kan man visa, genom att direkt beräkna, att V är enhetlig, därför en enhetlig utvidgning av T . Denna operatör V kallas ibland Julia-operatören för T .

Lägg märke till att när T är en verklig skalär, säg $T=\cos \theta$ , har vi

$V={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\\ \sin \theta &-\cos \theta \end{bmatrix}}.$

som bara är den enhetliga matrisen som beskriver rotation med θ. Av denna anledning kallas Julia-operatorn V(T) ibland för den elementära rotationen av T .

Vi noterar här att vi i ovanstående diskussion inte har krävt kalkylegenskapen för en utvidgning. Direkt beräkning visar faktiskt att Julia-operatorn inte är en "grad-2" utvidgning i allmänhet, dvs det behöver inte vara sant att

$T^{2}=P_{H}\;V^{2}|_{H}$ .

Det kan dock också visas att varje kontraktion har en enhetlig dilatation som har kalkylegenskapen ovan. Detta är Sz.-Nagys dilatationssats . Mer allmänt, om ${\mathcal {R}}(X)$ är en Dirichlet-algebra , kommer vilken operator T som helst med $X$ som en spektralmängd att ha en normal $\partial X$ utvidgning med denna egenskap. Detta generaliserar Sz.-Nagys dilatationssats eftersom alla kontraktioner har enhetsskivan som en spektral uppsättning.

Anteckningar

•   Constantinescu, T. (1996), Schur Parameters, Dilation and Factorization Problems, vol. 82, Birkhauser Verlag, ISBN 3-7643-5285-X .
•   Paulsen, V. (2002), Completely Bounded Maps and Operator Algebras , Cambridge University Press, ISBN 0-521-81669-6 .
•   Sz.-Nagy, B.; Foiaş, C. (1970), Harmonisk analys av operatörer på Hilbert-rymden , North-Holland Publishing Company, ISBN 9780720420357 .