Centraliserare och normaliserare

I matematik , särskilt gruppteori , är centraliseraren (även kallad kommutant ) för en delmängd S i en grupp G mängden element $\displaystyle \mathrm {C} _{G}(S)}$ { av G så att varje medlem $g\in \mathrm {C} _{G}(S)$ pendlar med varje element i S , eller motsvarande, så att konjugering med $g$ lämnar varje element i S fast. Normaliseraren för S i G är mängden element $\mathrm {N} _{G}(S)$ i G som uppfyller det svagare villkoret att lämna mängden $S \subseteq G$ fixerad under konjugation. Centraliseraren och normaliseraren för S är undergrupper av G . Många tekniker inom gruppteorin är baserade på att studera centraliserare och normaliserare för lämpliga delmängder S .

Lämpligt formulerade gäller definitionerna även för semigrupper .

I ringteorin definieras centraliseraren för en delmängd av en ring med avseende på ringens semigrupp ( multiplikation ) . Centraliseraren för en delmängd av en ring R är en subring av R . Den här artikeln behandlar också centraliserare och normaliserare i en Lie-algebra .

Idealiseraren i en semigrupp eller ring är en annan konstruktion som är i samma veva som centraliseraren och normaliseraren .

Definitioner

Grupp och semigrupp

Centraliseraren för en delmängd S av grupp (eller halvgrupp) G definieras som

\mathrm {C} _{G}(S)=\left\{g\in G\mid gs=sg{\text{ för alla }}s\in S\right\}=\left\{g\in G\mid gsg^ {-1}=s{\text{ för alla }}s\i S\right\},

där endast den första definitionen gäller semigrupper. Om det inte finns någon tvetydighet om gruppen i fråga, G: et undertryckas från notationen. När S = { a } är en singelmängd , skriver vi C _G ( a ) istället för C _G ({ a }). En annan mindre vanlig notation för centraliseraren är Z( a ), som är parallell med notationen för mitten . Med denna senare notation måste man vara noga med att undvika förväxling mellan mitten av en grupp G , Z( G ), och centraliseraren av ett element g i G , Z( g ).

Normaliseraren för S i gruppen (eller semigruppen) G definieras som

\mathrm {N} _{G}(S)=\left \{g\in G\mid gS=Sg\right\}=\left\{g\in G\mid gSg^{-1}=S\right\},

där återigen bara den första definitionen gäller för semigrupper. Definitionerna är likartade men inte identiska. Om g är i centraliseraren för S och s är i S , så måste det vara att gs = sg , men om g är i normaliseraren, så är gs = tg för något t i S , med t möjligen annorlunda än s . Det vill säga, element i centraliseraren för S måste pendla punktvis med S , men element i normaliseraren för S behöver bara pendla med S som en uppsättning . Samma notationskonventioner som nämnts ovan för centraliserare gäller även normalisatorer. Normaliseraren ska inte förväxlas med normal stängning .

Klart $C_{G}(S)\subseteq N_{G}(S)$ och båda är undergrupper av $G$ .

Ring, algebra över ett fält, Lie-ring och Lie-algebra

Om R är en ring eller en algebra över ett fält , och S är en delmängd av R , är centraliseraren av S exakt som definierat för grupper, med R i stället för G.

Om ${\mathfrak {L}}$ är en Lie-algebra (eller Lie-ring ) med Lie-produkt [ x , y ], så är centraliseraren för en delmängd S av ${\mathfrak {L}}$ definieras som

\mathrm {C} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]=0{\text{ för alla }}s \i S\}.

Definitionen av centraliserare för Lie-ringar är kopplad till definitionen för ringar på följande sätt. Om R är en associativ ring, så kan R ges parentesprodukten [ x , y ] = xy − yx . Naturligtvis då xy = yx om och endast om [ x , y ] = 0 . Om vi betecknar mängden R med parentesprodukten som L _R , så är uppenbarligen ringcentreringen av S i R lika med Lie-ringens centrering av S i L _R .

Normaliseraren för en delmängd S av en Lie-algebra (eller Lie-ring) ${\mathfrak {L}}$ ges av

\mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]\in S{\text{ för alla }} s\in S\}.

Även om detta är standardanvändningen av termen "normaliserare" i Lie-algebra, är denna konstruktion faktiskt idealiseraren för mängden S i ${\mathfrak {L}}$ . Om S är en additiv undergrupp av ${\mathfrak {L}}$ så är $\mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)$ den största lögnen subring (eller Lie subalgebra, beroende på fallet) där S är ett Lie ideal .

Egenskaper

Semigrupper

Låt $S'$ beteckna centraliseraren för $S$ i semigruppen $A$ ; dvs ${\displaystyle S'=\{x\in A\mid sx=xs{\text{ för varje }}s\in S\}.} Sedan bildar S ′ {\$ displaystyle $}$ en underhalvgrupp och $S'=S'''=S''''''$ ; dvs en kommutant är sin egen bikommutant .

Grupper

Källa:

Centraliseraren och normaliseraren för S är båda undergrupper av G .
Det är klart att C _G ( S ) ⊆NG ₍ S ) . Faktum är att C _G ( S ) alltid är en normal undergrupp av N _G ( S ), som är kärnan i homomorfismen N _G ( S ) → Bij( S ) och gruppen N _G ( S )/C _G ( S ) fungerar genom konjugation som en grupp av bijektioner på S . T.ex. Weyl-gruppen i en kompakt Lie-grupp G med en torus T definieras som W ( G , T ) = N _G ( T )/C _G ( T ) , och speciellt om torusen är maximal (dvs. C _G ( T ) = T ) det är ett centralt verktyg i teorin om Lie-grupper.
C _G (C _G ( S )) innehåller S , men C _G ( S ) behöver inte innehålla S. Inneslutning sker exakt när S är abelsk.
Om H är en undergrupp av G , så innehåller N _G ( H ) H.
Om H är en undergrupp av G , då är den största undergruppen av G , i vilken H är normal, undergruppen NG ( _H ).
Om S är en delmängd av G så att alla element i S pendlar med varandra, så är den största undergruppen av G vars centrum innehåller S undergruppen C _G (S).
En undergrupp H i en grupp G kallas en självnormaliserande undergrupp av G om N _G ( H ) = H .
Mitten av G är exakt C _G (G) och G är en abelsk grupp om och endast om C _G (G) = Z( G ) = G .
För singleton-uppsättningar, C _G ( a ) = _NG ( a ) .
Genom symmetri, om S och T är två delmängder av G , T ⊆ C _G ( S ) om och endast om S ⊆ C _G ( T ) .
en undergrupp H i grupp G anger N/C- satsen att faktorgruppen N _G ( H )/C _G ( H ) är isomorf till en undergrupp av Aut( H ), gruppen av automorfismer av H . Eftersom N _G ( G ) = G och C _G ( G ) = Z( G ) , innebär N/C-satsen också att G /Z( G ) är isomorf till Inn( G ), undergruppen av Aut( G ) består av av alla inre automorfismer hos G .
Om vi definierar en grupphomomorfism T : G → Inn( G ) med T ( x )( g ) = T _x ( g ) = xgx ⁻¹ , så kan vi beskriva N _G ( S ) och C _G ( S ) i termer av gruppåtgärden för Inn( G ) på G : stabilisatorn för S i Inn( G ) är T (NG ₍ S ) ), och undergruppen av Inn( G ) som fixerar S punktvis är T (C _G ( S ) ).
En undergrupp H i en grupp G sägs vara C-sluten eller självbikommutant om H = C _G ( S ) för någon delmängd S ⊆ G . Om så är fallet, så är faktiskt H = C _G (C _G ( H )) .

Ringar och algebror över ett fält

Källa:

Centraliserare i ringar och i algebror över ett fält är subringar respektive subalgebror över ett fält; centraliserare i Lie-ringar och i Lie-algebror är Lie-subringar respektive Lie-subalgebror.
Normaliseraren för S i en Lie-ring innehåller centraliseraren för S .
C _R (C _R ( S )) innehåller S men är inte nödvändigtvis lika. Dubbelcentraliseringssatsen behandlar situationer där jämlikhet uppstår .
Om S är en additiv undergrupp av en Lie-ring A , så är N _A ( S ) den största Lie-underringen av A där S är ett Lie-ideal.
Om S är en Lie-underring till en Lie-ring A S⊆N _A ( S ) , då .

Se även

Anteckningar

^ Kevin O'Meara; John Clark; Charles Vinsonhaler (2011). Avancerade ämnen i linjär algebra: vävningsmatrisproblem genom Weyr-formen . Oxford University Press . sid. 65. ISBN 978-0-19-979373-0 .
^ Karl Heinrich Hofmann; Sidney A. Morris (2007). The Lie Theory of Connected Pro-Lie Groups: A Structure Theory for Pro-Lie Algebras, Pro-Lie Groups, and Connected Locally Compact Groups . European Mathematical Society . sid. 30. ISBN 978-3-03719-032-6 .
^ Jacobson (2009), sid. 41
^ ^a ^b ^c Jacobson 1979 , s.28.
^ Jacobson 1979 , s.57.
^ Isaacs 2009 , kapitel 1−3.

Isaacs, I. Martin (2009), Algebra: a graduate course , Graduate Studies in Mathematics , vol. 100 (omtryck av 1994 års originalutgåva), Providence, RI: American Mathematical Society , doi : 10.1090/gsm/100 , ISBN 978-0-8218-4799-2 , MR 2472787
Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra , vol. 1 (2 uppl.), Dover Publications , ISBN 978-0-486-47189-1
Jacobson, Nathan (1979), Lie Algebras (republicering av 1962 års originalutgåva), Dover Publications , ISBN 0-486-63832-4 , MR 0559927

[O'MearaClark2011-1] Kevin O'Meara; John Clark; Charles Vinsonhaler (2011). Avancerade ämnen i linjär algebra: vävningsmatrisproblem genom Weyr-formen . Oxford University Press . sid. 65. ISBN 978-0-19-979373-0 .

[HofmannMorris2007-2] Karl Heinrich Hofmann; Sidney A. Morris (2007). The Lie Theory of Connected Pro-Lie Groups: A Structure Theory for Pro-Lie Algebras, Pro-Lie Groups, and Connected Locally Compact Groups . European Mathematical Society . sid. 30. ISBN 978-3-03719-032-6 .

[3] Jacobson (2009), sid. 41

[FOOTNOTEJacobson1979p.28-4] Jacobson 1979 , s.28.

[FOOTNOTEJacobson1979p.57-5] Jacobson 1979 , s.57.

[FOOTNOTEIsaacs2009Chapters_1−3-6] Isaacs 2009 , kapitel 1−3.