Produktregel

Den här artikeln handlar om derivatet av en produkt. För sambandet mellan derivator av 3 beroende variabler, se Trippelproduktregel . För en räkneprincip i kombinatorik, se Produktregel . För villkorade sannolikheter, se Kedjeregel (sannolikhet) .

Geometrisk illustration av ett bevis på produktregeln

I kalkyl är produktregeln (eller Leibniz-regeln eller Leibniz - produktregeln ) en formel som används för att hitta derivator av produkter av två eller flera funktioner . För två funktioner kan det anges i Lagranges notation som

$$(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$$

eller i Leibniz notation som

$${\frac {d}{dx}}(u\cdot v)={\frac {du}{dx}}\cdot v+u\cdot {\frac {dv}{dx}}.$$

Regeln kan utökas eller generaliseras till produkter med tre eller flera funktioner, till en regel för högre ordningens derivator av en produkt och till andra sammanhang.

Upptäckt

Upptäckten av denna regel krediteras Gottfried Leibniz , som visade det med hjälp av differentialer . (Men JM Child, en översättare av Leibniz papper, hävdar att det beror på Isaac Barrow .) Här är Leibniz argument: Låt u ( x ) och v ( x ) vara två differentierbara funktioner av x . Då är skillnaden mellan uv

${\begin{aligned}d(u\cdot v)&{}=(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v\\&{}=u\cdot dv+v\ cdot du+du\cdot dv.\end{aligned}}$

Eftersom termen du · dv är "försumbar" (jämfört med du och dv ), drog Leibniz slutsatsen att

$d(u\cdot v)=v\cdot du+u\cdot dv$

och detta är verkligen den differentiella formen av produktregeln. Om vi ​​dividerar med differentialen dx får vi

${\frac {d}{dx}}(u\cdot v)=v\cdot {\frac {du }{dx}}+u\cdot {\frac {dv}{dx}}$

som också kan skrivas i Lagranges notation som

$(u\cdot v)'=v\cdot u'+u\cdot v'.$

Exempel

• Antag att vi vill differentiera f ( x ) = x ² sin( x ). Genom att använda produktregeln får man derivatan f ′ ( x ) = 2 x sin( x ) + x ² cos( x ) (eftersom derivatan av x ² är 2 x och derivatan av sinusfunktionen är cosinusfunktionen ).
• Ett specialfall av produktregeln är konstantmultipelregeln , som säger: om c är ett tal och f ( x ) är en differentierbar funktion, så är cf ( x ) också differentierbar, och dess derivata är ( cf ) ′ ( x ) ) =   cf ' . ( x ) Detta följer av produktregeln eftersom derivatan av en konstant är noll. Detta, i kombination med summaregeln för derivat, visar att differentieringen är linjär .
• Regeln för integrering av delar härleds från produktregeln, liksom (en svag version av) kvotregeln . (Det är en "svag" version eftersom den inte bevisar att kvoten är differentierbar, utan bara säger vad dess derivata är om den är differentierbar.)

Bevis

Begränsa definitionen av derivat

Låt h ( x ) = f ( x ) g ( x ) och anta att f och g var och en är differentiabel vid x . Vi vill bevisa att h är differentierbar vid x och att dess derivata, h ′ ( x ) , ges av f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) . För att göra detta, $f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\ Delta x)$ (som är noll, och alltså inte ändrar värdet) läggs till täljaren för att tillåta faktorisering, och sedan används egenskaper för gränser.

${\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}} \\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x }}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x) +f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac { {\big [}f(x+\Delta x)-f(x){\big ]}\cdot g(x+\Delta x)+f(x)\cdot {\big [}g(x+\Delta x) -g(x){\big ]}}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x )}{\Delta x}}\cdot \underbrace {\lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)} _{\text{Se anteckningen nedan.}}+\lim _{\ Delta x\to 0}f(x)\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\\[5pt ]&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}}$

Det faktum att $\lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)=g(x)$ följer av faktumet att differentierbara funktioner är kontinuerliga.

Linjära approximationer

Per definition, om $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ är differentierbara vid $x$ , då kan vi skriva linjära approximationer :

$$f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\varepsilon _{1 }(h)$$

och

$$g(x+h)=g(x)+g'(x)h+\varepsilon _{ 2}(h),$$

där feltermerna är små med avseende på h : det vill säga ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {\varepsilon _{1}(h)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\varepsilon _{2}(h)}{h}}=0,} även$ skrivet $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2}\sim o(h)$ . Sedan:

$${\begin{aligned}f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)&=(f(x)+f'(x)h+\varepsilon _{1} (h))(g(x)+g'(x)h+\varepsilon _{2}(h))-f(x)g(x)\\[.5em]&=f(x)g(x )+f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)hf(x)g(x)+{\text{feltermer}}\\[.5em]&=f'( x)g(x)h+f(x)g'(x)h+o(h).\end{aligned}}$$

"Feltermerna" består av poster som $f(x)\varepsilon _{2}(h),f '(x)g'(x)h^{2}$ och $hf'(x)\varepsilon _{1}(h)$ som lätt kan ses till har magnituden $o(h).$ Att dividera med $h$ och ta gränsen $h\to 0$ ger resultatet.

Kvartalsrutor

Detta bevis använder kedjeregeln och kvartskvadratfunktionen $q(x)={\tfrac {1}{4}}x^{2}$ med derivata $q'(x)={\tfrac {1}{2}}x$ . Vi har:

$uv=q(u+v)-q(uv),$

och att skilja båda sidorna ger:

${\begin{aligned}f'&=q'(u+v)(u'+v')-q'(uv)(u'-v')\\[4pt]&=\left( {\tfrac {1}{2}}(u+v)(u'+v')\right)-\left({\tfrac {1}{2}}(uv)(u'-v')\ höger)\\[4pt]&={\tfrac {1}{2}}(uu'+vu'+uv'+vv')-{\tfrac {1}{2}}(uu'-vu'- uv'+vv')\\[4pt]&=vu'+uv'.\end{aligned}}$

Multivariabel kedjeregel

Produktregeln kan betraktas som ett specialfall av kedjeregeln för flera variabler, applicerad på multiplikationsfunktionen $m(u,v)=uv$ :

${d(uv) \over dx}={\frac {\partial (uv)}{\partial u}}{\frac {du}{dx}}+{\frac {\partial (uv)} {\partial v}}{\frac {dv}{dx}}=v{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dv}{dx}}.$

Icke-standardiserad analys

Låt u och v vara kontinuerliga funktioner i x , och låt dx , du och dv vara infinitesimals inom ramen för icke-standardiserad analys , närmare bestämt de hyperreella talen . Att använda st för att beteckna standarddelsfunktionen som associerar till ett ändligt hyperrealt tal det reella oändligt nära det, ger detta

${\begin{aligned}{\frac {d(uv)}{dx}}&=\operatörsnamn {st} \left({\frac {(u+du)(v+dv)-uv}{ dx}}\right)\\&=\operatörsnamn {st} \left({\frac {uv+u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv-uv}{dx}}\right)\\ &=\operatörsnamn {st} \left({\frac {u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv}{dx}}\right)\\&=\operatörsnamn {st} \left(u{ \frac {dv}{dx}}+(v+dv){\frac {du}{dx}}\right)\\&=u{\frac {dv}{dx}}+v{\frac {du }{dx}}.\end{aligned}}$

Detta var i huvudsak Leibniz bevis som utnyttjade den transcendentala lagen om homogenitet (i stället för standarddelen ovan).

Smidig infinitesimal analys

I sammanhanget av Lawveres inställning till infinitesimaler, låt $dx$ vara en nollkvadrat infinitesimal. Då $du=u'\ dx$ och $dv=v'\ dx$ , så att

${\begin{aligned}d(uv)&=(u+du)(v+dv)-uv\\&= uv+u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv-uv\\&=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv\\&=u\cdot dv+v\cdot du\ ,\!\end{aligned}}$

eftersom $du\,dv=u'v'(dx)^{2}=0.$ Dividera med $dx$ ger då ${\frac {d(uv)}{dx}}=u{\frac {dv}{dx}}+ v{\frac {du}{dx}}$ eller $(uv)'=u\cdot v'+v\cdot u'$ .

Logaritmisk differentiering

Låt $h(x)=f(x)g(x)$ . Med det absoluta värdet för varje funktion och den naturliga logaritmen för båda sidor av ekvationen,

$\ln |h(x)|=\ln |f(x)g(x)|$

Genom att tillämpa egenskaperna för det absoluta värdet och logaritmerna,

$\ln |h(x)|=\ln |f(x)|+\ln |g(x)|$

Att ta den logaritmiska derivatan av båda sidor och sedan lösa för $h'(x)$ :

${\frac {h'(x)}{h(x)}}= {\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}$

Lösa för $h'(x)$ och ersätta $f(x)g(x)$ för $) {\displaystyle h(x$ ger:

${\begin{aligned}h'(x)&=h(x)\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x) }{g(x)}}\höger)\\&=f(x)g(x)\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g' (x)}{g(x)}}\right)\\&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}}$

Obs: Att ta funktionernas absoluta värde är nödvändigt för att tillåta logaritmisk differentiering av funktioner som kan ha negativa värden, eftersom logaritmer endast definieras för positiva argument. Detta fungerar eftersom ${\tfrac {d}{dx}}(\ln |u|)={\tfrac {u'}{u}}$ , vilket motiverar att man tar det absoluta värdet av funktionerna för logaritmisk differentiering.

Generaliseringar

Produkt av mer än två faktorer

Produktregeln kan generaliseras till produkter med fler än två faktorer. Till exempel för tre faktorer vi har

${\frac {d(uvw)}{dx}}={\frac {du}{dx}}vw+u{\frac {dv}{dx}}w+uv{\frac {dw}{ dx}}.$

För en samling funktioner $f_{1},\dots ,f_{k}$ har vi

${\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\summa _{i=1}^{k }\left(\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\right)\prod _{j=1,j\neq i}^{k}f_{j}(x )\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\summa _{i=1}^{k}{\frac {f '_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\höger).$

Den logaritmiska derivatan ger ett enklare uttryck för den sista formen, samt ett direkt bevis som inte involverar någon rekursion . Den logaritmiska derivatan av en funktion f , här betecknad Logder( f ) , är derivatan av funktionens logaritm . Det följer att

$\operatorname {Logder} (f)={\frac {f'}{f}}.$

Om man använder att logaritmen för en produkt är summan av logaritmerna av faktorerna, ger summaregeln för derivator omedelbart

$\operatorname {Logder} (f_{1}\cdots f_{k})=\sum _{i=1}^{k}\operatörsnamn {Logder} (f_{i}).$

Det sista uttrycket ovan för derivatan av en produkt erhålls genom att multiplicera båda medlemmarna i denna ekvation med produkten av $f_{i}.$

Högre derivat

Huvudartikel: General Leibniz regel

Det kan också generaliseras till den allmänna Leibniz-regeln för den n :e derivatan av en produkt av två faktorer, genom att symboliskt expandera enligt binomialsatsen :

$d^{n}(uv)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot d^{(nk)}(u)\cdot d^{(k) }(v).$

Tillämpad vid en specifik punkt x ger ovanstående formel:

$(uv)^{(n)}(x)=\summa _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot u^{(nk)}(x)\cdot v^ {(k)}(x).$

Dessutom, för den n: e derivatan av ett godtyckligt antal faktorer, har man en liknande formel med multinomial koefficienter :

$\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}\right)^{\!\!(n)}=\sum _{j_{1}+j_{2}+ \cdots +j_{k}=n}{n \choose j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}^{ (j_{i})}.$

Högre partiella derivator

För partiella derivator har vi

${\partial ^{n} \over \partial x_{1}\,\cdots \,\partial x_{n}}(uv)=\summa _{S}{ \partial ^{|S|}u \over \prod _{i\in S}\partial x_{i}}\cdot {\partial ^{n-|S|}v \over \prod _{i\not \in S}\partial x_{i}}$

där indexet S löper genom alla 2 ⁿ delmängder av {1, ..., n } och | S | är kardinalitet av S . Till exempel, när n = 3 ,

${\begin{aligned}&{\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}(uv)\\[6pt] ={}&u\cdot {\partial ^{3}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{ 1}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^ {2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_ {1}\,\partial x_{2}}\\[6pt]&+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\cdot {\partial v \over \partial x_{3}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{2}} +{\partial ^{2}u \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{1}}+{\partial ^{3}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot v.\end{aligned}}$

Banach utrymme

Antag att X , Y och Z är Banach-rymden (som inkluderar euklidiskt utrymme ) och B : X × Y → Z är en kontinuerlig bilinjär operator . Då B differentierbar, och dess derivata i punkten ( x , y ) i X × Y är den linjära kartan D _{( x , y )} B : X × Y → Z given av

$(D_{\left(x,y\right)}\,B)\left(u,v\right)=B\left(u,y\right)+B\left(x,v\right) )\qquad \forall (u,v)\in X\ gånger Y.$

Detta resultat kan utökas till mer generella topologiska vektorrum.

I vektorkalkyl

Huvudartikel: Vektorkalkylidentiteter § Första derivatidentiteter

Produktregeln sträcker sig till olika produktoperationer av vektorfunktioner på $\mathbb {R} ^{n}$ :

• För skalär multiplikation :
  $$(f\cdot \mathbf {g} )'=f'\cdot \mathbf {g} +f\cdot \mathbf {g} '$$
• För punktprodukt :
  $$(\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\cdot \mathbf {g} +\ mathbf {f} \cdot \mathbf {g} '$$
• För korsprodukt av vektorfunktioner på $\mathbb {R} ^{3}$ :
  $$(\mathbf {f} \times \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\times \mathbf {g} +\ mathbf {f} \times \mathbf {g} '$$

Det finns också analoger för andra analoger av derivatan: om f och g är skalära fält så finns det en produktregel med gradienten :

$$\nabla (f\cdot g)=\nabla f\cdot g+f\cdot \nabla g$$

En sådan regel kommer att gälla för varje kontinuerlig bilinjär produktdrift. Låt B : X × Y → Z vara en kontinuerlig bilinjär karta mellan vektorrum, och låt f och g vara differentierbara funktioner till X respektive Y . De enda egenskaperna för multiplikation som används i beviset med gränsdefinitionen av derivata är att multiplikationen är kontinuerlig och bilinjär. Så för varje kontinuerlig bilinär operation,

$$H(f,g)'=H(f',g)+H(f,g').$$

Detta är också ett specialfall av produktregeln för bilinjära kartor i Banach-rymden .

Deriveringar i abstrakt algebra och differentialgeometri

I abstrakt algebra är produktregeln den definierande egenskapen för en härledning . I denna terminologi säger produktregeln att derivatoperatorn är en härledning på funktioner.

I differentialgeometri kan en tangentvektor till ett grenrör M i en punkt p definieras abstrakt som en operator på verkliga funktioner som beter sig som en riktningsderivata vid p : det vill säga en linjär funktionell v som är en härledning,

$v(fg)=v(f)\,g(p)+f(p)\,v(g).$

Genom att generalisera (och dualisera) formlerna för vektorkalkyl till ett n -dimensionellt grenrör M, kan man ta differentialformer av grader k och l , betecknade ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M),\beta \in \Omega ^{\ell }(M)} ,$ med kilen eller exteriör produktdrift α $\displaystyle \ alpha \wedge \beta \in \Omega ^{k+\ell }(M)}$ , såväl som den yttre derivatan $d:\Omega ^{ m}(M)\till \Omega ^{m+1}(M)$ . Sedan har man den graderade Leibniz-regeln :

$d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta .$

Ansökningar

Bland tillämpningarna av produktregeln finns ett bevis på att

${d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}$

när n är ett positivt heltal (denna regel är sann även om n inte är positivt eller inte är ett heltal, men beviset för det måste förlita sig på andra metoder). Beviset är genom matematisk induktion på exponenten n . Om n = 0 så är x ⁿ konstant och nx ^{n − 1} = 0. Regeln gäller i det fallet eftersom derivatan av en konstant funktion är 0. Om regeln gäller för en viss exponent n , då för nästa värde, n +1, vi har

${\begin{aligned}{d \over dx}x^{n+1}&{}={d \over dx}\left(x^{n}\cdot x\right)\\[12pt ]&{}=x{d \over dx}x^{n}+x^{n}{d \over dx}x\qquad {\mbox{(produktregeln används här)}}\\[12pt ]&{}=x\left(nx^{n-1}\right)+x^{n}\cdot 1\qquad {\mbox{(induktionshypotesen används här)}}\\[12pt]& {}=(n+1)x^{n}.\end{aligned}}$

Därför, om påståendet är sant för n , är det också sant för n + 1, och därför för alla naturliga n .

Se även

• Differentiering av integraler
• Differentiering av trigonometriska funktioner - Matematisk process för att hitta derivatan av en trigonometrisk funktion
• Differentieringsregler – Regler för beräkning av derivator av funktioner
• Distribution (matematik) – Matematisk analysterm som liknar generaliserad funktion
• Allmän Leibniz-regel – Generalisering av produktregeln i kalkyl
• Integration av delar – Matematisk metod i kalkyl
• Omvända funktioner och differentiering – Calculus-identitet Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål
• Differentieringslinjäritet – Kalkylegenskap
• Potensregel – Metod för att differentiera entermpolynom
• Quotientregel – Formel för derivatan av ett förhållande av funktioner
• Tabell över derivator – Regler för beräkning av derivator av funktioner Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål
• Vektorkalkylidentiteter – Matematiska identiteter