Prime element

Inom matematiken , särskilt i abstrakt algebra , är ett primtal i en kommutativ ring ett objekt som uppfyller vissa egenskaper som liknar primtalen i heltal och irreducerbara polynom . Försiktighet bör iakttas för att skilja primära element från irreducerbara element , ett koncept som är detsamma i UFD:er men inte detsamma i allmänhet.

Definition

$0$ Ett element $p$ i en kommutativ ring $R$ sägs vara primtal om det inte är nollelementet eller en enhet och när $p$ delar $ab$ för vissa $a$ och $b$ i $R$ , så delar $p$ $a$ eller $p$ $b$ . Med denna definition Euklids lemma påståendet att primtal är primtal i ringen av heltal . På motsvarande sätt är ett element $p$ primtal om, och endast om, huvudidealet $(p)$ som genereras av $p$ är ett icke-noll primideal . (Observera att i en integral domän är idealet $(0) ett$ primideal , men är ett undantag i definitionen av 'primtal element'.)

Intresset för primtal kommer från aritmetikens grundläggande sats , som hävdar att varje heltal som inte är noll kan skrivas på i huvudsak bara ett sätt som 1 eller −1 multiplicerat med en produkt av positiva primtal. Detta ledde till studiet av unika faktoriseringsdomäner , som generaliserar det som just illustrerades i heltal.

Att vara prime är relativt vilken ring ett element anses vara i; till exempel är 2 ett primtal i $Z$ men det är inte i $Z [i]$ , ringen av Gaussiska heltal , eftersom $2 = (1 + i)(1 - i)$ och 2 inte delar någon faktor till höger.

Samband med främsta ideal

Ett idealt $I$ i ringen $R$ (med enhet) är primtal om faktorringen $R / I$ är en integral domän .

I en integral domän är ett principideal som inte är noll primtal om och endast om det genereras av ett primtal.

Oreducerbara element

Grundelement ska inte förväxlas med irreducerbara element . I en integrerad domän är varje primtal irreducerbar men det omvända är inte sant i allmänhet. Men i unika faktoriseringsdomäner, eller mer generellt i GCD-domäner , är primtal och irreducibles desamma.

Exempel

Följande är exempel på primära element i ringar:

Heltalen $\pm2$ , $\pm3$ , $\pm5$ , $\pm7$ , $\pm11$ , ... i ringen av heltal $Z$
de komplexa talen $(1 + i)$ , $19$ och $(2 + 3 i)$ i ringen av Gaussiska heltal $Z [i]$
polynomen $x 2 - 2$ och $x 2 + 1$ i $Z [x]$ , ringen av polynom över $Z$ .
2 i kvotringen $Z /6 Z$
$x 2 + (x 2 + x)$ är primtal men inte irreducerbar i ringen $Q [x]/(x 2 + x)$
I ringen $Z 2$ av par av heltal är $(1, 0)$ primtal men inte irreducerbar (man har $(1, 0) 2 = (1, 0)$ ).
I ringen av algebraiska heltal ${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}],} är$ elementet $3$ irreducerbart men inte primtal (eftersom 3 delar $9=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}})$ och 3 delar inte någon faktor till höger).

Anteckningar

Källor

Avsnitt III.3 av Hungerford, Thomas W. (1980), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , vol. 73 (Reprint of 1974 ed.), New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90518-1 , MR 0600654
Jacobson, Nathan (1989), Grundläggande algebra. II (2 uppl.), New York: WH Freeman and Company, s. xviii+686, ISBN 0-7167-1933-9 , MR 1009787
Kaplansky, Irving (1970), Commutative rings , Boston, Mass.: Allyn and Bacon Inc., s. x+180, MR 0254021