Minska underutrymmet

I linjär algebra är ett reducerande delrum $W$ av en linjär karta $T:V\to V$ från ett Hilbertrum $V$ till sig själv ett invariant delrum av $T$ vars ortogonala komplement $W^{\perp }$ också är ett invariant delrum till $T.$ Det vill säga $T(W)\subseteq W$ och $T(W^{\perp })\subseteq W^{\perp }.$ Man säger att delutrymmet $W$ reducerar kartan $T.$

En säger att en linjär karta är reducerbar om den har ett icke-trivialt reducerande delrum. Annars säger man att det är irreducerbart .

Om $V$ har ändlig dimension $r$ och $W$ är ett reducerande delrum av kartan $T:V\to V$ representerad under bas $B$ av matris $M\in \mathbb {R} ^{r\times r}$ då kan $M$ uttryckas som summan

$$M=P_{W}MP_{W}+P_{W^{\perp }}MP_{W^{\perp }}$$

där $P_{W}\in \mathbb {R} ^{r\times r}$ är matrisen för den ortogonala projektionen från $V$ till $W$ och $P_{W^{\perp }}=I-P_{W}$ är matrisen för projektionen på $W^{\perp }.$ (Här $I\in \mathbb {R} ^{r\times r}$ identitetsmatrisen . )

Dessutom har $V$ en ortonormal bas $B'$ med en delmängd som är en ortonormal bas av $W$ . Om $Q\in \mathbb {R} ^{r\times r}$ är övergångsmatrisen från $B$ till $B'$ så med avseende på $B'$ matrisen $Q^{-1}MQ$ som representerar $T$ är en blockdiagonal matris

$$Q^{-1}MQ=\left[{\begin{array}{cc}A&0\\0&B\end{array}}\right]$$

med $A\in \mathbb {R} ^{d\times d},$ där $d=\dim W$ , och $B\in \mathbb {R} ^{(rd)\times (rd)}.$