Ordlista för ringteori

Ringteori är den gren av matematiken där ringar studeras: det vill säga strukturer som stöder både en additions- och en multiplikationsoperation . Detta är en ordlista över några termer i ämnet.

För objekten i kommutativ algebra (teorin om kommutativa ringar), se ordlista för kommutativ algebra . För ringteoretiska begrepp i modulspråket, se även Ordlista för modulteori .

För specifika typer av algebror, se även: Ordlista för fältteori och Ordlista över Lie-grupper och Lie-algebror . Eftersom det för närvarande inte finns någon ordlista över icke-nödvändigtvis-associativa algebra-strukturer i allmänhet, innehåller denna ordlista några begrepp som inte behöver associativitet; t.ex. en härledning.

A

Amitsurkomplex: Amitsurkomplexet av en ringhomomorfism är ett cochainkomplex som mäter i vilken utsträckning ringhomomorfismen inte är troget platt .
Artinian: En vänster Artinian-ring är en ring som uppfyller de nedåtgående kedjevillkoren för vänsterideal; en rätt artinisk ring är en som uppfyller de fallande kedjans villkor för rätt ideal. Om en ring är både vänster och höger Artinian kallas den Artinian . Artinian ringar är Noetherian ringar.
Artin-Wedderbun-satsen: Artin -Wedderburn-satsen säger att en halvenkel ring är en ändlig produkt av (hela) matrisringar över divisionsringar.
associera I en kommutativ ring: kallas ett element a en associering av ett element b om a delar b och b delar a .
automorfism: En ringautomorfism är en ringisomorfism mellan samma ring; med andra ord är det ett enhetselement i ringens endomorfismring som är multiplikativ och bevarar den multiplikativa identiteten.; En algebraautomorfism över en kommutativ ring R är en algebraisomorfism mellan samma algebra; det är en ringautomorfism som också är R -linjär.
Azumaya: En Azumaya-algebra är en generalisering av en central enkel algebra till en icke-fältbasring.

B

bidimension: Bidimensionen för en associativ algebra A över en kommutativ ring R är den projektiva dimensionen av $A$ som en $A^{op}\otimes _{R}A$ -modul . Till exempel har en algebra bidimension noll om och bara om den är separerbar.
boolesk: En boolesk ring är en ring där varje element är multiplikativt idempotent .
Brauer: Brauergruppen i ett fält är en abelsk grupp som består av alla ekvivalensklasser av centrala enkla algebror över fältet.

C

kategori: Kategorien ringar är en kategori där objekten är (alla) ringarna och där morfismerna är (alla) ringhomomorfismer.
centrum: 1. Ett element r i en ring R är centralt om xr = rx för alla x i R . Mängden av alla centrala element bildar en subring av R , känd som mitten av R .; 2. En central algebra är en associativ algebra över centrum.; 3. En central enkel algebra är en central algebra som också är en enkel ring.
centraliserare: 1. Centraliseraren för en delmängd S av en ring är subringen av ringen som består av elementen som pendlar med elementen i S . Till exempel är själva ringens centraliserare mitten av ringen.; 2. Den dubbla centraliseraren för en uppsättning är centraliseraren för uppsättningens centraliserare. Jfr. dubbel centraliserare teorem .
egenskap: 1. Karaktäristiken för en ring är det minsta positiva heltal n som uppfyller nx = 0 för alla element x i ringen, om ett sådant n finns. Annars är karakteristiken 0.; 2. Den karakteristiska subringen för R är den minsta subringen (dvs. den unika minimala subringen). Det är nödvändigt bilden av den unika ringhomomorfismen $\mathbb {Z} \to R$ och är således isomorf till $\mathbb {Z} /n$ där n är egenskapen för R .
förändring: Ett byte av ringar är en funktion (mellan lämpliga kategorier) inducerad av en ringhomomorfism.
Clifford-algebra: En Clifford-algebra är en viss associativ algebra som är användbar inom geometri och fysik.
koherent: En vänster koherent ring är en ring sådan att varje ändligt genererat vänsterideal av den är en finit presenterad modul; den är med andra ord sammanhängande som en vänstermodul över sig själv.
kommutativ: 1. En ring R är kommutativ om multiplikationen är kommutativ, dvs rs = sr för alla r , s ∈ R .; 2. En ring R är skevkommutativ om $xy=(-1)^{\epsilon (x)\epsilon (y)}yx$ där $\epsilon (x)$ anger pariteten för ett element x .; 3. En kommutativ algebra är en associativ algebra som är en kommutativ ring.; 4. Kommutativ algebra är teorin om kommutativa ringar.

D

härledning: 1. En härledning av en möjligen icke-associativ algebra A över en kommutativ ring R är en R -linjär endomorfism som uppfyller Leibniz-regeln .; 2. Derivationsalgebra för en algebra A är subalgebra till endomorfismalgebra av A som består av härledningar.
differential: En differentialalgebra är en algebra tillsammans med en härledning.
direkt: En direkt produkt av en familj av ringar är en ring som ges genom att ta den kartesiska produkten av de givna ringarna och definiera de algebraiska operationerna komponentmässigt.
divisor: 1. I en integral domän R , ^{[ förtydligande behövs ]} kallas ett element a en divisor av elementet b (och vi säger a delar b ) om det finns ett element x i R med ax = b .; 2. Ett element r av R är en vänster nolldelare om det finns ett icke-nollelement x i R så att rx = 0 och en höger nolldelare eller om det finns ett icke-nollelement y i R så att yr = 0 . Ett element r av R kallas en tvåsidig nolldelare om det är både en vänster nolldelare och en höger nolldelare.
division: En divisionsring eller skevt fält är en ring där varje element som inte är noll är en enhet och 1 ≠ 0 .
domän: En domän är en ring som inte är noll utan nolldelare förutom 0. Av historiska skäl kallas en kommutativ domän en integral domän .

E

endomorphism: En endomorphism ring är en ring som bildas av endomorphisms av ett objekt med additiv struktur; multiplikationen anses vara funktionskomposition , medan dess addition är punktvis addition av bilderna.
omslutande algebra: Den (universella) omslutande algebra E för en inte-nödvändigtvis-associativ algebra A är den associativa algebra som bestäms av A på något universellt sätt. Det mest kända exemplet är den universella omslutande algebra av en Lie-algebra.
förlängning: En ringförlängning av en ring R av en abelsk grupp I är ett par $(E,\varphi )$ bestående av en ring E och en ringhomomorfism $\varphi :E\to R$ vars kärna är I .
exteriör algebra: Den yttre algebra för ett vektorrum eller en modul V är kvoten av tensoralgebra för V med idealet som genereras av element av formen $x\otimes x$ .

F

fält: Ett fält är en kommutativ divisionsring; dvs en icke-noll-ring i vilken varje icke-noll-element är inverterbart.
filtrerad ring: En filtrerad ring är en ring med en filtrering.
ändligt genererad: 1. Ett vänsterideal I genereras ändligt om det finns ändligt många element a ₁ , ..., a _n så att I = Ra ₁ + ... + Ra _n . Ett rätt ideal I genereras ändligt om det finns ändligt många element a ₁ , ..., a _n så att I = a ₁ R + ... + a _n R . Ett tvåsidigt ideal I genereras ändligt om det finns ändligt många element a ₁ , ..., a _n så att I = Ra ₁ R + ... + Ra _n R .; 2. En ändligt genererad ring är en ring som ändligt genereras som Z -algebra.
ändligt presenterad: En ändligt presenterad algebra över en kommutativ ring R är en (kommutativ) associativ algebra som är en kvot av en polynomring över R i ändligt många variabler av ett ändligt genererat ideal .
fri: 1. En fri idealring eller en gran är en ring där varje rättsideal är en fri modul av fast rang.; 2. En semifir är en ring där varje ändligt genererat rätt ideal är en fri modul av fast rang.; 3. Den fria produkten av en familj av associativa är en associativ algebra som erhålls, grovt sett, av generatorerna och relationerna mellan algebrorna i familjen. Uppfattningen beror på vilken kategori av associativ algebra som betraktas; till exempel, i kategorin kommutativa ringar, är en fri produkt en tensorprodukt.; 4. En fri ring är en ring som är en fri algebra över heltalen.

G

graderad: En graderad ring är en ring tillsammans med en gradering eller en gradering; dvs det är en direkt summa av additiva undergrupper med multiplikationen som respekterar graderingen. Till exempel är en polynomring en graderad ring efter grader av polynom.
generera: En associativ algebra A över en kommutativ ring R sägs genereras av en delmängd S av A om den minsta subalgebra som innehåller S är A själv och S sägs vara genereringsmängden av A . Om det finns en finit genereringsmängd sägs A vara en finit genererad algebra .

H

ärftlig: En ring lämnas ärftlig om dess vänstra ideal är alla projektiva moduler. Rätt ärftliga ringar definieras analogt.

jag

ideal: Ett vänsterideal I av R är en additiv undergrupp av R så att aI ⊆ I för alla a ∈ R . Ett rättsideal är en undergrupp av R så att Ia ⊆ I för alla a ∈ R . Ett ideal (ibland kallat ett dubbelsidigt ideal för betoning) är en undergrupp som är både ett vänsterideal och ett högerideal.
idempotent: Ett element r i en ring är idempotent om r ² = r .
integral domän: " integral domän " eller " hel ring " är ett annat namn för en kommutativ domän ; dvs en kommutativ ring inte är noll utan nolldelare 0.; ^som^förutom En ring R har invariant bastal om Rm isomorf till Rn eftersom R -moduler antyder m = n .
invariant
irreducible: Ett element x i en integral domän är irreducerbart om det inte är en enhet och för alla element a och b så att x = ab , antingen a eller b är en enhet. Observera att varje primtal är irreducerbart, men inte nödvändigtvis vice versa.

J

Jacobson: 1. Jacobson-radikalen i en ring är skärningspunkten mellan alla maximala vänsterideal.; 2. En Jacobson-ring är en ring där varje primärideal är en korsning av primitiva ideal.

K

kärna: Kärnan i en ring homomorfism av en ring homomorfism f : R → S är mängden av alla element x i R så att f ( x = 0 ) . Varje ideal är kärnan i en ringhomomorfism och vice versa.
Köthe: Köthes gissning säger att om en ring har ett ideal som inte är noll, så har den ett ideal som inte är noll.

L

lokal: 1. En ring med ett unikt maximalt vänsterideal är en lokal ring . Dessa ringar har också ett unikt maximalt högerideal, och vänster och höger unika maximalideal sammanfaller. Vissa kommutativa ringar kan bäddas in i lokala ringar via lokalisering vid ett utmärkt ideal .; 2. En lokalisering av en ring : För kommutativa ringar, en teknik för att omvandla en given uppsättning element i en ring till enheter. Den heter Localization eftersom den kan användas för att göra vilken ring som helst till en lokal ring. För att lokalisera en ring R , ta en multiplikativt sluten delmängd S som inte innehåller några nolldelare och definiera formellt deras multiplikativa inverser, som ska adderas till R . Lokalisering i icke-kommutativa ringar är mer komplicerad och har definierats på flera olika sätt.

M

minimal och maximal: 1. Ett vänsterideal M i ringen R är ett maximalt vänsterideal (resp. minimalt vänsterideal) om det är maximalt (resp. minimalt) bland korrekta (resp. icke-noll) vänsterideal. Maximala (resp. minimala) rättsideal definieras på liknande sätt.; 2. En maximal subring är en subring som är maximal bland riktiga subringar. En "minimal subring" kan definieras analogt; den är unik och kallas den karakteristiska subringen .
matris: 1. En matrisring över en ring R är en ring vars element är kvadratiska matriser av fast storlek med posterna i R . Matrisringen eller hela matrisringen av matriser över R är matrisringen som består av alla kvadratiska matriser av fast storlek med ingångarna i R . När den grammatiska konstruktionen inte är användbar, hänvisar termen "matrisring" ofta till den "fulla" matrisringen när sammanhanget inte gör någon förväxling trolig; till exempel, när man säger att en semenkel ring är en produkt av matrisringar av delningsringar, antas det implicit att "matrisringar" hänvisar till "hela matrisringar". Varje ring är (isomorf till) hela matrisringen över sig själv.; 2. Ringen av generiska matriser är ringen som består av kvadratiska matriser med poster i formella variabler.
monoid: En monoid ring .
Morita: Två ringar sägs vara Morita-ekvivalenter om kategorin moduler över den ena är likvärdig med kategorin moduler över den andra.

N

nearring: En nearring är en struktur som är en grupp under addition, en halvgrupp under multiplikation, och vars multiplikation fördelar sig till höger över addition.
noll: 1. Ett noll-ideal är ett ideal som består av nollpotenta element.; 2. (Baer) övre nollradikalen är summan av alla nollideal.; 3. Den nedre nollradikalen (Baer) är skärningspunkten mellan alla främsta ideal. För en kommutativ ring sammanfaller den övre nollradikalen och den nedre nollradikalen.
nilpotent: 1. Ett element r i R är nilpotent om det finns ett positivt heltal n så att r ⁿ = 0 .; 2. Ett nollideal är ett ideal vars beståndsdelar är nilpotenta element.; 3. Ett nilpotent ideal är ett ideal vars styrka I ^k är {0} för något positivt heltal k . Varje nilpotent ideal är noll, men det omvända är inte sant i allmänhet.; 4. Nilradikalen i en kommutativ ring är idealet som består av alla nilpotenta element i ringen. Den är lika med skärningspunkten mellan alla ringens främsta ideal och ingår i, men i allmänhet inte lika med, ringens Jacobson-radikal.
Noetherian: En vänster Noetherian ring är en ring som uppfyller de stigande kedjevillkoren för vänsterideal. En höger Noetherian definieras på liknande sätt och en ring som är både vänster och höger Noetherian är Noetherian . En ring lämnas Noetherian om och bara om alla dess vänstra ideal är ändligt genererade; analogt för högra Noether-ringar.
null: null ring : Se rng av kvadraten noll .

O

motsatt: Givet en ring R , har dess motsatta ring R ^op samma underliggande mängd som R , additionsoperationen definieras som i R , men produkten av s och r i R ^op är rs , medan produkten är sr i R.
ordning: En ordning av en algebra är (ungefär) en subalgebra som också är ett helt gitter.
Malm: En vänstermalmdomän är en (icke-kommutativ) domän för vilken uppsättningen av element som inte är noll uppfyller det vänstra malmvillkoret. En rätt Ore-domän definieras liknande.

P

perfekt

En vänster perfekt ring är en som uppfyller de fallande kedjans villkor på höger huvudideal. De karakteriseras också som ringar vars platta vänstra moduler alla är projektiva moduler. Rätt perfekta ringar definieras analogt. Artinian ringar är perfekta.

polynom

1. En polynomring över en kommutativ ring R är en kommutativ ring som består av alla polynomen i de angivna variablerna med koefficienter i R .

2. En sned polynomring

Givet R en ring och en endomorfism

\sigma \in {\textrm {End}}(R)

av R . Den sneda polynomringen

R[x;\sigma ]

definieras som mängden

{\displaystyle \{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x +a_{0}\mid n\in \mathbb {N} ,\,a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{1},a_{0}\in R\}} ,

med addition definierad som vanligt, och multiplikation definierad av relationen

xa=\sigma (a)x\;\forall a\in R

.

primtal

1. Ett element x i en integral domän är ett primtal om det inte är noll och inte en enhet och när x delar en produkt ab delar x a eller x b .

2. Ett idealt P i en kommutativ ring R är primtal om P ≠ R och om för alla a och b i R med ab i P har vi a i P eller b i P . Varje maximal ideal i en kommutativ ring är prime.

3. Ett ideal P i en (inte nödvändigtvis kommutativ) ring R är primtal om P ≠ R och för alla ideal A och B av R ,

AB\subseteq P

innebär

A \subseteq P

eller

B\subseteq P

. Detta utökar definitionen för kommutativa ringar.

4. primring : En ring R som inte är noll kallas en primring om vi för två element a och b i R med aRb = 0 har antingen a = 0 eller b = 0 . Detta motsvarar att säga att nollidealet är ett primideal (i icke-kommutativ mening.) Varje enkel ring och varje domän är en primtalsring.

primitiv

1. En vänster primitiv ring är en ring som har en trogen enkel vänster R -modul . Varje enkel ring är primitiv. Primitiva ringar är prime .

2. Ett ideal I för en ring R sägs vara primitivt om

R/I

är primitivt.

huvudideal

Ett huvudideal : Ett huvudideal i en ring R är ett vänsterideal av formen Ra för något element a av R. Ett principiellt rättsideal är ett rättsideal av formen aR för något element a av R . Ett principideal är ett dubbelsidigt ideal av formen RaR för något element a av R .

principal

1. En principiell idealdomän är en integrerad domän där varje ideal är principiellt.

2. En principiell idealring är en ring där varje ideal är principiellt.

F

quasi-Frobenius: quasi-Frobenius ring : en speciell typ av Artinian ring som också är en självinjektiv ring på båda sidor. Varje halvenkel ring är kvasi-frobenius.; kvotring eller faktorring { a + I : a ∈R : Givet en ring R och en ideal I av R , är kvotringen den ring som bildas av mängden R / I av coset } tillsammans med operationerna ( a + I ) + ( b + I ) = ( a + b ) + I och ( a + I ( b + I ) = ab + I. ) Förhållandet mellan ideal, homomorfismer och faktorringar sammanfattas i grundsatsen om homomorfismer .

R

radikal

Radikalen av ett ideal I i en kommutativ ring består av alla de ringelement vars kraft ligger i I . Det är lika med skärningspunkten mellan alla primideal som innehåller I .

ring

1. En mängd R med två binära operationer , vanligtvis kallade addition (+) och multiplikation (×), så att R är en abelsk grupp under addition, R är en monoid under multiplikation och multiplikation är både vänster och höger distributiv över addition . . Ringar antas ha multiplikativ identitet om inte annat anges. Den additiva identiteten betecknas med 0 och den multiplikativa identiteten med 1. ( Varning : vissa böcker, särskilt äldre böcker, använder termen "ring" för att betyda vad som här kommer att kallas en rng ; dvs de kräver inte en ring för att ha en multiplikativ identitet.)

2. En ringhomomorfism : En funktion f : R → S mellan ringar ( R , +, ∗) och ( S , ⊕, ×) är en ringhomomorfism om den uppfyller

f ( a + b ) = f ( a ) ⊕ f ( b )

f ( a ∗ b ) = f ( a ) × f ( b )

f (1) = 1

för alla element a och b i R .

3. ringisomorfism : En ringhomomorfism som är bijektiv är en ringisomorfism . Det omvända av en ringisomorfism är också en ringisomorfism. Två ringar är isomorfa om det finns en ringisomorfism mellan dem. Isomorfa ringar kan betraktas som i huvudsak samma, bara med olika etiketter på de enskilda elementen.

rng

A rng med kvadraten noll : A rng där xy = 0 för alla x och y . Dessa kallas ibland även nollringar , även om de vanligtvis inte har en 1. Termen "rng" är menad att antyda att det är en "r i ng" utan en " i dentitet".

S

självinjektiv: En ring R lämnas . självinjektiv om modulen _R R är en injektiv modul Medan ringar med enhet alltid är projektiva som moduler, är de inte alltid injektiva som moduler.
semiperfekt: En semiperfekt ring är en ring R så att för Jacobson-radikalen $J(R)$ av R , (1) $R/J(R)$ är semisimple och (2) idempotenta lyfter modulo $J(R)$ .
semiprimär: En semiprimär ring är en ring R så att för Jacobson-radikalen $J(R)$ av R , (1) $R/J(R)$ är semisimple och (2) $J(R)$ är ett nilpotent ideal .
semiprime: 1. En semiprime ring är en ring där det enda nilpotenta idealet är det triviala idealet { $\displaystyle \{0\}}$ . En kommutativ ring är semiprime om och endast om den reduceras.; 2. Ett ideal I för en ring R är semiprime om för något ideal A av R , $A^{n}\subseteq I$ innebär $A\subseteq I$ . På motsvarande sätt I semiprime om och endast om $R/I$ är en semiprime ring.
semiprimitiv: En semiprimitiv ring eller Jacobson semisimple ring är en ring vars Jacobson-radikal är noll. Von Neumann vanliga ringar och primitiva ringar är semiprimitiv, men kvasi-Frobenius ringar och lokala ringar är vanligtvis inte semiprimitiva.
semiring: A semiring : En algebraisk struktur som uppfyller samma egenskaper som en ring, förutom att addition bara behöver vara en abelsk monoidoperation snarare än en abelsk gruppoperation. Det vill säga, element i en semiring behöver inte ha additiva inverser.
semisimple: En semisimple ring är en artinisk ring R som är en ändlig produkt av enkla artiniska ringar; med andra ord, det är en halvenkel vänster R -modul.
separerbar: En separerbar algebra är en associativ algebra vars tensor-kvadrat medger en separerbarhet idempotent .
seriell: En höger seriell ring är en ring som är en höger seriell modul över sig själv.
Severi–Brauer: Sorten Severi–Brauer är en algebraisk variant som är associerad med en given central enkel algebra.
enkel: 1. En enkel ring är en ring som inte är noll som bara har triviala dubbelsidiga ideal (nollidealet, själva ringen och inte mer) är en enkel ring .; 2. En enkel algebra är en associativ algebra som är en enkel ring.
subring: En subring är en delmängd S av ringen ( R ,+,×) som förblir en ring när + och × är begränsade till S och innehåller den multiplikativa identiteten 1 av R .
symmetrisk algebra: 1. Den symmetriska algebra för ett vektorrum eller en modul V är kvoten av tensoralgebra för V med idealet som genereras av element av formen $x\otimes yy\otimes x$ .; 2. Den graderade-symmetriska algebra för ett vektorrum eller en modul V är en variant av den symmetriska algebra som är konstruerad genom att ta hänsyn till gradering.
Sylvester-domän: En Sylvester-domän är en ring där Sylvesters ogiltighetslag gäller.

T

tensor: \ Tensorproduktalgebra för associativa algebror är tensorprodukten av algebran som modulerna med komponentmultiplikation; Tensoralgebra för ett vektorrum eller en modul V är den direkta summan av alla tensorpotenser $ibland n}}$ {\ med multiplikationen som ges av tensorprodukten.; $displaystyle V^{$
trivialt: 1. Ett trivialideal är antingen noll- eller enhetsidealet.; 2. Trivialringen eller nollringen är ringen som består av ett enda element 0 = 1 .

U

enhetsenhet: eller inverterbart element : Ett element r i ringen R är en enhet om det finns ett element r ⁻¹ så att rr ⁻¹ = r ⁻¹ r = 1 . Detta element r ⁻¹ bestäms unikt av r och kallas den multiplikativa inversen av r . Uppsättningen enheter bildar en grupp under multiplikation.
enhet: Termen "enhet" är ett annat namn för den multiplikativa identiteten.
unik: En unik faktoriseringsdomän eller faktoriell ring är en integral domän R där varje icke-noll icke- enhetselement kan skrivas som en produkt av primelement av R .
uniserial: En höger uniserial ring är en ring som är en höger uniserial modul över sig själv. En kommutativ uniserial ring kallas också en värderingsring .

V

von Neumann regelbundet element: 1. von Neumann regelbundet element : Ett element r i en ring R är von Neumann regelbundet om det finns ett element x av R så att r = rxr .; 2. A von Neumann vanlig ring : En ring för vilken varje element a kan uttryckas som a = axa för ett annat element x i ringen. Halvenkla ringar är von Neumann vanliga.

Z

noll: En nollring : Ringen som endast består av ett enda element 0 = 1 , även kallad trivialringen . Ibland används "nollring" alternativt för att betyda rng av kvadraten noll .

Se även

Ordlista för modulteori

Anteckningar

Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Ringar och kategorier av moduler , Graduate Texts in Mathematics, vol. 13 (2 uppl.), New York: Springer-Verlag, s. x+376, doi : 10.1007/978-1-4612-4418-9 , ISBN 0-387-97845-3 , MR 1245487
Artin, Michael (1999). "Icke-kommutativa ringar" (PDF) .
Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie" . Publications Mathématiques de l'IHÉS . 20 . doi : 10.1007/bf02684747 . MR 0173675 .
Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra 1 (2:a upplagan), Dover
Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra 2 (2:a upplagan), Dover
Nathan Jacobson, Ringarnas struktur