Bochners sats

Inom matematiken karaktäriserar Bochners sats (uppkallad efter Salomon Bochner ) Fouriertransformen av ett positivt ändligt Borelmått på den reella linjen. Mer allmänt i harmonisk analys , hävdar Bochners sats att under Fourier-transformation en kontinuerlig positiv-definitiv funktion på en lokalt kompakt abelisk grupp motsvarar ett ändligt positivt mått på Pontryagin-dubbelgruppen . Fallet med sekvenser fastställdes först av Gustav Herglotz (se även det relaterade Herglotz-representationssatsen .)

Teoremet för lokalt kompakta abelska grupper

Bochners teorem för en lokalt kompakt abelsk grupp G , med dubbelgrupp ${\displaystyle {\widehat {G}}} ,$ säger följande:

Sats För varje normaliserad kontinuerlig positiv-definitiv funktion f på G (normalisering betyder här att f är 1 vid enheten av G ), finns det ett unikt sannolikhetsmått μ på ${\widehat {G}}$ så att

f(g)=\int _{\widehat {G}}\xi (g)\,d\mu (\xi ) ,

dvs f är Fouriertransformen av ett unikt sannolikhetsmått μ på ${\widehat {G}}$ . Omvänt är Fouriertransformen av ett sannolikhetsmått på ${\widehat {G}}$ nödvändigtvis en normaliserad kontinuerlig positiv-definitiv funktion f på G . Detta är i själva verket en en-till-en-korrespondens.

₀ Gelfand –Fourier-transformen är en isomorfism mellan gruppen C*-algebra C*( G ) och C ( Ĝ ). Satsen är i huvudsak det dubbla uttalandet för tillstånd för de två abelska C*-algebrorna.

Beviset för satsen går genom vektortillstånd på starkt kontinuerliga enhetsrepresentationer av G (beviset visar faktiskt att varje normaliserad kontinuerlig positiv-definitiv funktion måste vara av denna form).

₀₀ Givet en normaliserad kontinuerlig positiv-definitiv funktion f på G kan man konstruera en starkt kontinuerlig enhetsrepresentation av G på ett naturligt sätt: Låt F ( G ) vara familjen av komplext värderade funktioner på G med ändligt stöd, dvs h ( g ) ) = 0 för alla utom ändligt många g . Den positivt bestämda kärnan K ( g ₁ , g ₂ ) = f ( g ₁ − g ₂ ) inducerar en (eventuellt degenererad) inre produkt på F ( G ). Att citera ut degeneration och ta avslutningen ger ett Hilbert-utrymme

({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{f}),

vars typiska element är en ekvivalensklass [ h ]. För ett fast g i G är " skiftoperatorn " U _g definierad av ( U _g )( h ) (g') = h ( g ' − g ), för en representant för [ h ], enhetlig. Kartan alltså

g\mapsto U_{g}

är en enhetlig representation av G på $({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{f})$ . Genom kontinuitet av f är den svagt kontinuerlig, därför starkt kontinuerlig. Genom konstruktion har vi

\langle U_{g}[e],[e]\rangle _{f}=f(g),

där [ e ] är klassen för funktionen som är 1 på identiteten för G och noll någon annanstans. Men enligt Gelfand–Fourier-isomorfism är vektortillståndet $\langle \cdot [e],[e]\rangle _{f}$ på C*( G ) tillbakadragning av ett tillstånd på ${\displaystyle C_{0}({\widehat {G}})} ,$ vilket nödvändigtvis är integration mot ett sannolikhetsmått μ . Att jaga igenom isomorfismerna ger då

\langle U_{g}[e],[e]\rangle _{f}=\int _{\widehat {G}}\xi (g)\,d\mu (\xi ).

Å andra sidan, givet ett sannolikhetsmått μ på ${\displaystyle {\widehat {G}}} ,$ funktionen

f(g)=\int _{\widehat {G}}\xi (g)\,d\mu (\xi)

är en normaliserad kontinuerlig positiv-definitiv funktion. Kontinuitet för f följer av den dominerade konvergenssatsen . För positiv-definititet, ta en icke degenererad representation av $C_{0}({\widehat {G}})$ . Detta sträcker sig unikt till en representation av dess multiplikatoralgebra $C_{b}({\widehat {G}})$ Ug _och därför en starkt kontinuerlig enhetlig representation . Som ovan har vi f givet av något vektortillstånd på U _g

f(g)=\langle U_{g}v,v\rangle ,

därför positivt-definitivt.

De två konstruktionerna är ömsesidiga inverser.

Speciella fall

Bochners sats i specialfallet med den diskreta gruppen Z benämns ofta som Herglotz sats (se Herglotz representationssats ) och säger att en funktion f på Z med f (0) = 1 är positivt-definitiv om och endast om det finns finns ett sannolikhetsmått μ på cirkeln T så att

f(k)=\int _{\mathbb {T} }e^{-2\pi ikx}\,d\mu (x).

På liknande sätt är en kontinuerlig funktion f på R med f (0) = 1 positiv-definitiv om och endast om det finns ett sannolikhetsmått μ på R så att

f(t)=\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi i\xi t}\,d\mu (\xi ).

Ansökningar

Inom statistik kan Bochners sats användas för att beskriva den seriella korrelationen för en viss typ av tidsserier . En sekvens av slumpvariabler $\{f_{n}\}$ av medelvärde 0 är en (vidförstådd) stationär tidsserie om kovariansen

\operatorname {Cov} (f_{n},f_{m})

beror bara på n − m . Funktionen

g(nm)=\operatörsnamn {Cov} (f_{n},f_{m})

kallas tidsseriens autokovariansfunktion . Med medelantagandet om noll,

g(nm)=\langle f_{n},f_{m}\rangle ,

där ⟨⋅, ⋅⟩ betecknar den inre produkten på Hilbertrummet av slumpvariabler med ändliga sekundmoment. Det är då omedelbart att g är en positiv-definitiv funktion på heltalen $\mathbb {Z}$ . Enligt Bochners teorem finns det ett unikt positivt mått μ på [0, 1] så att

g(k)=\int e^{-2\pi ikx}\,d\mu (x).

Detta mått μ kallas spektralmåttet för tidsserien. Det ger information om seriens "säsongsbetonade trender".

Låt till exempel z vara en m -:te rot av enhet (med nuvarande identifiering är detta 1/ m ∈ [0, 1]) och f är en slumpvariabel med medelvärde 0 och varians 1. Betrakta tidsserien $\{z^{n}f\}$ . Autokovariansfunktionen är

g(k)=z^{k}.

Uppenbarligen är det motsvarande spektralmåttet Dirac-punktens massa centrerad vid z . Detta hänger samman med att tidsserien upprepar sig var m period.

När g har tillräckligt snabbt sönderfall är måttet μ absolut kontinuerligt med avseende på Lebesgue-måttet, och dess Radon–Nikodym-derivata f kallas tidsseriens spektrala täthet . När g ligger i $\ell ^{1}(\mathbb {Z} )$ , är f Fouriertransformen av g .

Se även

Loomis, LH (1953), En introduktion till abstrakt harmonisk analys , Van Nostrand
M. Reed och Barry Simon , Metoder för modern matematisk fysik, vol. II, Academic Press, 1975.
Rudin, W. (1990), Fourieranalys på grupper , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-52364-X